六年级奥数讲义列方程解应用题.docx
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六年级奥数讲义列方程解应用题
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第十讲列方程解应用题
小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。
他就问管理员叔叔共有多
少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：
“头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
呵呵！
认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！
内容概述
在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。
它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。
但是，两种解答方法的
解题思路却不同。
由于数量关系的多样性和叙述方式的不同，用算术方法解答应用题，时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。
用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使
未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。
特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。
列方程解应用题的一般步骤是：
①审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系，；
②合理设未知数x，设未知数的方法有两种：
问什么设什么（直接设未知数），间接设未知数；③依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；
④解方程；
⑤将结果代入原题检验。
概括成五个字就是：
“审、设、列、解、验”.
列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。
寻找等量关系的常用方法是：
根据题中“不变量”找等量关系。
一些基本概念：
（1）像4x+2=9这样的的等式，只含有一个未知数x，而且未知数x的指数为1的方程叫做一元
一次方程；
（2）像2x+y=8这样的的等式，含有两个未知数x、y，而且未知数的指数都为1的方程叫做二元
一次方程；把两个二元一次方程用“﹛”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；
（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解.
如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法.
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类型Ⅰ：
列简易方程解应用题
【例1】（清华附中培训试题）
（难度系数：
★★）解下列方程：
（1）3x5x7
（2）4x52x
（3）1
2（3
x）
x
7
（4）13
2（2x
3）5（x2）
（5）8
5
1
1
2x
x
1
x
1
3
（x
）
（6）
3
5
2
2
x
y
5
2x
3y
11
（7）
y7
（8）
2y
9
2x
3x
移项得：
3xx75,注意把“同类”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；
分析：
（1）
化简得：
2,
等式两边同时除以
可得：
x
把
代入原式满足等式.
2x
2
1.
x
1
以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.
（2）
2x
x54，x
1.
（3）162x
x7，773x，x0.
（4）
13
4x
6
5
x
2，19
4x
7x，19-7=4x
x，12
3x，x
4.
（5）
5
1
1
，
1
5
4
10
4
10
1
10
，
4
（
x
）
x
，
x
，
x
x
，
x
x
10.
2
x4
x
x
3
3
3
3
5
3
6
3
3
3
（6）3（x1）-2x
6，3x32x
6，x3.
请教师强调学生在解答时要注意：
移项变号、同类放在等式一边、
（4）中去括号时每一项都要发生相
应变化、（6）中每一项都同时扩大
6倍、（5）中可以先简化运算的一定要先化简。
（7）法1：
加减消元法
（8）
2x
3y
11
（）
xy5
（）
1
1
3x
2y
9
（）
2x
y
7
（）
2
2
（）3-（）2可得：
5
，
3,
（
）式-（）式可得：
x
，
1
2
y
15y
2
1
2
代入（
）式可得：
y
，
将其代入
（1）式可得：
x1.
1
3
所以x
2
所以可得：
x
1
y
3
y
3
法2：
代入法.
建议教师将（7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会：
（1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；
（2）
加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果
.
【例2】（清华附中培训试题）（难度系数：
★★）汽车以每小时72公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？
（声音的速度以340米/秒计算）
分析：
72千米/小时=72000米/3600秒=2米/秒，设听到回音时汽车离山谷
340×4=2x+2×4，解得x=676（米）.
x米，根据题意可得：
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【例3】（小数报数学竞赛初赛）（难度系数：
★★★）用绳子测井深，绳子两折时
余60厘米,绳子三折
时,差40厘米，求绳长和井深？
分析：
法1：
设井深是x厘米，则有：
2x+60×2=3x-40×3，井深x=240（厘米），绳长600厘米；
法2：
设绳长是y厘米，则有：
1y-60=
1y+40,
解得绳长y=600（厘米），井深
240厘米.
2
3
【例4】（奥数网习题库）（难度系数：
★★）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的
3
倍多
两个，每次从箱子里取出
7个白球，15
个红球．如果经过若干次以后，箱子里只剩下
3个白球，53
个红
球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个
?
