31数列第一课时.docx

1、31数列第一课时数列(第一课时)听说过印度国王舍罕重赏国际象棋发明人西萨班达依尔的故事吧课本P109有故事的简要介绍在故事中出现了一些按一定次序排列的数：一株树苗在一年以后长出一条新枝；第二年新枝休息，老枝依旧萌发；此后，老枝与休息过一年的枝丫同时萌发，当年生的新枝则次年休息，这个规律在生物学上称为“鲁德维格定律”图311，2，4，8， 我们还经常接触一些按一定次序排列的数，例如自然数：0，1，2，3，4， 的不足近似值：0.3，0.33，0.333， 从前往后四次单元测试成绩：88，92，92，95 枝叶茂盛的树木，由下到上枝丫的数目：1，1，2，3，5，8， 在这一章里，你将学习按一定次序

2、排列的一列数的有关知识本节着重研究有关的概念学习本小节要经常使用观察法、待定系数法、累差法、归纳法等已经熟悉的方法【学习目标】1理解数列的概念；知道数列的通项公式是关于项与它的序号的关系的式子，由数列的通项公式可以求出数列的各项2能由所给数列的若干项，归纳出一个通项公式，逐步培养由特殊到一般的归纳发现能力及整体观察的习惯【学习障碍】本节课是学习数列的起始课，在学习中会遇到下列障碍：1对数列定义中的关键词“按一定次序”和“一列数”的理解有些模糊2对数列与函数的关系认识不清3对数列的表示，特别是通项公式anf(n)感到困惑对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议4判断数列的单调性有困难5由数列的前

3、几项写不出数列的通项公式【学习策略】学习导引1阅读课本P1071102本课时重点是数列的概念，难点是由已知若干项归纳通项公式关于数列的概念，本课时主要介绍了三个：(1)数列的定义按一定次序排列着的一列数叫做数列(2)数列的项和通项公式数列中的每一个数都叫做这个数列的项数列一般可以写成a1，a2，a3，an，其中an是数列的第n项上面的数列又可简记为an如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式(3)有穷数列与无穷数列项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列知识拓宽1从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(

4、或它的有限子集1，2，3，n)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式2数列可以从不同角度进行分类如果按照项的个数来分，对于一个数列，如果在某一项后面不再有任何项，这个数列就叫做有穷数列(如数列)；如果在任何一项的后面都有跟着的项，这个数列就叫做无穷数列(如数列)如果按照项与项之间的大小关系来分，对于一个数列，如果从第二项起每一项都不小于它的前面的一项(即an1an)，这样的数列就叫做递增数列(如数列)；如果从第二项起，每一项都不大于它前面的一项(即an1an)，这样的数列就叫做递减数列(如数列1，)递增数列和递减数列又统称为单调数列除了单调数列

5、，对于一个数列，如果从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项却小于它的前一项，这样的数列就叫做摆动数列；如果一个数列的每一项都相等，这样的数列就叫做常数列，如数列1，1，1，1，1， 是摆动数列数列5，5，5，5，5， 是常数列对于一个数列，如果每一项的绝对值都小于某一个正数(即|an|M，这里M是某一正实数)，这个数列就叫做有界数列；假定不存在这样的正数，这个数列便叫做无界数列数列是无界数列，数列是有界数列障碍分析1怎样理解数列定义中的“一定次序”？“次序”表现为某种规律如数列的排列次序是放入麦粒的棋格次序，后一格麦粒数是前一格的2倍；数列是按自然数从小到大的次序排列的；数列是按的不足近似值

6、精确度由低到高排列的；数列是按时间前后次序排列的；数列的次序表现为一种需要发现的规律：a1a21，从第三项起，每一项都是它前面两项的和2数列的项与集合的元素一样吗？(1)我们研究的数列，都有第一个数，即都有首项集合中的元素则不然，像整数集中的元素：，3，2，1，0，1，2，3，虽然可以说是整数由小到大排列，也有次序，但不是数列，因为它没有第一个数(2)数列中的项可以相同(如数列)；而集合中的元素不能相同(3)两个数列相同而排列次序不同，它们是不同的数列；而两个集合相同，元素的次序可以不同3数列与函数有什么关系？对于数列每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号123456789101112项1

7、123581321345589144上面可以看成一个序号集合到另一个数的集合的映射从映射、函数的观点看，数列可以看做一个定义域为N*(或它的有限子集1，2，3，n)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值而数列的通项公式也就是相应的函数解析式即anf(n)因此数列可以用图象来表示(是一群孤立的点)数列是函数，但函数不一定是数列下表列出了函数与数列的一些异同点：不同点相同点数列anf(n)，自变量依次取正整数，图象为一群孤立点都是函数，对应法则相同函数yf(x)自变量一般取某些区间内的任意实数，图象为一条或几条曲线数列anf(n)与函数yf(x)有下列关系：(1)定义域关系：N*R；(

8、2)值域的关系：an|anf(n)，nN*y|yf(x)，xR；(3)对应法则的关系：相同，都是f；(4)图象的关系：(n，an)|anf(n)，nN*(x，y)|yf(x)，xR4数列一定有通项公式吗？对于任何有穷数列，都可以得出它的通项公式例如，设a1，a2，a3是三项组成的数列，不难验证：ana3是它的通项公式这种构造通项公式的方法，可以推广到任意有穷数列的情况对于无穷数列，并非都能写出它的通项公式例如，把全体素数按由小到大的次序排列起来，得到的数列2，3，5，7，11，人们至今无法写出它的通项公式一些数列的通项公式可以有不同的形式如数列的通项公式可以写成an(1)n，也可以写成an或a

