31数列第一课时.docx

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31数列第一课时

数列（第一课时）

听说过印度国王舍罕重赏国际象棋发明人西萨·班·达依尔的故事吧．课本P109有故事的简要介绍．在故事中出现了一些按一定次序排列的数：

一株树苗在一年以后长出一条新枝；

第二年新枝休息，老枝依旧萌发；此后，

老枝与休息过一年的枝丫同时萌发，当年

生的新枝则次年休息，这个规律在生物学

上称为“鲁德维格定律”．

图3—1

1，2，4，8，①

我们还经常接触一些按一定次序排列的数，例如

自然数：

0，1，2，3，4，②

的不足近似值：

0.3，0.33，0.333，③

从前往后四次单元测试成绩：

88，92，92，95④

枝叶茂盛的树木，由下到上枝丫的数目：

1，1，2，3，5，8，⑤

在这一章里，你将学习按一定次序排列的一列数的有关知识．本节着重研究有关的概念．学习本小节要经常使用观察法、待定系数法、累差法、归纳法等已经熟悉的方法．

【学习目标】

1．理解数列的概念；知道数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，由数列的通项公式可以求出数列的各项．

2．能由所给数列的若干项，归纳出一个通项公式，逐步培养由特殊到一般的归纳发现能力及整体观察的习惯．

【学习障碍】

本节课是学习数列的起始课，在学习中会遇到下列障碍：

1．对数列定义中的关键词“按一定次序”和“一列数”的理解有些模糊．

2．对数列与函数的关系认识不清．

3．对数列的表示，特别是通项公式an＝f（n）感到困惑．对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议．

4．判断数列的单调性有困难．

5．由数列的前几项写不出数列的通项公式．

【学习策略】

Ⅰ．学习导引

1．阅读课本P107～110．

2．本课时重点是数列的概念，难点是由已知若干项归纳通项公式．

关于数列的概念，本课时主要介绍了三个：

（1）数列的定义．按一定次序排列着的一列数叫做数列．

（2）数列的项和通项公式．数列中的每一个数都叫做这个数列的项．数列一般可以写成a1，a2，a3，…an，…．其中an是数列的第n项．上面的数列又可简记为{an}．如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．

（3）有穷数列与无穷数列．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

Ⅱ．知识拓宽

1．从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

2．数列可以从不同角度进行分类．

如果按照项的个数来分，对于一个数列，如果在某一项后面不再有任何项，这个数列就叫做有穷数列（如数列④）；如果在任何一项的后面都有跟着的项，这个数列就叫做无穷数列（如数列②）．

如果按照项与项之间的大小关系来分，对于一个数列，如果从第二项起每一项都不小于它的前面的一项（即an＋1≥an），这样的数列就叫做递增数列（如数列①）；如果从第二项起，每一项都不大于它前面的一项（即an＋1≤an），这样的数列就叫做递减数列（如数列1，

，…，

，⑥）．

递增数列和递减数列又统称为单调数列．

除了单调数列，对于一个数列，如果从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项却小于它的前一项，这样的数列就叫做摆动数列；如果一个数列的每一项都相等，这样的数列就叫做常数列，如数列－1，1，－1，1，－1，…⑦是摆动数列．

数列5，5，5，5，5，…⑧是常数列．

对于一个数列，如果每一项的绝对值都小于某一个正数（即|an|

数列①②是无界数列，数列③⑥是有界数列．

Ⅲ．障碍分析

1．怎样理解数列定义中的“一定次序”？

“次序”表现为某种规律．如数列①的排列次序是放入麦粒的棋格次序，后一格麦粒数是前一格的2倍；数列②是按自然数从小到大的次序排列的；数列③是按

的不足近似值精确度由低到高排列的；数列④是按时间前后次序排列的；数列⑤的次序表现为一种需要发现的规律：

a1＝a2＝1，从第三项起，每一项都是它前面两项的和．

2．数列的项与集合的元素一样吗？

（1）我们研究的数列，都有第一个数，即都有首项．集合中的元素则不然，像整数集中的元素：

…，－3，－2，－1，0，1，2，3，…．

虽然可以说是整数由小到大排列，也有次序，但不是数列，因为它没有第一个数．

（2）数列中的项可以相同（如数列④）；而集合中的元素不能相同．

（3）两个数列相同而排列次序不同，它们是不同的数列；而两个集合相同，元素的次序可以不同．

3．数列与函数有什么关系？

对于数列⑤每一项的序号与这一项有下面的对应关系：

序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

…

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

↓

项

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

…

上面可以看成一个序号集合到另一个数的集合的映射．从映射、函数的观点看，数列可以看做一个定义域为N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．而数列的通项公式也就是相应的函数解析式．即an＝f（n）．因此数列可以用图象来表示（是一群孤立的点）．

