六年级奥数讲义列方程解应用题.docx

1、六年级奥数讲义列方程解应用题学习必备 欢迎下载第十讲 列方程解应用题小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩， 管理员叔叔开心的答道： “头数加只数， 只数减头数， 头数乘只数， 只数除头数，把四个得数相加恰好是 100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？呵呵！认真学习今天的好方法，你就可以准确、快速的解答出上面的问题了！内容概述在小学数学中，列方程解应用题与用算术方法解应用题是有密切联系的。它们都是以四则运算和常见的数量关系为基础，通过分析题里的数量关系，根据四则运算的意义列式解答的。但是，两种解答方法的解题思路却不同。 由于数量关系的多样性和

2、叙述方式的不同， 用算术方法解答应用题， 时常要用逆向思考，列式比较困难，解法的变化也比较多。用列方程的方法解答应用题，由于引进了字母表示未知数，可以使未知数直接参与运算，使题目中的数量关系更加清楚，把未知数当成已知数来用，使我们很容易理清数量关系，正确解决问题。特别是在解比较复杂的或有特殊解法的应用题时，用方程往往比较容易。列方程解应用题的一般步骤是：审清题意，弄清楚题目意思以及数量之间的关系， ；合理设未知数 x，设未知数的方法有两种：问什么设什么（直接设未知数） ，间接设未知数；依题意确定等量关系，根据等量关系列出方程；解方程；将结果代入原题检验。概括成五个字就是： “审、设、列、解、验

3、” .列方程解应用题的关键是找到正确的等量关系。寻找等量关系的常用方法是：根据题中“不变量”找等量关系。一些基本概念：（ 1）像 4x+2=9 这样的的等式，只含有一个未知数 x，而且未知数 x 的指数为 1 的方程叫做一元一次方程；（ 2）像 2x+y=8 这样的的等式，含有两个未知数 x、y，而且未知数的指数都为 1 的方程叫做二元一次方程；把两个二元一次方程用“”写在一起，就组成了一个二元一次方程组；（3）如果有两个未知数，一般需要两个方程才能求出唯一解，如果有三个未知数，一般需要三个方程才能求出唯一解 .如果有更多的未知数，可借助今天学习的解题思路来类推出解法 .学习必备 欢迎下载类型

4、：列简易方程解应用题【例 1】 （清华附中培训试题）（难度系数：）解下列方程：（ 1） 3x 5 x 7（ 2） 4 x 5 2x（3） 12(3x)x7（4）132(2 x3) 5 ( x 2)（5） 85112xx1x13( x)（ 6）3522xy52x3y11（ 7）y 7（ 8）2 y92x3x移项得：3x x 7 5,注意把 “ 同类 ”放在等号的同侧，移项过程中注意变号；分析：（ 1）化简得：2,等式两边同时除以可得：x把代入原式满足等式 .2x21.x1以下各题不再写检验步骤，请教师强调学生答案要检验.（ 2）2xx 5 4，x1.（ 3） 1 6 2xx 7，7 7 3x，x

5、 0.（ 4）134x65x2，194x7 x，19- 7=4xx，123x，x4.（ 5）511，15410410110，4(x)x，x，xx，xx10.2x 4xx3333536333（ 6） 3（x 1）- 2x6，3x 3 2x6，x 3.请教师强调学生在解答时要注意：移项变号、同类放在等式一边、（ 4）中去括号时每一项都要发生相应变化、（6）中每一项都同时扩大6 倍、（ 5）中可以先简化运算的一定要先化简。（ 7）法 1：加减消元法（ 8）2x3y11（ ）x y 5（ ）113x2y9（ ）2xy7（ ）22（）3-（）2可得：5，3,（）式 - （ ）式可得：x，12y15 y2

