C.加=孤且D.&=欢或温>加
3.一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（）
A.假命题与真命题的个数相同
B.真命题的个数是奇数
C真命题的个数是偶数
D.假命题的个数是奇数
6.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知〃=行,
贝ljb=
7.抛物线）*=4x的焦点到双曲线^1=1的渐近线的距离是（）
A.1B.gC.&D.正
22
8.如图，在三棱锥OA3C中，=。
，点Af在OA上，且OM=2M4,
N为BC中苴,则丽=（）
A.—ab——cB.——a+—b+—cC.——a+—b+—c
322222322
n22工1
D._—u4—b-—c332
9.已知｛〃“｝是公差为1的等差数列，S”为｛为｝的前〃项和，若S8=4S、,则％。
=
（）
A.—B.当C.10D.12
22
10.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75，30,此时
气球的高是
60m,则河流的宽度BC等于（）
A.240（6-1），〃B.180（71-1）〃？
C.120（73-DwD.30（途+1）〃？
11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：
4道或5道的选手得第一名：
观众乙猜：
3道的选手不可能得第一名：
观众丙猜测：
1,2,6道中的一位选手得第一名：
观众丁猜测：
4,5,6道的选手都不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）
A.甲B.乙C.丙D.T
12.已知月,名是椭圆与双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且IPF2t>l尸F1I,
3
椭圆的离心率为《，双曲线的离心率为G,I尸"日"居।,则一+彳的最小值为（）43
二、填空题
13.命题〃：
玉,（）£/?
lg2x>0,则命题〃的否定为.
14.已知直三棱柱ABC-A4G中，ZABC=120°,AB=2,BC=CC[=\f则异而直线AB｝与BG所成角的余弦值为.
21,c
15.若两个正实数x，>满足一+—=1,则％+2y的最小值为.%y
16.在平面内，点P,A,8三点共线的充要条件是：
对于平而内任一点。
，有且只有一对实数X，）'，满足向量关系式赤=x）+y砺，且x+y=l.类比以上结论，可得到在空间中，RA,及C四点共面的充要条件是：
对于平面内任一点。
，有且只有一对实数X，）'，Z满足向量关系式.
三、解答题
17.设命题P：
实数x满足x<2,或x>6,命题夕:
实数x满足34X+2J<0（其中4>0）
（1）若。
=2,且八4为真命题，求实数X的取值范围：
（2）若q是的充分不必要条件，求实数。
的取值范围.
18.在A43C中，a,〃,c分别是内角A,B,C的对边，且A=2,a=2.
6
（1）若8=工，求”的值；
4
（2）若AA3C的面积为求AABC的周长.
19.如图，三棱柱A8C-A£G中，侧面为菱形，AC=AB1.
（1）证明：
（2）若AB=AG，BC=2,NCA5=90o,NC881=60。
，求二面角。
一AB—用的正弦值.
20.已知等差数列｛%｝中，公差"WO,S6=27,且%，%，生成等比数列.
（1）求数列｛为｝的通项公式：
（2）若数列｛」一｝的前〃项和为则7；<,.
44+i2
21.某运输公司有7辆可载61的4型卡车与4辆可载10/的3型卡车，有9名驾驶员,建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运3607沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型车8次，8型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，3型车252元，每天派出A型车和8型车各多少辆，公司所花的成本费最低？
22.设椭圆C：
［+==1伍>〃>0）的左焦点为月，右顶点为A，离心率为走，已cr2
知点A是抛物线E-.y2=2px（p>0）的焦点，点F,到抛物线准线的距离是2-
（1）求椭圆C的方程和抛物线E的方程：
（2）若3是抛物线£上的一点且在第一象限，满足IA8I=4,直线/交椭圆于M,N
两点，且O8//MN，当MAIN的面积取得最大值时，求直线/的方程.
参考答案
1.B
【解析】
当a=-l,Z?
=-2,c=0时，A,C,D不成立，所以选B.
2.D【解析】
解：
因为用反证法证明''如果a＞b,那么标＞的”假设的内容应是指=/或指＜的，选
D
3.C
【解析】一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中真命题的个数可以为0,
2,4个，所以选C.
4.C
【解析】
由题意，该双曲线的焦点在y轴上，排除a、b项：
又方程芸-丁=1的渐近线方程为V=±3x,
X21
而方程＞2-瓦=1的渐近线方程为y=±QX,故选C.
5.D
【分析】
由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】
由等比数列的性质可得：
d=d/,即：
l=2x/,解得：
q=\.42
故选D.
【点睛】
本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.
6.D
【详解】
2由余弦定理得5=/j'+4-2x/?
x2x-,
解得（/）二—$舍去），故选d.
