八年级数学平行四边形同步讲义.docx

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八年级数学平行四边形同步讲义

平行四边形的性质

【知识要点】

1.你知道平行四边形的定义和表示符号吗？

2.依次从边、角、对角线三个方面，列出平行四边形的性质吧！

（1）边：

（2）角：

（3）对角线：

3.两条平行线间的距离是指什么呢？

平行四边形的面积公式是什么呢？

你知道二者有什么关系吗？

对于平行四边形的面积，你能找出其中一条规律来吗？

4．平行四边形的知识运用包括三个方面：

（1）直接运用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；

（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；

（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。

【典型例题】

#利用平行四边形的性质求解边和角

例1—1在平行四边形ABCD中

（1）若∠A=40°，则∠B=，∠C=，∠D=。

（2）若∠A－∠B=80°，则∠A=，∠B=。

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A=，∠B=。

A

B

C

D

O

（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD=，AD=。

例1—2如图，□ABCD中，AD⊥BD，垂足为D，OA=10，OB=6，求BC、AB的长。

A

B

C

D

#灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算

例2—1如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各边长和各内角的度数。

例2—2已知□ABCD的周长为80cm，AC⊥AB，△ABC的周长为60cm，求AB与BC的长。

A

B

C

D

O

例2—3如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:

∠ABC=1:

3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

B

C

D

A

F

E

例2—4如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DF，求△DEC的面积。

A

B

C

D

O

#利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围

例3—1如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为（）

A．1﹤AB﹤7B．2﹤AB﹤14

C．6﹤AB﹤8D．3﹤AB14

例3—2平行四边形的一边长为10，那么它的对角线长度可以是（）

A．8和12B．20和30C．6和8D．4和6

A

B

C

D

F

E

#灵活运用平行四边形的面积公式计算

例4—1小强家承包了一块苗圃用来养花。

如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m，从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m，求这个平行四边形苗圃的面积。