6、12代入（）式可得：y，将其代入（ 1）式可得：x 1.13所以 x2所以可得： x1y3y3法 2：代入法 .建议教师将（ 7）、（8）贯穿起来，让学生深刻体会： （ 1）代入法，以及代入法在什么情况下好用；（ 2）加减消元法，其本质是找（制造）到一个未知数的系数相等，再利用等式加减得到结果.【例 2】 （清华附中培训试题） （难度系数：）汽车以每小时 72 公里的速度笔直地开向寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭， 4 秒后听到回音，听到回音时汽车离山谷多远？（声音的速度以 340 米 /秒计算）分析：72 千米 /小时 =72000 米 /3600 秒 =2 米 /秒，设听到回音时汽车离山谷34

7、0 4=2x+2 4，解得 x=676 （米） .x 米，根据题意可得：学习必备 欢迎下载【例 3】 （小数报数学竞赛初赛） （难度系数：）用绳子测井深，绳子两折时,余 60 厘米 ,绳子三折时 ,差 40 厘米，求绳长和井深？分析： 法 1：设井深是 x 厘米，则有：2x+60 2=3x-40 3 ，井深 x=240 （厘米），绳长 600 厘米；法 2：设绳长是 y 厘米，则有： 1 y-60=1 y+40,解得绳长 y=600（厘米），井深240厘米 .23【例 4】 （奥数网习题库） （难度系数：）箱子里面有红、白两种玻璃球，红球数比白球数的3倍多两个，每次从箱子里取出7 个白球， 1

8、5个红球如果经过若干次以后，箱子里只剩下3 个白球， 53个红球，那么，箱子里原有红球比白球多多少个?分析：设取球的次数为x 次那么原有的白球数为（3+7x），红球数为（53+15x）再根据题中的第一个条件： 53+15x=3（ 3+7x）+2，解得 x=7 ，所以原有红球 158 个，原有白球52 个，红球比白球多106 个此题用逆向思维较难求解，但是用方程则思路非常清晰简单【例 5】 （奥数网习题库） （难度系数：）小新去动物园看猩猩，有的猩猩在洞中，有的在外面玩耍。他就问管理员叔叔共有多少只猩猩，管理员叔叔开心的答道： “头数加只数，只数减头数，头数乘只数，只数除头数，把四个得数相加恰好

9、是 100 .”那么聪明的你知道一共有多少只猩猩吗？分析：设动物园有 x 只猩猩，依题意有： （ x+x ）+（ x-x ）+x x+x x=100 ，即 2x+0+ x x+1=100，亦即x（ x+2） =99，又整数，只有唯一解 =9【例 6】 （华杯赛复赛） （难度系数：）从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米，下坡时每小时行驶 35 千米。车从甲地开往乙地需 9 小时，从乙地到甲地需 7.5 小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？分析：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就

10、是从乙地到甲地的上坡路。设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，依题意得解得 x 140， y=70，所以甲、乙两地间的公路有 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路 .【例 7】 （华杯赛决赛） （难度系数：）幼儿园有三个班，甲班比乙班多4 人，乙班比丙班多4人 . 老师给小孩分枣， 甲班每个小孩比乙班每个小孩少分了3 个枣，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分了5个枣，结果甲班比乙班总共多分了3 个枣，乙班比丙班总共多分了5 个枣，三个班总共分了多少个枣？分析：法1：设甲班有x 人，则乙班有（x 4）人，丙班有（x 8）人；甲班每人分得y 个枣，则乙班每人分得（y

11、+3）个，丁班每人分得（y+8）个那么有甲班共分得xy个枣，乙班共分得(x-4)(y+3)枣，丙学习必备 欢迎下载班共分得 (x-8)(y+8) 个枣xy( x4)( y 3)33x4y 9x 19，整理有，解得xy ( x 8)( y 8) 8x y 7y 12因此，甲班小孩19 人，每个小孩分枣12 个；乙班小孩15 人，每个小孩分枣15 个；丙班小孩 11 人，每个小孩分枣 20 个 1912+15 15+11 20673( 个 )，所以，三班共分673 个枣法 2：人数每人枣数共分枣数甲班x8y8z8乙班x4y5z5丙班xyz先看甲、丙两班，有甲班x 人比丙班 x 人少分 8x颗枣，而

