多元表征融入分数的乘法教学.docx
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多元表征融入分数的乘法教学
多元表徵融入分數的乘法教學
國小的分數向來是較難處理的教材，原因在於分數的學習需要將具體操作轉變為抽象的思維，因為學童難以將現實世界中完整的東西切割成分數的型態。
一般而言，數學概念可以用具體表徵、圖像表徵和符號表徵三種方式呈現。
而Lesh（1987）的研究中建議Bruner的三個表徵模式可以延伸成五個表徵類別，如圖1：
圖1數學學習的五種表徵（Lesh&Behr,1987）
（一）真實情境（Real-worldsituations）：
是由實際世界所組織的知識，可用來解釋其他的內容或問題情境，如披薩。
（二）教具模型（Manipulative）：
如古氏積木、百格板、分數板。
（三）圖像（Pictures）：
較為靜態的模式，也可認為是「心像」。
（四）語言（Spokensymbols）：
如三分之一。
（五）書寫符號（Writtensymbols）：
可能涉及到特殊化的句子或片語，如「 」。
Bruner的建議是由「具體表徵」到「圖畫表徵」再到「符號表徵」的順序，但Lesh所著重的是「表徵之間的關係」，並將這些表徵之間和之內的關係稱為「轉換（translations）」，每一個轉換對學生而言就是一個概念的重新解釋。
Lesh,Behr和Post認為學生必須具有以下條件才可算是了解一個概念（引自呂玉琴，1991）：
①學生必須能將此概念放入各種不同的表徵系統間；
②在給定的表徵系統內，必須能很有彈性的處理這個概念；
③必須能夠很精確的將此概念從一個表徵系統轉換到另一個表徵系統。
但在教學現場，學生在各種表徵之間的轉換會出現困難，必須仰賴教師使用不同的表徵，協助學生建立新概念並連結舊經驗，協助學生將「具體表徵」抽象化，進而推論出成人「算則」。
迷思概念
Kennedy和Tipps（2000）的研究指出，分數的乘法主要有三種不同的分數乘法類型：
分數×整數、整數×分數、分數×分數。
在教「整數的乘法」時，結果一定比原來的數大，然而這樣的經驗會讓學生在學習「分數的乘法」時產生疑惑，因此教學時，教師也要打破：
「乘一定變大」的迷思。
類型1：
分數×整數
先從累加的概念著手，喚起整數乘法的意義，可透過算式、積木模型、數線圖解等方式，強調單位量（基準量）為基礎，多幾次連加與乘法算式的連結與練習：
如：
3/4+3/4+…＝3/4×5=15/4，提供幾何模型板搭配說明，探索並討論此類型乘法運算的規則，同時顯示出單位分數的重要。
類型2：
整數×分數
此處複習分數的基本概念，強調基準量（誰代表1）與單位分數的意義，提供學生可操作的具體物或圖形表徵，以離散量為佳，引導學生探索與討論此類型分數乘法的規則，並和前一類型進行比較，得出基準量、分割、單位分數的重要。
類型3：
分數×分數
以連續量的情境為佳，從圖解的操作來強調再分割以及與原基準量的比較，分數×分數已經涉及基準量、再分割、單位分數、與原基準量四種不同的概念。
分數乘法中最重要的概念：
基準量、子分割、單位分數、合成等概念。
要提供離散量或連續量的圖形表徵，能增加學生對分數概念的認識，分數的乘法除了引出分數乘法共同法則外，還要強化涉及的基本概念。
Dickson,Brown,和Gibson（1984）將分數乘法的解題模式分成兩種類型：
（一）「面積的乘積」模式（productasarea）：
將分數的乘法用具體圖像表徵成矩形的面積（圖2）。
例：
圖2面積的乘積模式（productasarea）（引自Payne,1976）
（二）「部分－整體區域面積」模式（sub-areaaspartofawholearea）：
圖3部分－整體區域面積模式（sub-areaaspartofawholearea）
（引自Payne,1976）
圖4部分－整體區域面積模式（sub-areaaspartofawholearea）
（引自Payne,1976）
本教學設計將依據上述二個研究，以「部分－整體」與「面積的乘積」模式兩種方式的佈題來引導學習，教學重點為學生最感困難之「被乘數為帶分數」的類型，教學方式側重從具體情境切入，漸次引導學生進行抽象思維，最後能成功的掌握分數的概念。
此外，我們也強調透過各種多元表徵的彈性運用，包括：
摺紙（教具模型表徵）、學生繪圖（圖像表徵）、中秋節月餅（真實情境表徵）、學習單（書寫符號）、問題討論與概念澄清（語言表徵）的呈現，加強學生對分數概念的理解，並能掌握
四、架構圖
參、教學活動（含學習單、老師問話）
活動：
媽媽的中秋月餅
活 動 內 容 說 明
備 註
情境：
中秋節快到了，媽媽做了很多塊好大好大的月餅。
問題一：
哥哥吃了 塊月餅，爸爸吃了 塊月餅，誰吃的多？
指導重點：
