固定收益证券计算题doc.docx
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固定收益证券计算题doc
计算题
题型一：
计算普通债券的久期和凸性
N
久期的概念公式：
DtWt
t1
其中，Wt是现金流时间的权重，是第t期现金流的现值占债券价格的比重。
且以上求出的久期是以期数为单位的，还要把它除以每年付息的次数，转化成以年为单位的久期。
久期的简化公式：
1y
（1
y）T（c
y）
D
c[（1
y）T
1]
y
y
其中，c表示每期票面利率，y表示每期到期收益率，T表示距到期日的期数。
1
N
凸性的计算公式：
C
（t2
t）Wt
（1
y）2
t1
其中，y表示每期到期收益率；W是现金流时间的权重，是第t
期现金流的现值占债券价
t
格的比重。
且求出的凸性是以期数为单位的，需除以每年付息次数的
平方，转换成以年为
单位的凸性。
例一：
面值为100元、票面利率为8%的3年期债券，半年付息一次，下一次付息在半年后，如果到期收益率（折现率）为10%，计算它的久期和凸性。
每期现金流：
C
1008%
4实际折现率：
10%
5%
2
2
息票债券久期、凸性的计算
时间（期
现金流
现金流的现值
权重
时间×权重
（t2+t）×Wt
数）
（元）
（元）
（Wt）
（t×Wt）
1
4
0.0401
0.0401
0.0802
（3.8095
）
94.9243
2
4
0.0382
0.0764
0.2292
3
4
0.0364
0.1092
0.4368
4
4
0.0347
0.1388
0.6940
5
4
0.0330
0.1650
0.9900
6
104
0.8176
4.9056
34.3392
总计
94.9243
1
5.4351
36.7694
即，D=5.4351/2=2.7176
15%
（1
5%）
6（4%
5%）
5.4349（半年）
利用简化公式：
D
4%
[（1
5%）61]
5%
5%
即，2.7175（年）
36.7694/（1.05）2=33.3509；
以年为单位的凸性：
C=33.3509/
（2）2=8.3377
利用凸性和久期的概念，计算当收益率变动1个基点（0.01%）时，该债券价格的波动
利用修正久期的意义：
P/PD*y
D*2.7175
2.5881（年）
1
5%
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
P/P2.58810.01%0.0259%；
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
P/P2.5881（0.01%）0.0259%。
凸性与价格波动的关系：
P/PD*?
y1?
C?
y2
2
当收益率上升一个基点，从10%提高到10.01%时，
P/P2.58810.01%
1
8.3377（0.01%）2
0.0259%；
2
当收益率下降一个基点，从10%下降到9.99%时，
又因为，债券价格对于收益率的降低比对收益率的上升更加敏感，所以凸性的估计结果与真实价格波动更为接近。
题型二：
计算提前卖出的债券的总收益率
首先，利息+利息的利息=C
（1r1）n
1；r1为每期再投资利率；
r1
然后，有债券的期末价值=利息+利息的利息+投资期末的债券价格；其中，
N
C
F
C1
（1r2）
N
F
投资期末的债券价格：
P
；
（1r2）N
r2
（1r2）N
t1（1r2）t
N为投资期末距到期日的期数；r2为预期的投资期末的每期收益率。
例二：
投资者用905.53元购买一种面值为
1000元的8年期债券，票面利率
是12%，半年付息一次，下一次付息在半年后，再投资利率为
8%。
如果债券持有
到第6年（6年后卖出），且卖出后
2年的到期收益率为
10%，求该债券的总收
益率。
解：
6年内的利息+6年内利息的利息
=60