分析：
设取球的次数为
x次．那么原有的白球数为（
3+7x），红球数为（
53+15x）．再根据题中的第一个条
件：
53+15x=3×（3+7x）+2，解得x=7，所以原有红球158个，原有白球
52个，红球比白球多
106个．此
题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单．
【例5】（奥数网习题库）（难度系数：
★★★）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩
耍。
他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道：
“头数加只数，只数减头数，头数乘只
数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100.”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？
分析：
设动物园有x只猩猩，依题意有：
（x+x）+（x-x）+x×x+x÷x=100，即2x+0+x×x+1=100，亦即x（x+2）=99，又ｘ整数，只有唯一解ｘ=9．
【例6】（华杯赛复赛）（难度系数：
★★★）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。
一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米。
车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：
甲乙两地公路有多少千米？
从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
分析：
从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的
上坡路。
设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得
解得x＝140，y=70，所以甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路.
【例7】（华杯赛决赛）（难度系数：
★★★★）幼儿园有三个班，甲班比乙班多
4人，乙班比丙班多
4
人.老师给小孩分枣，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了
3个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了
5
个枣，结果甲班比乙班总共多分了
3个枣，乙班比丙班总共多分了
5个枣，三个班总共分了多少个枣？
分析：
法
1：
设甲班有
x人，则乙班有（
x－4）人，丙班有（
x－8）人；甲班每人分得
y个枣，则乙班每
人分得（
y+3）个，丁班每人分得（
y+8）个．那么有甲班共分得
xy
个枣，乙班共分得
（x-4）（y+3）
枣，丙
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班共分得（x-8）（y+8）个枣．
xy
（x
4）（y3）
3
3x
4y9
x19
，整理有
，解得
．
xy（x8）（y8）8
xy7
y12
因此，甲班小孩
19人，每个小孩分枣
12个；乙班小孩
15人，每个小孩分枣
15个；丙班小孩11人，
每个小孩分枣20个．19×12+15×15+11×20＝673（个）
，所以，三班共分
673个枣．
法2：
人数
每人枣数
共分枣数
甲班
x
8
y
8
z
8
乙班
x
4
y
5
z
5
丙班
x
y
z
先看甲、丙两班，有甲班
x人比丙班x人少分8x
颗枣，而甲班共分得枣比丙班多
8个，所以甲班多
出的8人共分得
8x+8颗枣，即每人分得
x+1颗枣．那有
人数
每人枣数
甲班
x
8
x
1
乙班
x
4
x
4
丙班
x
x
9
再看乙、丙班，乙班x人比丙班x人少分5x颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多
出的4人共分得5x+x颗枣，即每人分得（5x+5）÷4颗枣．有（5x+5）÷4＝x+4，解得
孩19人，每个小孩分枣12个；乙班小孩15人，每个小孩分枣15个；丙班小孩11
个．19×12+15×15+11×20＝673（个），所以三班共分673个枣．
5个枣，所以乙班多
x＝11．因此，甲班小
人，每个小孩分枣20
类型Ⅲ：
引入参数列方程解应用题
对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。
【例8】（101中学分班考试试题）（难度系数：
★★）五年级二班数学考试的平均分数是
85
分，其中2
的人得80分以上（含80分），他们的平均分数是90
分。
求低于80分的人的平均分。
3
分析：
设该班级有a名同学，低于80分的人的平均分为
x，则得方程:
85a
2a90
1ax
解得x=75.
3
3
【例9】（华杯赛决赛）（难度系数：
★★★★）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但只有一辆车
接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，
乙班的学生开始步行，车到中途某处，让甲班的学生下车步行，
车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。
已知学生步行速度为每小时
4
千米，载学生时车速为每小时
40千米，空车时速度为每小时50千米。
求甲班学生应步行全程的几分之几?
（学生上下车时间不计）
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分析：
因为每班步行和坐车的行程总和一样长，又同时出
发，同时到达，所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都
相等。
也就是说图上乙步行的距离b千米和甲步行的距离
a千米相等。
而根据题意我们又可以找到下列等量关系：
乙班步行b千米（也就是a千米）所用的时间等于汽车
送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。
然后根据等量关系列方程解答即可。
设全程为
x千米，甲、乙两班分别步行
a、b千米，根据题意得：
xax
2a
a
40
50
4
解得：
a
1
x
7
所以甲班步行了全程的1.