透過操作，讓學生先複習等值分數的意義，從操作或圖像讓學生理解：
基準量相同時，內部的切割數量如果不同，也可以透過比較，取出相同大小的分量。
1.先用摺紙做出 ，再用摺紙做出 ，對照 與 。
2.藉由摺紙或切割的操作，加強體認 可擴分成為 。
3.檢驗學生是否能明確說出等值分數的意義。
4.從圖示可觀察，當分母由4份切成8份時，分子也同時由1份切成2份，觀察得 可擴分成為 。
理解等值分數
問題二：
叔叔跟嬸嬸帶著堂哥來拜訪我們，他們三個人各吃了
塊月餅，請問他們三人共吃了幾塊月餅？
指導重點：
分數乘以整數，重點應放在「倍數」概念的延伸，故此處以「倍數」的題型，指導學生理解分數乘以整數的概念。
1.學生能明確知道 ×3＝ ＋ ＋ （分數乘以整數可視作分數的連加）
2.指導學生列出×3的算式
3.做圖表示：
4.觀察圖形可發現，要變成3倍時，分割的份數並沒有改變，所以分母維持4，但分子的部份已增加為3倍，答案可以寫成。
5.×3可寫做成人算則，×==
6.帶分數乘以整數時，也是先以圖示的方式表示（例如1×2），透過倍數的關係，來察覺帶分數中的整數
（1）與分數（）都同時增加了2倍，讓學生了解到帶分數乘以整數時，可以將整數與分數分開計算的方式來處理，以便日後與分數算則做連結。
若將帶分數化作假分數，則整數的部份也要做分割，並從假分數×整數的圖示中，察覺「單位分數」（）呈倍數增加的情形。
分數乘以整數
問題三：
媽媽想要算一算今年總共做了多少塊月餅，一個月餅盒可以裝8塊，媽媽做了盒，總共有幾塊？
指導重點：
此處以「整數」×「帶分數」做範例說明，「整數」×「真分數」可用相同方式引導學生討論學習。
1.思考題目，先讓學生討論被乘數為整數時該怎麼辦？
2.思考方向：
根據過去學習乘法交換律的經驗，8×可不可以寫成×8？
3.如果可以使用交換律，×8是不是連加八次？
會不會太麻煩？
有沒有別的作法？
4.本題也可使用分配律
5.作圖表示：
6.將帶分數化為假分數計算時，8×要先將化作假分數，透過單位分數的意義，將基準量8切割成4份，再將結果乘以27。
在過程中，讓學生察覺此類型的問題需將整數先進行單位分數的切割，再乘以分子，就可以得到結果。
整數乘以分數
分數的乘法也可使用分配律
問題四：
奶奶出來迎接叔叔他們，奶奶說：
「我也想要吃月餅，可是塊月餅太多了，我想吃塊月餅的一半就好。
」，請問奶奶想吃幾塊月餅？
指導重點：
1.奶奶想吃的一半，首先要了解一半就是，需指導學生了解「一半」的意義。
2.乘以所得之值應要比小，應對學生明確說明，值比較小的原因是：
因為又少了一半。
3.亦可藉由畫圖切割或是摺紙操作得到答案。
4.討論問題：
此處要引發學生思考，乘以和除以2的意義是否相同？
5.做圖表示：
6.當乘數不是單位分數時，該如何處理？
真分數×真分數的算則（分母相乘、分子相乘）：
以×為例，重點是分數乘以分數時，先將被乘數切割成3份，再乘以2倍，逐漸引發學生理解算則。
分數乘以分數
問題五：
爸爸吃了塊月餅，伯伯吃的是爸爸的倍，伯伯吃了幾塊，有沒有比爸爸多？
指導重點：
1.首先釐清題意，是否比1倍還要多？
若是，則做出來的答案要比（也就是大）。
2.伯伯的倍是指1倍加上倍，所以學生可先計算出1倍等於塊，再算出的倍等於塊，兩數相加得到
塊。
3.教師指導，真分數乘以帶分數時，可先將帶分數化為假分數，採用【真分數×真分數】的算則，乘數化為，先將被乘數乘以，再乘以分子的3倍，亦可求出答案。
4.做圖表示：
（作法一）分數乘法的意義：
使用分配律
（作法二）單位分數的意義：
帶分數化成假分數
分數乘以帶分數的值會變大
問題六：
伯伯跟叔叔要回家了，伯伯提了 盒月餅回家，叔叔拿的是伯伯的 倍，叔叔拿了幾盒回家？
共有幾塊？
指導重點：
1.先區分「盒」和「塊」是不同的大小單位。
2.討論：
帶分數×帶分數的題目，如果不想化成假分數時，該怎麼使用分配律？
3.作圖表示：
4.可以先把乘數的整數和分數部份分開，分別乘以乘數的整數和分數部份，依照先前學過的真分數×帶分數的概念，可以順利解決帶分數×帶分數的問題。
5.思考：
假分數×假分數，是否也可以使用真分數×真分數的算則？
6.先將被乘數與乘數都化成假分數×，依照先前的經驗
可先乘以得到，再乘以5就可得到答案＝。
7.×8是帶分數乘以整數的概念，可仿前述做法。
體驗帶分數相乘
能掌握單位與數量的互換
學生討論：
熟悉分數算則後，統整所有的乘法問題。
1.分數×整數的乘法問題有那些共同的特徵？
要如何處理？
2.整數×分數的乘法問題有那些共同的特徵？
要如何處理？
3.分數×分數的乘法問題有那些共同的特徵？
要如何處理？
4.上面這些分數乘法問題有那些共同的特徵？
學生是否能表達分數的意義及算則
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