特殊的平行四边形复习讲义.docx
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特殊的平行四边形复习讲义
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义
学生姓名：
年级：
老师：
上课日期：
上课时间：
上课次数：
______年级第______单元课题______
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[课前准备]
课前检查：
作业完成情况：
优（）良（）中（）差（）
复习预习情况：
优（）良（）中（）差（）
——————————————————————————————————
[学习内容]
特殊的平行四边形讲义
考试考点综述：
特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学
生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。
内容主要包括：
矩形、菱形、正
方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形
是矩形、菱形、正方形的条件。
知识目标
掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学，
使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。
重难点：
1.矩形、菱形性质及判定的应用
2.相关知识的综合应用
教学过程
知识点归纳
矩形
菱形
正方形
边
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
性
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
质
对
互相垂直平分，且每条
互相垂直平分且相等,每条对角线平
角
互相平分且相等
对角线平分一组对角
分一组对角
线
·有三个角是直角;
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且
·是平行四边形且有一
·是矩形，且有一组邻边相等；
判定
有一个角是直角;
组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
·是平行四边形且
·是平行四边形且两条
两条对角线相等.
对角线互相垂直。
1
对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形
矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：
一．矩形
矩形定义：
有一角是直角的平行四边形叫做矩形．
【强调】矩形
（1）是平行四边形；
（2）一一个角是直角．
矩形的性质
性质1矩形的四个角都是直角；
性质2矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。
矩形的判定
矩形判定方法1:
对角线相等的平行四边形是矩形．
注意此方法包括两个条件：
（1）是一个平行四边形；
（2）对角线相等
矩形判定方法2:
四个角都是直角的四边形是矩形．
矩形判断方法3：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
例1：
若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
2
例2：
菱形具有而矩形不具有的性质是（）
A．对角线互相平分；B.四条边都相等；C.对角相等；D.邻角互补
例3：
已知：
如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?
H，求证：
?
四边形EFGH是矩形．
二．菱形
菱形定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
【强调】菱形
（1）是平行四边形；
（2）一组邻边相等．
菱形的性质
性质1菱形的四条边都相等；
性质2菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法1:
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：
（1）是一个平行四边形；
（2）两条对角线互相垂
直．
菱形判定方法2:
四边都相等的四边形是菱形．
例1已知：
如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：
∠AFD=∠CBE．
例2已知：
如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：
四边形AFCE是菱形．
3
例3、如图，在ABCD
中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分
别交于E、F，求证：
四边形
AFCE是菱形.
E
A
1
D
O
B
2
F
C
例4、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE、
BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。
求证：
AM=BE。
A
BMD
E
C
例6、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：
△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.
三．正方形
正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）
②有一个角是直角的平行四边形（矩形）
正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
正方形定义：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
．．．．．．．．．．．．．．．．．．
正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称
正方形的判定方法：
?
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
?
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形．
4
?
注意：
1、正方形概念的三个要点：
?
（1）是平行四边形；
?
（2）有一个角是直角；
?
（3）有一组邻边相等．
2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.
例1已知：
如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：
OE=OF．
例2已知：
如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．
求证：
四边形PQMN是正方形．
例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.
（1）求证：
①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x,△PBE的面积为y.
①求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.
5
实战演练：
1.对角线互相垂直平分的四边形是（）
A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形
2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（）
A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（
A．当AB=BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC=900时，它是矩形
D．当AC=BD时，它是正方形
A
D
D．菱形、正方形
）
Ａ
Ｆ
Ｅ
B
C
Ｂ
Ｄ
Ｃ
4.如图，在
△ABC中，点
E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且
DE∥CA，
DF∥BA．下列四个判断中，不正确
的是（
）
．．．
A
．四边形
AEDF
是平行四边形
B
．如果
BAC90
，那么四边形
AEDF
是矩形
C．如果AD平分
BAC，那么四边形
AEDF是菱形
D．如果AD
BC且AB
AC，那么四边形
AEDF是菱形
5.如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E
处，折痕为AF．若CD6，则AF等于（）
A
．
43
B33
C42
D
．8
．
．
Ａ
Ｄ
E
A
D
Ｅ
O
B
C
Ｂ
Ｆ
Ｃ
F
6.如图，矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线相交于
O点，过点O作AC的垂线EF，
分别交AD，BC于E，F点，连结CE，则△CDE的周长为（
）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），
若方格纸中每个最小正方形的边长为
1，则该菱形的面积为
A
A
D
B
D
C
C
B
8.如图，在矩形
ABCD中，对角线AC，BD交于点O，已知
AOD120，AB
2.5，
则AC的长为
．
6
9.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是.
10.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若再补充一个条件能使菱形
ABCD成为正方形，则这个条件是
（只填一个条件即可）．
A
D
A
D
P
O
B
C
B
C
11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是．
12.如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长
线分别交于E，F．
（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？
证明你的结
论．
F
AD
O
BC
E第12题图
应用探究：
1.如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，若
DBC22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）
有（）
A．6个
B．5个
C．4个
D．3个
B
A
D
C
22.5
E
C
C
D
A
M
B
2.如图，正方形
ABCD的面积为
1，M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是（
）
3
1
2
D．
4
A．
B．
C．
9
10
3
5
7
3.已知AC为矩形ABCD的对角线，则图中1与2一定不相等的是（）
D
C
D
CD
C
D
C
2
2
2
2
A
1
B
A1
BA
1
A1
B
1
B
A．
B．
C．
D．
4.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志
.将宽为1cm的红丝带交叉成
60°角重叠在一
起（如图），则重叠四边形的面积为
_______cm2.
A
H
D
EG
BFC
5.如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，
若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
6.如图：
矩形纸片ABCD，AB=2，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE折叠，点B
恰好落在AC上，则AC的长是．
AD
P
BEC
本次课作业：
家长签字：
1、预习：
2、写：
教学主管签字：
8
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