9、ncosn，nN*只给出一个数列的最初若干项，而未指明构成规律，那么仅由前几项归纳出来的所谓“通项公式”常常不是惟一的如数列2，4，8，可归纳出an2n，也可归纳出ann2n25怎样由数列的前几项写出数列的通项公式？例1写出下列数列的一个通项公式：(1)1，1，1，1，1， (2)1，7，13，19，25，(3)0，1，0，1，(4)2，(5)，(6)1，3，3，5，5，7，7，9，9思路：注意观察数列中各项与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，由此归纳出构成规律，写出通项公式解：(1)原数列可改写为(1)2，(1)3

10、，(1)4，(1)5，故此数列的一个通项公式为an(1)n1(2)原数列的各项可以看成数列an：1，1，1，1，与数列bn：1，7，13，19，25，对应项的积，又an(1)n1，bn16(n1)6n5，故通项公式为cn(1)n1(6n5)(3)原数列可改写为，故其一个通项公式为an(4)原数列可改写为11，2，3，4，5，即1，2，3，4，5，故其通项公式为ann(5)原数列可改写为，故其通项公式为an(6)注意此数列的特点：奇数项与项数相等，偶数项比项数大1，故此数列可改写为10，21，30，41，50，61，70，此数列可看成数列bn：0，1，0，1，0，1，与数列cn：1，2，3，4，

11、5，6，对应项之和，又bn，cnn所以原数列的一个通项公式为ann点评：(1)对于给出数列的前几项求数列的一个通项公式这类问题，常分析归纳数列的各项中有关元素与项数的相依关系，有时也将数列的各项结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个基本数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行分析归纳这就要求我们熟练掌握一些基本数列，如、n2、2n1、(1)n等(2)负号用(1)n或(1)n1来调节(3)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助于分子、分母的关系(4)此类问题没有固定模式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为熟悉的数列)等方法找出规律6怎样判断数列

12、的单调性？例2设函数f(x)log2xlogx2(0x1)，数列an满足f()2n，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)研究数列an的单调性思路：本题中an是通过函数关系给出的，可将其看成是关于an的方程解出即可解：(1)由已知等式知log2log22n，即an2n，也即an22nan10，ann又0x1，01，an0，故ann(nN*)(2)an，即知数列an是递增数列点评一：数列单调性并不像函数那样任取x1，x2，数列单调性只需比较相邻两项间的大小即可即证明an1an0或an1an1或1点评二：本题易出现的误解是：(1)由an22nan10，解得ann(2)由1，得到an1an，即数列

13、an是递减数列显然，上述误解的原因在于忽略了0x1引起的an0这一隐含条件所致思维拓展例3求数列的通项公式思路一：通过观察三个分数分母的变化规律，先写出分母的通项，再写出所给数列的通项解法一：分母5，15，35，的一个通项公式为102n15故所求数列的通项公式为an思路二：根据数列图象的特征，设出一个函数，使其图象通过三点：(1，5)、(2，15)、(3，35)所设函数可以通过三点确定、二次函数符合要求解法二：设bnan2bnc，则有解得bn5n25n5所求通项公式为an想一想，所给数列还有别的表达式吗？点评：除观察法外，待定系数法有时也可以用来求数列的通项公式探究学习设cn是的过剩近似值数列

14、：2，1.8，1.74，1.733，1.7321，问：这个数列有通项公式吗？答案：解：用记号x表示不大于x的最大整数，则有c122.7320511.732051；c21.8181018.320510117.320510110；c31.74174100174.2051001173.2051001100；一般地，cn110n1【同步达纲练习】一、选择题1下列通项公式中，不能作为数列2，4，8，通项公式的是Aan2nBann2n2Cann35n2n6Dan2n2已知数列，那么3是它的第( )项 A23B24C19D253数列7，9，11，13，2n1中项的个数为AnBn1Cn2Dn34已知数列an(

15、nN*)，则在数列an的前30项中最大、最小项分别是Aa1，a30Ba1，a9Ca10，a9Da10，a30二、填空题5若数列an的通项公式是序号n的一次函数，且a12，a1766，则其通项公式是_6数列9，99，999，的一个通项公式是_7已知an是递增数列，且对于任意的自然数n，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题8已知数列an：，(1)求a10；(2)是否是数列an中的项？9已知an(n1)()n，试问数列an中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，说明理由参考答案【同步达纲练习】一、1D 提示：n3时，a3236an2n，不是数列2，4，8的通项公式2D 提示：数列的

16、一个通项公式为an令即4n199n253是an的第25项3D 提示：数列的通项公式an2n1，(n4)数列7，9，11，13，2n1中项的个数为n34C 提示：an在数列an的前30项中，n10时，an最大，n9时，an最小二、5an4n2 提示：设anknb(k0)，解得：6an10n1 提示：10n1，an10n173 提示：an是递增数列，an1an即：(n1)2(n1)n2n，解得2n1对任意的自然数n，ann2n恒成立，3，5，三、8数列an的一个通项公式：an(1)n1(1)a10(2)a9，是数列an中的项而a10，不是数列an中的项9an(n1)()n即：n8时，an1an，an是递增数列n8时，an1an，an是递减数列n8时，an取到最大值，最大值a89()8