D

C

B

A

h

例4—2已知□ABCD中周长是36cm，且AB=10cm，AD与BC间的距离为6cm，求：

AB与CD之间的距离。

A

B

C

D

E

例4—3如图，在□ABCD中，对角线AC=21厘米，BE⊥AC，垂足为E，且BE=5厘米，AD=7厘米，试求AD与BC之间的距离。

#利用平行线之间的垂线段处处相等求解

C

A

B

例5—1如图所示，点A（乡镇）、B（村）、C（村）同处一片平坦的地区，计划经过点A修建一条水泥路L，使点B、C到L的距离相等，在图中画出直线L。

A

B

C

D

E

F

*例6如图所示，□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E。

若DE=2AB，求∠AED的度数。

A

B

C

D

E

M

*例7如图所示，□ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少？

A

D

B

C

E

F

*例8如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，求证：

S△ABE=S△ADF。

A

B

C

D

E

F

O

*例9如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF,求证：

∠AOB=∠COB

【大展身手】

#一、判断题

1．一组对边平行的四边形叫做平行四边形。

（）

2．一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形。

（）

3．两条平行线间的距离是指从一边上的任意一点到另一边的距离。

（）

4．相邻两边相等的平行四边形的四条边都相等。

（）

5．相邻的两个角都互补的四边形为平行四边形。

（）

6．平行四边形的对角线相等。

（）

7．平行四边形的一组邻角的平分线互相垂直。

（）

8．两组对边平行的四边形是平行四边形。

（）

9．对角线相等的四边形是平行四边形。

（）

10．对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形。

（）

11．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形。

（）

12．有两组邻角互补的四边形是平行四边形。

（）

13．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形。

（）

14．有三个角为直角的四边形是平行四边形。

（）

二、选择题

1.在□ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（）

A、105°B、115°C、125°D、65°

2.在□ABCD中，∠B-∠A=20°，则∠D的度数是（）

A、80°B、90°C、100°D、110°

3.已知□ABCD的周长为40cm，边AB-BC=4cm，则边AD、CD的长为（）

图4-1-1

B

C

F

G

D

E

A

H

A、10cm、14cmB、8cm、12cmC、14cm、10cmD、12cm、8cm

4.如图4-1-1，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF与

GH相交于O，则图中共有平行四边形的个数是（）

A、4个B、5个

C、7个D、9个

图4-1-2

B

C

F

D

A

E

5.如图4-1-2，在□ABCD中，E、F分别是边AB、DC的

中点，则图中共有平行四边形的个数是（）

A、3个B、4个

C、5个D、6个

6.在以下平行四边形性质中，错误的说法是（）

A、对边平行B、对角相等C、对边相等D、对角线相等

7.□ABCD的对角线相交于O，△OBC的周长为58cm，AD=28cm，两条对角线之差为14cm，则两条对角线的长分别为（）

A、23cm和9cmB、23cm和37cmC、8cm和22cmD、24cm和38cm

8.□ABCD的周长为32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围是（）

A、6＜AC＜10B、6＜AC＜16C、10＜AC＜16D、4＜AC＜16

9.以长为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

10.如图4-1-3，在□ABCD中，EF对角线交点O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四边形BCEF的周长为（）

A、13cmB、15cmC、11cmD、9.5cm

11.如图4-1-3，在图中有全等三角形（）

A、3对B、4对C、5对D、6对

12.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：

DA=2：

3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长为（）

A、3cmB、6cmC、9cmD、12cm

13.如图4-1-4，

∥

，AB∥CD，CE⊥

，FG⊥

，E、G为垂足，则下列说法不正确的是（）

A、AB=CDB、EC=FG

C、A、B两点的距离就是线段AB的长D、

与

的距离就是线段CD的长

14.在□ABCD中，∠A：

∠B：

∠C：

∠D的值可以是（）

A、1：

2：

4：

2B、1：

2：

1：

2C、1：

1：

2：

2D、1：

2：

2：

1

15.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（）

图4-1-4

B

D

E

G

F

C

A

A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定

图4-1-3

F

B

C

E

D

A

O

二、填空题

1．两组对边分别的四边形叫做平行四边形，平行四边形的的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

2．平行四边形的对边，对角。

3．用20cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3:

2，则长边长为，短边长为。

4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠A=，∠B=，∠C=，∠D=。

5．在□ABCD中，∠A：

∠B=3：

2，则∠C=，∠D=。

6．若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形一共可以做个。

7．平行四边形一组邻角的平分线一定是。

8．平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠B=。

9．平行四边形ABCD的周长为56cm，两邻边之比为3:

5，则这两邻边长分别为。

10．平行四边形一个内角比它的邻补角大24度，则这个内角为。

11.如图4-1-5，在□ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=，∠CAD=。

12.已知O是□ABCD的对角线的交点，AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，BD=13cm，则△ODC的周长是，△OAD的周长是。

13.在□ABCD中，如果AC=2cm，BD=6cm，CA⊥AB，那么□ABCD的周长是cm，面积是cm2。

14.在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AB交AB于点E，OE=3cm，则AB与CD间的距离为cm。

15.□ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，那么AB=cm，BC=cm。

16.在□ABCD中，∠A=30

，AB=7cm，AD=6cm，则S□ABCD=。

图4-1-6

C

F

D

A

B

E

图4-1-5

C

D

A

B

17.如图4-1-6，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，AE=

，AF=

，则

（1）∠BAD=，∠C=，∠D=；

（2）AB=，BC=。

18．过□ABCD的钝角顶点A作两条高AE，AF，若∠B=60°，则∠EAF=。

19．□ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB=，BC=。

20．□ABCD的周长为40，两邻边的比为3：

5，其四边的长分别为。

21．在□ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两线段，则四边形的周长为。

22．□ABCD的周长为25cm，对边距离都为2cm，则它的面积为。

23．如果在□ABCD中，AB=8，对角线AC=6，则另一条对角线BD的范围是。

24．□ABCD的周长为22cm，AC，BD交于O点，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=，AB=。

25．过□ABCD的钝角顶点A，分别作两条高AE和AF，若∠EAF=60°，BE=2，DF=3，则

□ABCD的面积为。

26．已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别补上下列条件中的哪一个条件，四边形就为平行四边形：

①AD=BC；②AB∥CD；③AB=AD；④∠A=∠C。

（填上序号）

27．平行四边形的两邻边长分别为3和5，其夹角为120°，则该平行四边形的面积为。

三、解答题

#1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

A

B

C

D

E

#2．平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。

B

C

A

D

M

3．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M为AD的中点，求∠BMC的度数。

图4-1-9

C

F

D

A

B

E

4.如图4-1-9，在□ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，□ABCD的周长为20cm，求S□ABCD。