7
由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。
【例10】（小学奥林匹克决赛）（难度系数：
★★★）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别
为10和12，已知梯形的上底是下底长的2。
那么余下的阴影部分的面积是多少？
3
2a，那么下底为3a
10
2
10
分析：
设上底为
，则上下两个三角形的高分别为
h1
，
2a
a
h2
122
8
，梯形的高是h1
h2
10
8
18
，其面积为（2a
3a）
18
245，阴影部分面积
3a
a
a
a
a
a
为45101223。
类型Ⅱ：
列不定方程解应用题
有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。
这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。
但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。
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【例11】（奥数网习题库）（难度系数：
★）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装
的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。
问：
大、小油桶各几个？
8千克油，小
分析：
设有大油桶x个，小油桶
将x的所有可能值代入方程，可得
除的数的特点，便可轻松求解.
y个。
由题意8x+5y=44，知8x≤44，所以x＝0、1、2、3、4、5。
相应的
x＝3时，y=4.此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整
【例12】（迎春杯预赛试题）（难度系数：
★★）小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．小华比小强多买来铅笔＿＿
支．
分析：
设买5分一支的铅笔ｍ支，7分一支的铅笔n支。
则：
5×ｍ+7×ｎ=64，64
n=0，1，2，3，4，5，6，7，8代入检验，只有n=2，7满足这一要求，得出相应的ｍ
笔lO+2＝12支，小强买铅笔7+3=10支，小华比小强多买2支．
—7×n是5的倍数．用=10，3．即小华买铅
【例13】（奥数网习题库）（难度系数：
★★★）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴
得5分，套中小狗得2分。
小明共套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套10
次共得61分。
问：
小明至多套中小鸡几次？
分析：
设套中小鸡x次，套中小猴y次，则套中小狗（10-x-y）次。
根据得61分可列方程：
9x+5y+2（10-x-y）=61，化简后得7x=41－3y。
显然y
得7x=38，无整数解；若y=2，7x=35，解得x=5，所以小明至多套中小鸡5次.
越小，x
越大。
将
y=1代入
附加题目
【附1】（101测试题）（难度系数：
★★）甲、乙、丙、丁四人共做零件
270个。
如果甲多做10
个，乙少
做10个，丙的个数乘以2，丁做的个数除以2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？
分析:
设四人做的零件数恰好都为
x，根据题意可得：
（x-10）+（x+10）+（x÷2）+（x×2）=270，解得x=60，丙实际做了60÷2=30（个）.
【附2】（迎春杯刊赛）（难度系数：
★★★）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的
2倍时；丙是
22岁，当
乙的年龄是丙的2倍，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁?
分析：
设丙22岁时，乙的年龄是
x岁，当时甲的年龄就是2x岁．那么甲是
3l岁时，乙是（31-x）岁，丙是
22+（31-2x）=53-2x岁，且有：
31-x=2×（53-2x），解得x=25，所以乙
25岁时，甲50岁，丙22
岁．那么
甲60岁时，丙32岁．
利用方程解年龄问题．设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有
x的式子
表达出来，继而很方便地建立等量关系．
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【附3】（奥数网习题库）（难度系数：
★★★）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出
8个给乙堆后，甲、
乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出
6个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆
中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：
原来甲堆有多少个石子
?
分析：
设甲堆原来有
x个石子，那么甲堆取出8个给乙后，甲乙两堆都是（x-8）个石子；然后乙取
6个给丙，
乙丙的石子数都变成了
x-8-6=x-14；再从丙堆取
2个给甲堆，那么甲堆变为
x-8+2=x-6，丙堆变为
x-14-2=x-16，此时有关系：
x-6=2（x-16），解得x=26．
题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用
x的式子表
示出来，最后建立等量关系.
【附
4】（人大附中分班考试试题）（难度系数：
★★★）如右图，沿着边长为
90
米的
正方形，按逆时针方向，甲从
A出发，每分钟走
65米，乙从B出发，每分钟走
72米。
当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？
分析：
这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需
要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正
方形哪一条边上。
设追上甲时乙走了
x分。
依题意，甲在乙前方
3×90=270（米），故有72x＝65x+270.解
得：
x=270，在这段时间内乙走了：
72
270
27771（米），由于正方形边长为
90米，共四条边，故由
7
7
7
2777
1
90
1
（
4
7
+）
90
+
77
1，可以推算出这时甲和乙应在正方形的
DA边上.
30
77
2
7
7
7
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