（1
4%）12
1
901.55
元
4%
第6年末的债券价格=601（15%）4
（1
1000
1035.46元
5%
5%）4
所以，
6年后的期末价值=901.55+1035.46=1937.01元
总收益=1937.01-905.53=1031.48元
1937.01
半年期总收益率=1216.54%
总收益率=（1+6.54%）2-1=13.51%
题型三：
或有免疫策略（求安全边际）
例三：
银行有100万存款，5年到期，最低回报率为8%；现有购买一个票面利率为8%，按年付息，3年到期的债券，且到期收益率为10%；求1年后的安全边际。
解：
银行可接受的终值最小值：
100×（1+8%）5=146.93万元；
如果目前收益率稳定在10%：
触碰线：
146.93
100.36
万元
（1
10%）
4
1年后债券的价值=100×8%+
8
108
=104.53
万元；
10%
（1
10%）
2
1
安全边际：
104.53-100.36=4.17万元；
A
B触碰线
所以，采取免疫策略为卖掉债券，将所得的104.53万元本息和重新投资于期限为4年、到期收益率为10%的债券。
债券年收益率=5104.53（110%）4
18.88%
100
题型四：
求逆浮动利率债券的价格
例四（付息日卖出）：
已知浮动利率债券和逆浮动利率债券的利率之和为
12%，两种债券面值都为1万，3年到期。
1年后卖掉逆浮动利率债券，此时市场折现率（适当收益率）为8%，求逆浮动利率债券的价格。
解：
在确定逆浮动利率债券价格时，实际上是将浮动和逆浮动利率这两种债券构成一个投资组合，分别投资1万元在这两种债券上，则相当于购买了票面利率为6%、面值为1万元的两张债券。
又因为在每个利息支付日，浮动利率债券价格
都等于其面值，所以逆浮动利率债券价格易求。
1年后，算票面利率为6%，面值为1万的债券价格
P
600
10600
9643.347
元
8%）
（1
8%）2
（1
P逆=2P-P浮=2×9643.347-10000=9286.694元
题型五：
关于美国公司债券的各种计算（债券面值1000美元、半年付息一次）（YTM实为一种折现率）
例五：
现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，适当收益率为6%，求债券现在的价值？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
60
40
1000
1
（1
3%）
60
1000
P
n
60
=40
+
60
=1276.76
元
3%）
（1
3%）
3%
（1
3%）
n1（1
例六：
现有一美国公司债券，息票利率为8%，30年到期，假设现在的售价
为676.77美元，求债券到期收益率？
解：
因为该债券面值为1000美元，每半年付息一次，所以：
60
40
1000
1（1YTM）
60
1000
676.77
=40
n1（1YTM）n
（1YTM）60
YTM
（1YTM）60
通过上式求出该债券的半年期到期收益率为6%，因此该债券的年到期收益
率为
6%×2=12%
值为
例七：
美国债券市场上交易的一种零息债券，距到期日还有
5000元，年适当贴现率是8%，计算该债券的价值。
10年，到期价
解：
因为该债券半年付息一次，所以每期贴现率为8%/2=4%n=20
P=
5000
=2281.93
元
4%）
20
（1
例八：
一种美国公司债券，票面利率是10%，2008年4月1日到期。
每年
的4月1日和10月1日分别支付一次利息。
如果投资者在2003年7月10日
购买，该债券的适当贴现率是6%，则该债券的净价是多少？
全价是多少？
（采
用360天计算）解：
2003年7月10日距下一次利息支付日10月1日还有81天，且利息支付期为半年，即180天。
那么n=81/180=0.45。
P
50
50
......