【考点】
余弦定理
【名师点睛】
本题属于基础题,考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程，再通过解方程求
b,运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！
7.D
【解析】抛物线）,2=4x的焦点为（1,0）,双曲线/一手二1的一条渐近线为
工一一三=6氐一＞'=°，所以所求距离为正，选D.V32
8.C
【解析】
丽=MA+AB+BN=-OA+OB-OA+-BC=-OA+OB-OA+-OC——OB32322
2一11211
=——OA+—OB+—OC=——a+—Z?
+—c,选B.
322322
9.B
【解析】
iIQ
试题分析：
由S'=4S4得幽+2&/=4（〃1+&7）,解得q=—必0=/+9=—.
22
考点：
等差数列.
10.C
AB_BC
sin30sin45
【详解】
60
AC=120,AB=
sin75
所以
故选c.
11.D
【解析】
若甲对，则乙也对，所以甲错;若甲错乙对，则丙也对，所以乙错，即3道的选手得第一名,此时只有丁对，因此选D.
12.D
【分析】
由题意可得1尸耳㈢耳耳1=2c,再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和
3j
离心率可得一+才的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.
43
【详解】
22
由题意得：
|夕月|=|月£|=2。
，设椭圆方程为二+二
X2y2
双曲线方程为一r一y-r=1（生＞。
仇＞。
），hl
又•・•IPK1+1P每1=2%,1PH1-1PF]1=2a2•
IPF21+2c=2a],IPF21-2c=2a2,:
.ax—a2=2c,
则上+幺=…
el33。
2c3ca2
9（2c+a2）a2+c"_$+3a2+c
3ca2c3a2
=一+二+622』」・丁+6=8.当且仅当一=「，
c3a2\c3a2c3的
即牲=3时等号成立.
夹角或其补角，MN=-AB,=~^NP=-BC,=—.作8c中点Q,则APQM为2222
直角三角形，•••PQ=1,MQ=；ACAABC中，由余弦定理得
AC2=AB24-BC2-2ABBCcosZABC=4+l-2x2xlx:
.AC=6，：
.MQ=三,在AM。
。
中，MP={MQ2+0°2=邛；
在APA/N中，由余弦定理得
L\2/L、2/*\2
c°s/MNP=0”上”
2,MN・NP
x/5V2VTT+--
2JI2J12J——师,又异而直线所
2x与近5
22
成角的范围是［。
，［］，・•.A耳与BG所成角的余弦值为"，故答案为由'12」55
【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及余弦定理，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：
一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解:
二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
15.8
【解析】
2]x4V
试题分析：
由x+2y=（x+2y）xl=（x+2y）（二+—）=4+—+—24+24=8（当且仅xyyx
x_4y
yxx=4
当｛:
即｛C时等号成立）.
21y=2
—।—=1
考点：
基本不等式.
16.OP=xOA+yOB+zOC，且x+y+Z=l
【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，P，A8,C四点共而的充要条件是：
对于平而内任一
点。
，有且只有一对实数X，）'，Z满足向量关系式而=工方+），砺+方心，且
x+y+z=1
17.
（1）{xl2（2）{a\2【解析】
试题分析：
（1）先解不等式/一头优+力/<0得命题9成立时实数x的取值范围，再求补
集得r，成立时实数式的取值范围，最后求交集得结果，
（2）由q是r，的充分不必要条件，得两集合之间包含关系，即命题。
成立时实数%的取值范围为力成立时实数%的取值范围的真子集，结合数轴求实数。
的取值范闱.
试题解析：
（1）当。
=2命题g:
2Vx<4
•••命题〃：
xK2或x>622又为真命题，满足〈：
.22cx<4
••・实数X的取值范围{xI2（2）由题意得：
命题g：
avxv2a
a>2
•・•q是T）的充分不必要条件.•・〈八.\22a<6
••.实数。
的取值范围{。
124。
43}
18.
（1）272：
（2）4+2>/J
【解析】
试题分析：
（1）根据正弦定理得〃的值，
（2）根据三角形而积公式得反=4/，根据余弦
）tL^22=b2+c2-2bccos-,解得b+c,即得A43C的周长.
试题解析：
（1）在AA8C中，由题意知4=工,3=巳,〃=2,64
2_b
由正弦定理得：
，〃=竺上-sin—sin—siilA
64
由余弦定理得2?
=/?
2+c2-2/?
ccos^
6
.・.4=e+c>—bc（2+VJ）.,"+c=2+2价
AAA8C的周长为4+26
点睛：
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵
活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：
定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：
定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：
求结果.
19.
（1）见解析：
（2）出
7
【解析】试题分析：
（1）连接8G，交8c于点0由菱形性质得
BxCLBCe由等腰三角形性质得AOJ,qC,再根据线面垂直判定定理得平而
ABO,即得结论，
（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各方法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角。
一48一4的正弦值.
