【解析】选C.特殊值法.取a=,
当x=2时,f
(2)=-1<0,排除A,B;
当x=-2时,f(-2)=1>0,排除D.
5.已知函数f1(x)=;f2(x)=(x-1)·;f3(x)=loga(x+)(a>0,a≠1);f4(x)=x·(x≠0),下面关于这四个函数奇偶性的判断正确的是
( )
A.都是偶函数
B.一个奇函数,一个偶函数,两个非奇非偶函数
C.一个奇函数,两个偶函数,一个非奇非偶函数
D.一个奇函数,三个偶函数
【解析】选C.对于函数f1(x)=可知:
1-x2>0,│x2-2│≠2,
它的定义域为(-1,0)∪(0,1),f1(-x)=f1(x),
故f1(x)为偶函数.
对于函数f2(x)=(x-1)·的定义域为(-∞,-1]∪(1,+∞),
它的定义域不关于原点对称,故函数f2(x)没有奇偶性.
对于函数f3(x)=loga(x+)(a>0,a≠1),它的定义域为R,
f3(-x)=loga(-x+)=loga
=-loga(x+)=-f3(x),
故函数f3(x)为奇函数.
对于函数f4(x)=x·(x≠0),
它的定义域为{x|x≠0},
因为f4(-x)=-x·
=-x·=x·
=x·=x·
=x·=f4(x),
故f4(x)为偶函数.
6.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)= ( )
A.2B.-2C.-98D.98
【解析】选B.因为f(x+4)=f(x),
所以函数的周期是4,
因为f(x)在R上是奇函数,
且当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,
所以f(7)=f(7-8)=f(-1)=-f
(1)=-2.
7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则g(f(-7))=
( )
A.3B.-3C.2D.-2
【解析】选D.函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=
设x<0,则-x>0,则f(-x)=log2(-x+1),
因为f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-log2(-x+1),
所以g(x)=-log2(-x+1)(x<0),
所以f(-7)=g(-7)=-log2(7+1)=-3,
所以g(-3)=-log2(3+1)=-2.
8.一天,小亮看到家中的塑料桶中有一个竖直放置的玻璃杯,桶和玻璃杯的形状都是圆柱形,桶口的半径是杯口半径的2倍,其主视图如图所示.小亮决定做个试验:
把塑料桶和玻璃杯看作一个容器,对准杯口匀速注水,注水过程中杯子始终竖直放置,则下列能反映容器最高水位h与注水时间t之间关系的大致图象是
( )
【解析】选C.向玻璃杯内匀速注水,水面逐渐升高,当玻璃杯中水满时,开始向塑料桶内流,这时水位高度不变,因为杯子和桶底面半径比是1∶2,则底面积的比为1∶4,在高度相同情况下体积比为1∶4,杯子内水的体积与杯子外水的体积比是1∶3,所以高度不变时,杯外注水时间是杯内注水时间的3倍,当桶的水面高度与玻璃杯的水面高度一样后,继续注水,水面高度再升高,升高的速度开始慢.
9.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A.f(-25)B.f(80)C.f(11)D.f(-25)【解析】选D.因为f(x+4)=-f(x),
所以f(x+8)=-f(x+4),所以f(x+8)=f(x),
所以f(x)的周期为8,
所以f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=f(-1+4)=-f(-1)=f
(1),
又因为奇函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,
所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,
所以f(-25)10.已知函数f(x)的定义域为R,对任意x1-1,且f
(1)=1,则不等式f(log2│3x-1│)<2-log2│3x-1│的解集为( )
A.(-∞,0)B.(-∞,1)
C.(-1,0)∪(0,3)D.(-∞,0)∪(0,1)
【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为R,对任意x1-1,
即>0,
故函数R(x)=f(x)+x是R上的增函数,
由不等式f(log2│3x-1│)<2-log2│3x-1│,
可得f(log2│3x-1│)+log2│3x-1│<2=f
(1)+1,
所以log2│3x-1│<1,故-2<3x-1<2,
且3x-1≠0,求得3x<3,且x≠0.
解得x<1,且x≠0.
11.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是 ( )
A.(1,xx)B.(1,xx)
C.(2,xx)D.[2,xx]
【解析】选C.因为0≤x≤1,所以sinπx∈[0,1],
且x∈[0,]时,函数f(x)=sinπx单调递增,函数值由0增加到1;
x∈[,1]时,函数f(x)=sinπx单调递减,函数值由1减少到0;
x>1,所以logxxx>0,且函数f(x)=logxxx单调递增,logxxxx=1.
不妨设0因为f(a)=f(b)=f(c),
所以a+b=1,xx>c>1,
所以a+b+c的取值范围是(2,xx).
12.定义:
若函数f(x)的图象经过变换T后所得图象对应函数的值域与f(x)的值域相同,则称变换T是f(x)的同值变换.下面给出四个函数及其对应的变换T,其中T不属于f(x)的同值变换的是 ( )
A.f(x)=(x-1)2,T是将函数f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)=2x-1-1,T是将函数f(x)的图象关于x轴对称
C.f(x)=2x+3,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称
D.f(x)=sin,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称
【解析】选B.对于A:
T是将函数f(x)的图象关于y轴对称,此变换不改变函数的值域,故T属于f(x)的同值变换;
对于B:
f(x)=2x-1-1,其值域为(-1,+∞),将函数f(x)的图象关于x轴对称,得到的函数解析式是y=-2x-1+1,值域为(-∞,1),T不属于f(x)的同值变换;
对于C:
f(x)=2x+3,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,1)对称,得到的函数解析式是2-y=2(-2-x)+3,即y=2x+3,它们是同一个函数,故T属于f(x)的同值变换;
对于D:
f(x)=sin,T是将函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,得到的函数解析式是y=-sin(-2-x+),它们的值域都为[-1,1],故T属于f(x)的同值变换.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0(1)=__________.
【解析】因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,
所以f=f=f=-f,
因为x∈(0,1)时,f(x)=4x,
所以f=-2,
因为f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,
所以f(-1)=f
(1),f(-1)=-f
(1),
所以f
(1)=0,所以f+f
(1)=-2.
答案:
-2
14.下列四个函数中:
①y=-;②y=log2(x+1);③y=-;④y=,在(0,+∞)上为减函数的是________(填上所有正确选项的序号).
【解析】因为函数y=在(0,+∞)上为增函数,
所以函数y=-为减函数;
又因为y=log2x在(0,+∞)上为增函数,
所以函数y=log2(x+1)在(0,+∞)上为增函数;
又因为函数y=在(0,+∞)上为减函数,
所以函数y=-在(0,+∞)上为增函数,
函数y=-在(0,+∞)上为增函数;
因为函数y=在R上为减函数,
所以函数y=在(0,+∞)上为减函数.
所以只有①④符合题设要求.
答案:
①④
15.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=
则f(xx)的值为__________.
【解析】由题意得:
f(-1)=log22=1,
f(0)=0,
f
(1)=f(0)-f(-1)=-1,
f
(2)=f
(1)-f(0)=-1,
f(3)=f
(2)-f
(1)=-1-(-1)=0,
f(4)=f(3)-f
(2)=0-(-1)=1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,
f(6)=f(5)-f(4)=0,
…
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现,
所以f(xx)=f(6)=0.
答案:
0
16.若函数f(x)=g(x)=f(x)+ax,x∈[-2,2]为偶函数,则实数a=________.
【解析】因为f(x)=
所以g(x)=f(x)+ax=
因为g(x)=
为偶函数,
所以g(-1)=g
(1),
即-a-1=1+a-1=a,
所以2a=-1,所以a=-.
答案:
-