数列是函数，但函数不一定是数列．下表列出了函数与数列的一些异同点：

不同点

相同点

数列

an＝f（n），自变量依次取正整数，图象为一群孤立点．

都是函数，对应法则相同．

函数

y＝f（x）．自变量一般取某些区间内的任意实数，图象

为一条或几条曲线．

数列an＝f（n）与函数y＝f（x）有下列关系：

（1）定义域关系：

N*

R；

（2）值域的关系：

{an|an＝f（n），n∈N*}

{y|y＝f（x），x∈R}；

（3）对应法则的关系：

相同，都是f；

（4）图象的关系：

{（n，an）|an＝f（n），n∈N*}

{（x，y）|y＝f（x），x∈R}．

4．数列一定有通项公式吗？

对于任何有穷数列，都可以得出它的通项公式．例如，设a1，a2，a3是三项组成的数列，不难验证：

an＝

·a3

是它的通项公式．这种构造通项公式的方法，可以推广到任意有穷数列的情况．

对于无穷数列，并非都能写出它的通项公式．例如，把全体素数按由小到大的次序排列起来，得到的数列2，3，5，7，11，…人们至今无法写出它的通项公式．

一些数列的通项公式可以有不同的形式．如数列⑦的通项公式可以写成an＝（－1）n，也可以写成an＝

或an＝cosnπ，n∈N*．

只给出一个数列的最初若干项，而未指明构成规律，那么仅由前几项归纳出来的所谓“通项公式”常常不是惟一的．如数列2，4，8，…可归纳出an＝2n，也可归纳出an＝n2－n＋2．

5．怎样由数列的前几项写出数列的通项公式？

［例1］写出下列数列的一个通项公式：

（1）1，－1，1，－1，1，…

（2）1，－7，13，－19，25，…

（3）0，1，0，1，…

（4）2，

（5）

，…

（6）1，3，3，5，5，7，7，9，9

思路：

注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出构成规律，写出通项公式．

解：

（1）原数列可改写为（－1）2，（－1）3，（－1）4，（－1）5，…，故此数列的一个通项公式为an＝（－1）n＋1．

（2）原数列的各项可以看成数列{an}：

1，－1，1，－1，…与数列{bn}：

1，7，13，19，25，…对应项的积，又an＝（－1）n＋1，bn＝1＋6（n－1）＝6n－5，故通项公式为cn＝（－1）n＋1（6n－5）．

（3）原数列可改写为

，…，故其一个通项公式为an＝

．

（4）原数列可改写为1＋1，2＋

，3＋

，4＋

，5＋

，…，即1＋

，2＋

，3＋

，4＋

，5＋

，…故其通项公式为an＝n＋

．

（5）原数列可改写为

，

，

，

，…故其通项公式为an＝

．

（6）注意此数列的特点：

奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故此数列可改写为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，…，此数列可看成数列{bn}：

0，1，0，1，0，1，…与数列{cn}：

1，2，3，4，5，6，…对应项之和，又bn＝

，cn＝n．所以原数列的一个通项公式为an＝n＋

．

点评：

（1）对于给出数列的前几项求数列的一个通项公式这类问题，常分析归纳数列的各项中有关元素与项数的相依关系，有时也将数列的各项结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个基本数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行分析归纳．这就要求我们熟练掌握一些基本数列，如{