图4-1-10

B

C

D

A

E

5.如图4-1-10，在□ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若□ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比□ABCD的周长少10cm，求□ABCD的一组邻边的长。

B

E

C

D

A

F

6．在□ABCD中，E、F分别是AC、CA延长线上的点，且CE=AF，求证：

BF∥DE。

A

F

C

D

B

7．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=AC=13cm，试说明：

四边形AEDF是平行四边形，并求它的周长。

B

C

D

A

E

F

8．如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF长多少？

9．如果平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线的长，而此对角线的长为4cm，求此平行四边形相邻两内角的度数及各边的长。

F

B

C

D

O

A

E

10．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，延长AB到点F，延长BA到点E，使得AB=AE=BF，连结CE和DF交于点O，求证：

EC⊥DF。

（要求完整过程）

平行四边形的判定

【知识要点】

1．平行四边形的判定方法：

从边的角度来看，共有三条判定定理，依次用文字表述列出来，并且试着证明吧！

（1）

（2）

（3）

从对角线的角度，有一条判定定理，用文字表述列出来，并且试着证明吧！

从角的角度，有一条判定定理，用文字表述列出来，并且试着证明吧！

2．知识点延伸：

除两组对角分别相等的四边形是平行四边形外还有两条比较典型的说法，你知道吗？

能证明吗？

（1）

（2）

【典型例题】

#例1、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD，这四个条件中选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有多少种（）

A．3B．4C．5D．6

O

D

F

C

A

B

E

#例2、如图，已知O是□ABCD的对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点，四边形AECF为平行四边形吗？

说明理由。

D

C

A

B

G

H

E

F

#例3、如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F分别为AB、DC的中点，AF、DE交于G，BF、CE交于H，试说明：

EHFG为平行四边形。

A

D

B

F

E

C

例4、如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上的一点，EF∥AB，DF∥BE，

（1）猜想DF与AE的关系；

（2）试证明你的猜想。

D

C

A

B

E

F

G

H

#例5、如图，在□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且满足AE=CF，BG=DH，连结EF、GH。

求证：

EF与GH互相平分。

A

B

C

D

G

O

E

F

例6、如图，在△ABC中，

，

，BE，AF分别是

的平分线，BE和AD交于G，求证：

。

A

B

C

D

E

F

G

H

例7、已知：

如图，□ABCD中，EF∥BD，EF分别交AB、AD的延长线于E、F，交BC、CD于G、H。

求证：

EG=FH

图4-2-7

B

A

D

C

E

F

*例8、如图4-2-7，在□ABCD中，∠DAB、∠ADC的平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的平分线交于点F，AB=5cm，BC=3cm。

求EF的长。

图4-2-17

B

C

D

A

*例9、如图4-2-17，ABCD为平行四边形，将AB、CD分别五等分，将BC、AD分别四等分，并进行分割，如果□ABCD的面积为S，则分割后形成的小平行四边形面积为。

A

B

C

D

F

E

例10、如图，△ABC为等边三角形，D,F分别是BC,AB上的点，且CD=BF,以AD为边作等边△ADE.

（1）求证：

△ACD≌△CBF；

（2）当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且

？

证明你的结论。

*例11、如图4-2-12为公园的一块草坪，其四角上各有一棵树，现园林工人想使这个草坪的面积扩大一倍，又要四棵树不动，并使扩大后的草坪为平行四边形，试问这个想法能否实现？

若能，请你设计出草图，否则说明理由。

【大展身手】

一、选择题

#1．两个能完全重合的三角形按不同方法拼成四边形，在这些拼出的四边形中，平行四边形最多有（）。

A．1个B．2个C．3个D．4个

#2．四边形ABCD的对角线AC、BD交于O点，下列能判定它为平行四边形的是（）。

A．∠A=∠B，∠B=∠DB．AO=CO，BO=OD

C．AB=BC=CDD．AB=AD，CB=CD

#3．能判定四边形是平行四边形的是（）。

A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等

C．一组对边相等，一组邻角相等D．一组对边平行，一组邻角互补

#4．能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）

A．一组对角相等B．两条对角线互相平分

C．一组对边相等D．两条对角线互相垂直

#5．能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）

A．AB∥CD，AD=BCB．∠A=∠B，∠C=∠D

C．AB=CD，AD=BCD．AB=AD，CB=CD

#6．下列说法错误的是（）。

A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C．对角线相等且互相垂直的四边形是平行四边形

D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形

#7．下列说法中正确个数有（）。

①一组对边平行且相等的四边形为平行四边形

②一组对边平行而另一组对边相等四边形为平行四边形

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形

④有两边相等，另外两边也相等的四边形是平行四边形

⑤一组对边及一组对角相等的四边形是平行四边形

A．2个B．3个C．4个D．5个

#8．平行四边形的两邻边分别为20和16，若两长边间距离为8，则两短边间的距离为（）。

A．5B．10C．4D．8

#9．下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形是（）。

A．1:

2:

3:

4B．2:

2:

3:

3C．2:

3:

3:

2D．2:

3:

2:

3

10．根据下列条件，能作出平行四边形的是（）

A．两组对边的长分别是3和5

B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9

C．一边的长为7，两条对角线的长分别是6和8

D．一边的长为7，两条对角线的长分别是6和5

11．给定不在同一直线上的三点，则以这三点为顶点的平行四边形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．从等腰三角形底边上任意一点分别作两腰的平行线与两腰相交，那么所组成的平行四边形的周长是这个等腰三角形的（）

A．周长B．周长的一半C．腰长D．腰长的2倍

13．一个四边形的边长依次是a,b,c,d,且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是（）

A．长方形B．正方形C．平行四边形D．不是平行四边形

14．已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，如果只给出条件“AB∥CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法，正确的一组是（）

（1）如果再加上条件“BC=AD”，就可以了

（2）如果再加上条件“∠BAD=∠BCD”，就可以了

（3）如果再加上条件“AO=CO”，就可以了

（4）如果再加上条件“∠DBA=∠CAB”，就可以了

A．

（1）

（2）B．

（1）（3）（4）C．

（2）（3）D．

（2）（3）（4）

15．A、B、C、D在同一平面内，从

（1）AB∥CD，

（2）AB=CD，（3）BC∥AD，（4）BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（）

A．3种B．4种C．5种D．6种

二、填空题

#1．一个四边形要具备下列条件之一就是平行四边形：

两组对边；两组对角；一组对边；对角线。

#2．一组对边平行，一组对角相等的四边形是。

#3．四边形ABCD与四边形BMNC是平行四边形，则四边形AMND是四边形，理由是。

#4．有公共顶点的两个全等三角形，其中一个三角形绕公共顶点旋转180°后与另一个三角形重合，那么不共点的四个顶点的连线构成形。

图4-2-1

C

E

B

A

D

F

图4-2-2

C

D

A

B

F

H

E

G

图4-2-3

B

C

E

D

A

F

#5．如图4-2-1，E、F分别是平行四边形ABCD的边BC与DA的三分之一点，则四边形AECF是形。

6．如图4-2-2，在□ABCD中，AE=CG，DH=BF，顺次连结E、F、G、H、E，则四边形EFGH是形。

7．如图4-2-3，在□ABCD中，BE与DF分别为∠ABC与∠ADC的角平分线，则四边形BEDF是形。

#8．如图4-2-4，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件。

（只需填一个你认为正确的条件即可）。

9．如图1所示，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是。

（填上你认为正确的一个即可）

10．如图2，在□ABCD中，E、G是AD的三等分点，F、H是BC的三等分点，则图中的平行四边形有个。

11．已知□ABCD中，AD∥BC，分别添加下列条件：

①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠A=∠C；⑤∠B=∠C，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是。

A

D

B

C

F

E

图1

A

E

G

D

C

B

F

H

图2

图4-2-4

C

D

A

B

12．分别过△ABC的各顶点作它的对边的平行线，围成△

，已知△

的周长为2cm，则△ABC的周长为。

13．在□ABCD中，AB=1，BC=3，∠ABC与∠BCD的平分线分别交AD于E、F，则EF的长为。

14．平行四边形的长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形的各角度数是。

15．把边长为3cm、5cm、7cm的两个全等的三角形拼成一个四边形，一共能找成

种不同的四边形，其中有个是平行四边形。

16．一个四边形的边长顺次是a，b，c，d，且

，则这个四边形是。

17．如图2，在□ABCD中，EF∥AB，EF、GH相交于点O，则图中共有个平行四边形。

*18．在凸四边形ABCD中，AB//CD，且

，