试题解析：
（1）证明：
连接8G，交片。
于点。
，连接4。
，因为侧面88CC为菱形，
所以4CJ,8G，且。
为8a与qc的中点，AC=AB}f：
.AO±B1C9
又A0cA3=A,所以与CL平面43。
.
（2）在AABG中，VAB=AC{,/.AO1BCX.
结合
（1）可知，8G，Cq,O4三条直线两两垂直，因此，以。
为坐标原点，建立如图所示
的空间直角坐标系。
-不忆.
又因为。
为瓦。
的中点，所以AO=CO=8Q.
因为NC阴=60。
，所以△（?
明为等边三角形，
因为8C=2,所以OB=6，AO=CO=BlO=\.
所以4（0,0』），8（/0,0）,4（0,1,0）,C（0-l,0）.
^B=（＞/3,0,-1）,AC=（0,-l,-l）,
设n=（x,y,z）是平面ABC的一个法向量，
则卜丝=°,即[底-1°,所以可取二=1,则无=0,5⑹.
n-AC=0[-y-z=0、/
同理，平而ABB】一个法向量而=
则cos万，所="，所以sin正历=至5.
20.
（1）凡=〃+1：
（2）见解析
【解析】试题分析：
（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件转化为关于首项与公差的方程组,解得首项与公差，即得结果.
（2）先根据裂项相消法求数列1」一|的前〃项和为
即证得结论.
试题解析：
（1）由题意得
6：
+啜7=27
（^+4J）2=m+24）（q+7d）
2%+54=9
a1=2d
：
.an=2+（77-1）^7=/?
+1
（2）V
1=]=_\__1
（〃+1）（〃+2）〃+1〃+2
=———+———+•••+-——―<—
2334〃+1〃+22n+22
点睛：
裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间
.
若干项的方法，裂项相消法适用于形如<7?
—（其中｛%｝是各项均不为零的等差数列，
C为常数）的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和（如本例），还有一类隔
11
一项的裂项求和，如;——一I或:
一7-.
（“+1）（〃+3）n（n+2）
21.1304
【解析】试题分析：
根据任务以及资源限制列约束条件，画出可行域，根据目标函数，确定最值取法,解方程组得最优解.
试题解析：
设每天派出A型车工辆，3型车y辆，成本为Z
0所以X和）'需满足:
0x+y<9
48x+60y>360
可行域如图
目标函数为z=160x+252y.
401
把2=160x+252y变形为y=-一x+z
63252
401
得到斜率为―-，在了釉上的截距为63252
随z变化的一组平行直线.
在可行域的整点中，点M（5,2）使得z取得最小值.
所以每天派出A型车5辆，3型车2辆成本最小，最低成本1304元.
22.
（1）椭圆C的方程为:
+；=1,抛物线E的方程为）J=8x；
（2）2x-y+3=0或
【解析】试题分析：
（1）根据椭圆与抛物线几何条件列方程组，解得o=2,c=虚,〃=4,得〃，即
得结果.
（2）先根据抛物线定义求出B点坐标，确定MN斜率，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得底边边长，根据点到直线距离公式得高，代入三角形而积
公式得MMN的面积函数关系式，最后根据二次函数最值求法确定直线/的方程.
试题解析：
（1）由题意可列方程组:
C_yf2a2
<~=a，解得a=2,c=>/?
〃=4，所以〃2=1-c?
=2.
^--C=2-y/2
2
22
从而椭圆C的方程为千+；=1,抛物线£的方程为y2=8x.
（2）可设8（超,为），抛物线£的准线方程为戈=一2,
由抛物线的定义得：
|”|=/一（-2）=%+2=4,解得/=2,所以稣2=8%=16,因为点8在第一象限，所以儿=4.
从而8（2,4）.由干OB//MN,所以K“n=KOB=2,
/的方程可设为：
y=2x+m,即：
2工一>+6=。
.
设“（冷）1）,"（々,52），
y=2x+ni
联立方程组《犬y2，消去得：
9/+8〃a+2〃/一4=0，F--=1
142
可得△=（86『一36（2〃/一4）>0,
整理为62<18,解得：
一3叵.8〃？
2m2-4
••芭+占=一5一，&马=——・
所以=J1+k25+/『—
W互4,中普底F
点5（2,4）到直线/的距离4=粤［丝网=4.
所以S”mn=；\MNH=；xxJ36-2-J=gyj36nr-2ni
="—2（.—9丫+162
当〃『=9时，即：
加=±3时ABA/N的面积取得最大值.
此时/的方程为2x—y+3=0或2x-y-3=0.
点睛：
解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
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