12、甲班共分得枣比丙班多8 个，所以甲班多出的 8 人共分得8x+8 颗枣，即每人分得x+1 颗枣那有人数每人枣数甲班x8x1乙班x4x4丙班xx9再看乙、丙班，乙班 x 人比丙班 x 人少分 5x 颗枣，而乙班共分得的枣比丙班多出的 4 人共分得 5x+x 颗枣，即每人分得 (5x+5) 4 颗枣有 (5x+5) 4 x+4，解得孩 19 人，每个小孩分枣 12 个；乙班小孩 15 人，每个小孩分枣 15 个；丙班小孩 11个 19 12+15 15+11 20 673( 个 ) ，所以三班共分 673 个枣5 个枣，所以乙班多x 11因此，甲班小人，每个小孩分枣 20类型：引入参数列方程解应用

13、题对于数量关系比较复杂或已知条件较少的应用题，列方程时，除了应设的未知数外，还需要增设一些“设而不求”的参数，便于把用自然语言描述的数量关系翻译成代数语言，以便沟通数量关系，为列方程创造条件。【例 8】 （ 101 中学分班考试试题） （难度系数：）五年级二班数学考试的平均分数是85分，其中 2的人得 80 分以上（含 80 分），他们的平均分数是 90分。求低于 80 分的人的平均分。3分析：设该班级有 a 名同学，低于 80 分的人的平均分为x ，则得方程 : 85a2 a 901 a x,解得 x=75.33【例 9】 （华杯赛决赛） （难度系数：）有两个班的小学生要到少年宫参加活动，但

14、只有一辆车接送，甲班的学生坐车从学校出发的同时，乙班的学生开始步行， 车到中途某处， 让甲班的学生下车步行，车立刻返回接乙班的学生上车并直接开往少年宫，两班学生正好同时到达。已知学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40 千米，空车时速度为每小时 50 千米。求甲班学生应步行全程的几分之几?（学生上下车时间不计）学习必备 欢迎下载分析 ：因为每班步行和坐车的行程总和一样长， 又同时出发，同时到达， 所以甲、乙两班的步行距离和坐车距离都相等。也就是说图上乙步行的距离 b 千米和甲步行的距离a千米相等。而根据题意我们又可以找到下列等量关系：乙班步行 b 千米 ( 也就是 a 千米 ) 所

15、用的时间等于汽车送完甲队又原路返回遇到乙队共用的时间。然后根据等量关系列方程解答即可。设全程为x 千米，甲、乙两班分别步行a、b 千米，根据题意得：x a x2aa40504解得：a1x7所以甲班步行了全程的 1 .7由上例可以看出，列方程解应用题并不一定只设一个未知数，根据解题的需要，我们有时可以多设几个字母来代替数，帮助我们理清题目中复杂的数量关系，以便我们能够很快的找到解决问题的途径。【例 10】 （小学奥林匹克决赛） （难度系数：）如图，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为 10 和 12，已知梯形的上底是下底长的 2 。那么余下的阴影部分的面积是多少？32a ，那么下底为 3a102

16、10分析：设上底为，则上下两个三角形的高分别为h1，2aah212 28，梯形的高是 h1h210818，其面积为 (2a3a)182 45 ，阴影部分面积3aaaaaa为 45 10 12 23。类型：列不定方程解应用题有些应用题，用代数方程求解，有时会出现所设未知数的个数多于所列方程的个数，这种情况下的方程称为不定方程。这时方程的解有多个，即解不是唯一确定的，对于这部分内容我们是要和数论中的数的整除性问题结合起来。但注意到题目对解的要求，有时只需要其中一些或个别解。学习必备 欢迎下载【例 11】 （奥数网习题库） （难度系数：）有两种不同规格的油桶若干个，大的能装的能装 5 千克油， 44