50
1050
1189.79
元
3%）0.45
（1
3%）1.45
3%）8.45
（1
3%）9.45
（1
（1
即该债券的净价为1189.79元
又因为距上一次付息日为180-81=99天，所以
AI50
99
元
27.5
180
即该债券的全价为27.5+1189.79=1217.29
元
例九：
在美国债券市场上有一种2年期的零息债券，目前的市场价格为
857.34元，计算该债券的年到期收益率。
解：
因为该债券为票面价格为1000元，半年付息一次，所以：
通过上式求出该债券的半年到期收益率为3.9%，因此该债券的年到期收益率为3.9%×2=7.8%
例十：
美国债券市场上有一种债券，票面利率为10%，每年的3月1日和9月
1日分别付息一次，2005年3月1日到期，2003年9月12日的完整市场价格
为1045元，求它的年到期收益率。
（按一年360天计算）解：
2003年9月1日距下一次利息支付日2004年3月1日还有169天，半年支付一次。
即n=169/180=0.9389
又因为全价=净价+应付利息
AI
50
180
169
3.06元
180
所以，净价=1045-3.06=1041.94元
即，
该债券的半年到期收益率为YTM=3.58%
年到期收益率为3.58%×2=7.16%
题型六：
交税方法
例十一：
一种10年期基金，票面利率为6%、按年付息、持有到期。
政府对其收税，税率为20%。
现有两种交税方式：
一年一付；到期时一起付；问选择哪种交税方式更好？
（改变哪个数值会造成相反的结果）
解：
设在某年年初购买该基金；基金面值为100元；市场适当收益率为r；
一年一付（年末付）：
每年年末应交：
100
6%
20%
1.2元
10
1.2
1.21
（1r）
10
现值：
PV1
r
n1（1r）n
到期时一起付
总利息为：
10×1.2=12元
12
现值：
PV2（1r）10
若PV1PV2,则r1%
所以：
当市场适当收益率为1%时，两种交税方式都可以；当市场适当收益率大于1%时，选择到期一起付；当市场适当收益率小于1%时，选择一年一付。
附：
课上提过的重点题
例十二：
有一个债券组合，由三种半年付息的债券组成，下次付息均在半年后，每种债券的相关资料如下：
债券名称
票面利率
到期时间
面值（元）
市场价格
到期收益率
（年）
（元）
（年率）
A
6%
6
1000
951.68
7%
B5.5%520000200005.5%
C
7.5%
4
10000
9831.68
8%
求该债券组合的到期收益率。
（步骤：
1、列表；2、列方程）
解：
若考试时试题未给出债券的市场价格，必须计算出来。
12
A：
951.68
n1
10
B：
20000
n1
30
1000
（13.5%）n
（13.5%）12
550
20000
（平价出售）
（1
n
（1
10
2.75%）
2.75%）
8
375
10000
C：
9831.68
（14%）8
n1（14%）n
该债券组合的总市场价值为：
951.68+20000.00+9831.68=30783.36元
列表：
r为债券组合的到期收益率
期数
A的现金流
B的现金流
C的现金流
债券组合的现
总现金流的现值
（元）
（元）
（元）
金流（元）
（元）
1
30
550
375
955
955/（1+r）
2
30
550
375
955
955/（1+r）2
3
30
550
375
955
955/（1+r）3
4
30
550
375
955
955/（1+r）4
5
30
550
375
955
955/（1+r）5
6
30
550
375
955
955/（1+r）6
7
30
550
375
955
955/（1+r）7
8
30
550
10375
10955
10955/（1+r）8
930550580580/（1+r）9
1030205502058020580/（1+r）10
11303030/（1+r）11
12103010301030/（1+r）12
总市场价值
30783.36
④列方程：
所以该债券的半年期到期收益率为3.13%；其年到期收益率（内部回报率）
为6.26%。
例十三：
APR与EAR的换算
EAR（1APR）n1
公式：
n
其中：
EAR为实际年利率；APR为名义年利率；n为一年中的计息次数；
A债券的年利率为12%，半年支付一次利息。
B债券的年利率为12%，每季度支付一次利息。
C债券的年利率为10%，每季度支付一次利息。
求这三种债券的实际年收益率。
2
12%
A：
EAR1112.36%
2
4
12%
B：
EAR1112.55%
4
C：
EAR110%
4
110.38%
4
注：
