平面向量的所有公式.docx
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平面向量的所有公式
平面向量的所有公式
设a二（x,y）,b=（x',y'）o
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC二AC。
a+b=（x+x\y+y'）o
a+0=0+a=ao
向量加法的运算XX:
交换律：
a+b=b+a；
结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）o
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b,b=-a,a+b=
0.0的反向量为0
AB-AC二
C
B.即“共同起点，指向被减”
a=（x,y）b=（x'zy'）则a-b=（x-x',y-y'）.
3、数乘向量
实数入和向量e的乘积是一个向量，记作入a,且|Aa|=|入|?
心|。
1/6
当入>0时，入a与3同方向；
当入<0时，入a与a反方向；
当入二0时，入#0,方向任意。
当沪0时，对于任意实数入，都有入沪
0o
注：
按定义知，如果入护0,那么入二0或沪
0o
实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当|入|>2时，表示向量a的有向线段在原方向（入>0）或反方向（入<0）上伸长为原来的|入|倍；
当|A|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（入>0）或反方向（X
<0）上缩短为原来的|入|倍。
数与向量的乘法满足下而的运算XX
结合律：
（Xa）?
b=X（a?
b）=（a?
入b）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：
（X+u）a=Xa+ua.
数对于向量的分配律（第二分配律）:
X（a+b）=Xa+Xb.
数乘向量的消去律：
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①如果实数入HO且入a=Xb,那么a=bo②如果aHO且Xa=na,那么入二卩。
4、向量的的数量积
定义：
己知两个非零向量a,bo作OA=a/OB=b/则角AOB称作向量a和向量b
的夹角，记作定义：
两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作e?
b。
若a、b不共线，则a?
b=|a|?
|b|?
cosb=+-|a||b|o
向量的数量积的坐标表示：
a?
b=x?
x'+y?
y'o
向量的数量积的运算XX
a?
b=b?
a（交换律）；
（'a）?
b=X（a?
b）（关于数乘法的结合律）；
（a+b）?
c=a?
c+b?
c（分配律）；
向量的数量积的性质
a?
a=|a|的平方。
Mb<=）a?
b=
Oo
|a?
b|^|a|?
|b|o
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：
3/6
（e?
b）?
cHa?
（b?
c）；例如：
（a?
b）A27^aA2?
bA
2o
12、向量的数量积不满足消去律，即：
由a?
b=a?
c（aT^O）,推不出b二c。
3>|a?
b|^|a|?
|b|
4、由|a|=|b|,推不出3二b或a=-bo
5、向量的向量积
定义：
两个向量Q和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作aXbo
若a、b不共线，则aXb的模是：
|axb|=|a|?
|b|?
sin垂直于3和b,且a、b和aXb按这个次序构成右手系。
若3、b共线，则eXb二
向量的向量积性质：
|axb|是以3和b为边的平行四边形面积。
aXa=
Oo
aIIb<=）aXb=
Oo
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向量的向量积运算XX
aXb=-bXa；
（Xa）Xb二入（aXb）=aX（Ab）；
（a+b）Xc=aXc+bXc.
注：
向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、向量的三角形不等式
1.||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|；
1当且仅当a、b反向时，左边取等号；
2当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2.||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|o
1当且仅当a、b同向时，左边取等号；
2当且仅当a、b反向时，右边取等号。
7、定比分点
定比分点公式（向量P2P二入？
向量PP2）
设P
1、P2是直线上的两点，P是I上不同于P
1、P2的任意一点。
则存在一个实数入，使向量P2P二入？
向量PP2,入叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P2（xl,yl）,P2（x2,y2）,P（x,y）,则有
OP=（OP1+XOP2）（1+X）；（定比分点向量公式）
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x二（xl+xx2）/（l+入），
y=（yl+Xy2）/（l+X）o（定比分点坐标公式）
我们把上而的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
8、三点共线定理
若0C=X0A+UOBZ_SX+u=1，则
A、
B、C三点共线
9、三角形重心判断式
在AABC中，若GA+GB+GC二0,则G为ZXABC的重心
10、向量共线的重要条件
若bHO,则e〃b的重要条件是存在唯一实数入，使a=Xbo
a//b的重要条件是xy'-x'y二
零向量0平行于任何向量。
1
1、向量垂直的充要条件
a丄b的充要条件是a?
b二
Oo
a丄b的充要条件是xxSyy』
Oo
零向量0垂直丁•任何向量.2
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