17、 千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？8 千克油，小分析：设有大油桶 x 个，小油桶将 x 的所有可能值代入方程，可得除的数的特点，便可轻松求解 .y 个。由题意 8x+5y=44 ，知 8x 44，所以 x0、 1、2、3、4、5。相应的x 3 时， y=4 . 此题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被 5 整【例 12】 （迎春杯预赛 试题）（难度系数：） 小华和小强各用 6 角 4 分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是 5 分一支和 7 分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多小华比小强多买来铅笔支分析： 设买 5 分一支的铅笔支， 7 分一支的铅笔 n 支。则：5 +7

18、 =64， 64n=0，1， 2， 3，4，5，6， 7， 8 代入检验，只有 n=2， 7 满足这一要求，得出相应的笔 lO+2 12 支，小强买铅笔 7+3=10 支，小华比小强多买 2 支7 n 是 5 的倍数用=10， 3即小华买铅【例 13】 （奥数网习题库）（难度系数：）小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得 9 分，套中小猴得 5 分，套中小狗得 2 分。小明共套了 10 次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套 10次共得 61 分。问：小明至多套中小鸡几次？分析：设套中小鸡 x 次，套中小猴 y 次，则套中小狗（ 10-x-y ）次。根据得 61 分可列方程： 9x+5y

19、+2（10-x-y ） =61，化简后得 7x=41 3y。显然 y得 7x=38 ，无整数解；若 y=2， 7x=35，解得 x=5，所以小明至多套中小鸡 5 次 .越小， x越大。将y=1 代入附加题目【附 1】（ 101 测试题）（难度系数：）甲、乙、丙、丁四人共做零件270 个。如果甲多做 10个，乙少做 10 个，丙的个数乘以 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的零件数恰好相等，问丙实际做了多少个？分析 :设四人做的零件数恰好都为x，根据题意可得：（ x-10 ） +（ x+10） +（x 2） +（ x 2） =270 ，解得 x=60 ，丙实际做了 60 2=30（个 ）.【附

20、2】（迎春杯刊赛）（难度系数：）有甲乙丙三个人，当甲的年龄是乙的2 倍时；丙是22 岁，当乙的年龄是丙的 2 倍，甲是 31 岁；当甲 60 岁时，丙是多少岁 ?分析：设丙 22 岁时，乙的年龄是x 岁，当时甲的年龄就是 2x 岁那么甲是3l 岁时，乙是 (31-x) 岁，丙是22+ （ 31-2x） =53-2x 岁，且有：31-x=2 （ 53-2x ），解得 x=25，所以乙25 岁时，甲 50 岁，丙 22岁那么甲 60 岁时，丙 32 岁利用方程解年龄问题设定乙的年龄之后，我们可以把各个时期甲、乙、丙的年龄都用含有x 的式子表达出来，继而很方便地建立等量关系学习必备 欢迎下载【附 3

21、】（奥数网习题库） （难度系数：）有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8 个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6 个给丙堆，乙、丙两堆石子个数就也相等了；此时又从丙堆中取 2 个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的两倍，问：原来甲堆有多少个石子?分析：设甲堆原来有x 个石子， 那么甲堆取出 8 个给乙后， 甲乙两堆都是 (x-8) 个石子； 然后乙取6 个给丙，乙丙的石子数都变成了x-8-6=x-14 ；再从丙堆取2 个给甲堆，那么甲堆变为x-8+2=x-6 ，丙堆变为x-14-2=x-16 ，此时有关系： x-6=2 （ x-16 ），解得 x=26题目中的变化过程比较多，在设

22、立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x 的式子表示出来，最后建立等量关系 .【附4】（人大附中分班考试试题） （难度系数：）如右图，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A 出发，每分钟走65 米，乙从 B 出发，每分钟走72 米。当乙第一次追上甲时在正方形的哪一条边上？分析：这是环形追及问题，这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环行”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上。设追上甲时乙走了x 分。依题意，甲在乙前方390=270 （米），故有 72x 65x+270. 解得： x= 270 ，在这段时间内乙走了：722702777 1 (米) ，由于正方形边长为90 米，共四条边，故由77727771901（47+ ）90+771 ，可以推算出这时甲和乙应在正方形的DA 边上.30772777