}、{n2}、{2n±1}、{（－1）n}等．

（2）负号用（－1）n或（－1）n＋1来调节．

（3）分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助于分子、分母的关系．

（4）此类问题没有固定模式，主要靠观察（观察规律）、比较（比较已知的数列）、归纳、转化（转化为熟悉的数列）等方法找出规律．

6．怎样判断数列的单调性？

［例2］设函数f（x）＝log2x－logx2（0

）＝2n，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）研究数列{an}的单调性．

思路：

本题中an是通过函数关系给出的，可将其看成是关于an的方程解出即可．

解：

（1）由已知等式知log2

－log

2＝2n，

即an－

＝2n，也即an2－2nan－1＝0，∴an＝n±

．

又∵0

<1，∴an<0，

故an＝n－

（n∈N*）

（2）∵

<1

又an与an＋1都小于零，故an＋1>an，即知数列{an}是递增数列．

点评一：

数列单调性并不像函数那样任取x1，x2，数列单调性只需比较相邻两项间的大小即可．即证明an＋1－an>0或an＋1－an<0或

>1或

<1．

点评二：

本题易出现的误解是：

（1）由an2－2nan－1＝0，解得an＝n±

．

（2）由

<1，得到an＋1

显然，上述误解的原因在于忽略了0

Ⅳ．思维拓展

［例3］求数列

…的通项公式．

思路一：

通过观察三个分数分母的变化规律，先写出分母的通项，再写出所给数列的通项．

解法一：

分母5，15，35，…的一个通项公式为10·2n－1－5．故所求数列的通项公式为an＝

．

思路二：

根据数列图象的特征，设出一个函数，使其图象通过三点：

（1，5）、（2，15）、（3，35）．所设函数可以通过三点确定、二次函数符合要求．

解法二：

设bn＝an2＋bn＋c，则有

解得

∴bn＝5n2－5n＋5

∴所求通项公式为an＝

．

想一想，所给数列还有别的表达式吗？

点评：

除观察法外，待定系数法有时也可以用来求数列的通项公式．

Ⅴ．探究学习

设{cn}是

的过剩近似值数列：

2，1.8，1.74，1.733，1.7321，…

问：

这个数列有通项公式吗？

答案：

解：

用记号［x］表示不大于x的最大整数，则有

c1＝2＝［2.73205…］＝［1＋1.73205…］＝［1＋

］；

c2＝1.8＝18÷10＝［18.3205…］÷10＝［1＋17.3205…］÷10

＝

［1＋10

］；

c3＝1.74＝174÷100＝［174.205…］÷100＝［1＋173.205…］÷100＝

［1＋100

］；

……

一般地，cn＝

［1＋10n－1

］．

【同步达纲练习】

一、选择题

1．下列通项公式中，不能作为数列2，4，8，…通项公式的是

A．an＝2n

B．an＝n2－n＋2

C．an＝－

n3＋5n2－

n＋6

D．an＝2n

2．已知数列

，…那么3

是它的第（）项．

A．23

B．24

C．19

D．25

3．数列7，9，11，13，…2n－1中项的个数为

A．n

B．n－1

C．n－2

D．n－3

4．已知数列an＝

（n∈N*），则在数列{an}的前30项中最大、最小项分别是

A．a1，a30

B．a1，a9

C．a10，a9

D．a10，a30

二、填空题

5．若数列{an}的通项公式是序号n的一次函数，且a1＝2，a17＝66，则其通项公式是______________．

6．数列9，99，999，…的一个通项公式是______________．

7．已知{an}是递增数列，且对于任意的自然数n，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是______________．

三、解答题

8．已知数列{an}：

，…

（1）求a10；

（2）

是否是数列{an}中的项？

9．已知an＝（n＋1）（

）n，试问数列{an}中有没有最大项？

如果有，求出最大项；如果没有，说明理由．

参考答案

【同步达纲练习】

一、1．D提示：

∵n＝3时，a3＝2×3＝6．

∴an＝2n，不是数列2，4，8…的通项公式．

2．D提示：

∵数列的一个通项公式为an＝

．

令

．即4n－1＝99．∴n＝25．

∴3

是an的第25项．

3．D提示：

∵数列的通项公式an＝2n－1，（n≥4）．

∴数列7，9，11，13，…，2n－1中项的个数为n－3．

4．C提示：

∵an＝

∴在数列{an}的前30项中，n＝10时，an最大，n＝9时，an最小．

二、5．an＝4n－2提示：

设an＝kn＋b（k≠0）．

∴

，解得：

6．an＝10n－1提示：

∵

＝10n－1，∴an＝10n－1

7．λ＞－3提示：

∵{an}是递增数列，∴an＋1＞an．

即：

（n＋1）2＋λ（n＋1）＞n2＋λn，解得λ＞－2n－1

对任意的自然数n，an＝n2＋λn恒成立，

∴λ＞－3，λ＞－5，…

三、8．数列{an}的一个通项公式：

an＝（－1）n＋1·

（1）a10＝－

．

（2）∵a9＝

，∴

是数列{an}中的项．

而－

≠a10，∴－

不是数列{an}中的项．

9．an＝（n＋1）·（

）n

∵

．

＝

即：

n＜8时，an＋1＞an，{an}是递增数列．

n＞8时，an＋1＜an，{an}是递减数列．

∴n＝8时，{an}取到最大值，最大值a8＝9×（

）8．