名义利率一样，付息次数越多，实际收益率越大；
付息次数一样，名义利率越大，实际收益率越大。
例十四：
求债券总收益或总收益率（与题型二对比此题没有提前出售债券这一条件故较为简单）
此时，债券的期末价值=总的利息+利息的利息+债券面值
总收益=债券实际总价值-购买债券时的价格
求总收益率：
公式：
每期收益率=（期末价值/期初价值）1/n-1
实际年收益率=（1+每期收益率）m-1
投资者用1108.38元购买一种8年后到期的债券，面值是1000元，票面利率为12%，每半年付息一次，下一次付息在半年后。
假设债券被持有至到期日，
再投资利率等于到期收益率，分别计算该债券的利息、利息的利息以及总收益、总收益率。
解：
16
60
1000
半年期的YTM=5%，即每期的再投资
1108.38
n1（1YTM）n
（1YTM）16
利率为5%
利息+利息的利息=
60
（1
5%）16
1
1419.45元
5%
该债券的利息=60×16=960元
利息的利息=1419.45-960=459.45
元
持有到期时债券的总价值=1419.45+1000=2419.45
元
总收益=2419.45-1108.38=1311.07
元
每期收益率=162419.45
1
5%
1108.38
总收益率=15%2
1
10.25%
例十五：
（资产组合的久期）一个债券组合由三种半年付息的债券构成，求该债券组合的久期，并说明利率变动时价格的变化。
债券名称
面值（元）
票面利率
到期时间（年）市场价格（元）
YTM（年）
A
1000
6%
6
951.68
7%
B
20000
5.5%
5
20000
5.5%
C
10000
7.5%
4
9831.68
8%
解：
1.若没给出市场价格，先计算市场价格；
2.利用简化公式，求出各自的久期；
3.得出修正久期，算出总D*；
4.假设利率变动，计算现在的价格。
久期的简化公式：
1y
（1
y）T（c
y）
D
y）T
y；
y
c[（1
1]
分别计算出A、B、C的久期：
1
3.5%
（1
3.5%）
12
（3%
3.5%）
（半年）
DA
3.5%
3%
（1
3.5%）121
3.5%
10.2001
DA*10.2001
9.8552
13.5%
（半年）=4.9276（年）
1
2.75%
（1
2.75%）
DB
2.75%
2.75%
（1
2.75%）101
2.75%
1
2.75%
1
1
8.8777
2.75%
（1
2.75%）10
（半年）
DB*
8.8777
8.6401（半年）=4.3201（年）
（1
2.75%）
14%
（14%）
8
（3.75%
4%）
（半年）
DC
3.75%
1
4%8
1
7.0484
4%
4%
D*7.0484
6.7773（半年）=3.3887（年）
C
1
4%
该债券组合的市场总价值等于951.68+20000+9831.68=30783.36元，债券A的权重为0.0309、债券B的权重为0.6497、债券C的权重为0.3194。
因此，该债券组合的久期为：
D*
4.9276
0.0309
4.32010.6497
3.3887
0.3194
4.0414
（年）
这表明当组合中的三种债券的年收益率都变动
会变动4.0414%。
1个百分点时，组合的市场价值将
例十六：
如何构造理论上的即期利率曲线——解鞋带的方法：
假设存在5种政府债券，期限分别从1年到20年。
这些债券都是平价债券，即价格与面值相等，等于100元。
因为是平价债券，所以这些债券的到期收益率与票面利率正好相等。
债券期限（年）YTM（票面利率）即期利率（Sn）远期利率（fn1,n）
15%5%5%
25.1%5.1026%5.2052%
35.2%5.207%5.4161%
45.35%5.368%5.8525%
55.45%5.4763%5.9106%
解：
在整个计算过程中，债券都被看做是一系列零息债券构成的债券组合，债券的价
（1Sn）n
1
，
格等于这些零息债券的价值总和；先求出即期利率，再利用fn1,n
（1Sn1）n
1
计算远期利率。
1
年期债券的到期收益率就是
1年期的即期利率，即S1
5%；
2
年期债券的现金流模式如下：
100
5.1%
100（1
5.1%）
100
S1）
S2）2
（1
（1
解得S2
5.1026%
、f1,2
（1S2）2
（1
15.2052%；
S1）
3年期债券的现金流模式如下：
5.2
5.2
105.2
100
2
（1S3）3
（1S1）（1S2）
解得S3
5.207%
（1S3）3
1
1
5.207%3
1
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