第八讲共变量分析.docx
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第八讲共变量分析
8
共变量分析
8-1、共变量分析的基本假定
8-2、操作说明
8-3、统计控制分析
8-4、单变量双因子共变量分析
8-1、共变量分析的基本假定
【研究问题】：
某研究者想探究三种不同的活动教学法对学生数学科学习成就的影响，经由国中三年级六班中各随机抽取三十名学生参与三种不同的实验活动教学，实验教学时间为三个月，三个月后实施数学成就测验，以进一步知晓那种活动教学法对学生的数学学习最为有效。
【统计方法】：
此问题的自变项为三个组别，分别为活动法一、活动法二、活动法三，依变项（Y）为数学成就测验，因三组学生起始点不同，因而以三组前测成绩（X）为共变量，三组学生独立，因此采用独立样本单因子单变量共变量分析。
此为准实验设计的一种。
在实验设计中，考虑实际的实验情境，无法一一排除某些会影响实验结果的无关变项（或称干扰变项），为了排除这些不在实验处理中所操弄的变项，而其结果又会影响依变项，可以藉由「统计控制」（statisticalcontrol）方法，以弥补「实验控制」（experimentalcontrol）的不足。
为了提高实验研究的内在效度，须将可能干扰实验结果的无关变项加以控制，使不致产生系统性的误差，此方面所用的方法如以随机方式将受试者分派到不同的群体；受试者自身的控制，让受试者均参加所有的的不同实验处理；将受试者变项纳入实验设计中，使其成为一个自变项，研究设计由单因子实验设计改为多因子实验设计；排除变项，把无关变项悉数消除，作为控制的一种方法，如受试者的某些变项，可采具有固有特征，并经过选择的个案，予以排除，如仅纳入女性当作受试者，即是移去了性别变项。
此外，在控制无关变项方法，尚有以下几个特殊方法（Kirk,1995）：
1.单盲历程：
真正实验目的不要告诉受试者，如诚实测验。
2.双盲历程：
受试者和主试者皆不知实验处理本质，如药物研究中，用药量和糖衣皆被编码，使其无法为受试者和主试者辨认。
3.隐满：
受试者未被告诉实验的相关细节，而被告知成另一个假目的，此法使用上须特别注意伦理的问题。
4.实验伪装技巧：
受试者不知道其正参与实验，此法常见于自然观察策略之中。
5.多研究者：
研究者特征（外表特征、人格特征、无经验等）会影响研究结果，限制研究结果的类推性，因而把研究纳入实验变项中。
6.简报会谈：
实验后和受试者举行会谈，以探知受试者之信念、期望，此时所获得信息可验证前面数据之可信程度。
7.实验者期望的控制组：
藉使用数个群组的研究者，一组被引导正实验结果，一组被引导期望相反结果，另一组相信处理对依变项没有影响，此种设计花费较多，因为包含无数的研究者和受试者。
8.无关－实验技巧：
此技巧需要受试者参与二种实验：
首先受试者参与自变项处理；其次是参与第二个实验，同时测量依变项。
研究者传递了「第二个实验与第一个实验无关」的讯息。
9.准控制群体：
除了处理感兴趣的情境外，给予准控制组与实验组相同的指导语和情境。
它不像一般控制组组一样，不给糖衣。
10.YORKed控制历程：
用配对方式处理，如一位主动受试者、一位被动受试者同时接受相同的实验情境，但是只有主动受试者行为影响实验结果。
从教师行动研究或实验研究观点而言，研究者必须遵守研究伦理守则，研究伦理守则包括以下几点（Kirk,1995）：
1.研究者应该知悉研究伦理、价值的所有议题，负起作研究决定的责任，也应为采取的行动负起全责，不论是研究主持人、协同研究者、研究助理或研究职员均应遵守所有研究过程中应有的伦理守则。
2.受试者应该被告知相关研究的讯息尊重受试者。
在实验过程中受试者有权拒绝或中途离开，研究人员对受试者的福址、权利、尊严，要特别加以保护与尊重。
3.保护受试者身心安全，真实告知受试者危险程度与可能受到的影响。
研究者有义务更改或重新规划有害于受试者身心安全的实验设计。
4.保护弱势族群受试者的人权、兴趣，弱势族群如学童、少数民族、病患、贫困者、犯人等。
5.未经事前谨慎严谨的伦理分析，不能对受试者使用隐瞒策略。
要保证受试者不因研究而受到任何伤害。
6.参与者私人资料只有在其事先同意的前提下，才能收集；研究结果的出版也要当事者的同意或以笔名出现，以保障当事者的隐私权与人格权。
7.资料搜集分析后，应提供有关研究性质与相关发现给受试者。
此外，更应正确而诚实的呈现研究报告，不能任意扭曲资料的解释结果。
真正实验设计在社会科学领域实施常有其困难性，因而在社会科学领域中较常实施的为准实验设计，在准实验设计中较无法使用实验控制法来完全控制无关的干扰变项，因而较常使用增加实验内在效度的方法即为统计控制法。
在上面情境中，所用的统计控制方法便称为「共变量分析」（analysisofcovariance；ANCOVA），共变量分析中会影响实验结果，但非研究者操控的自变项，称为「共变量」（covariate）。
在共变量分析中，自变项属间断变项，而依变项（实验结果）、共变项均属连续变项。
在实际的情境中，研究者如无法以随机抽样与随机分配的方式实施实验处理，以实验控制来降低影响实验处理效果的干扰变项，则通常会采取统计控制方法，排除干扰变项的影响，统计控制法在准实验设计法中应用的相当普遍。
共变量分析与变异数分析之间有许多异同点（余民宁，民86）：
1.在变异数分析中，依变项是属于连续变项，自变项属于类别或间断变项；在共变量分析中，依变项仍须是连续变项，而自变项亦属于类别或间断变项，但共变量分析中，多了一个共变项，共变项必须属于连续变项才可以。
2.变异数分析是供实验控制方式以减少实验误差；而共变量分析则是借统计控制方式以控制共变项的干扰效果，以减少实验误差，增进实验研究的内在效度。
3.变异数分析是比较重视事前妥善的设计与规划，以及实验过程中严密的控制实验情境；而共变量分析则以事后补救统计方法进行，但在实验进行之前必须先搜集共变项或影响实验处理效果的数据。
共变量分析的基定假定与变异数分析基本假定相同：
常态性、独立性、变异数同构型，此外，还有三个重要假定：
1.依项项与共变量之间是直线相关。
2.所测量的共变项不应有误差，如果选用的是多题项之量表，应有高的内部一致性信度或再测信度。
有可靠性量表的信度，其系数最好在.80以上。
此假定在非真正实验设计（trueexperimentaldesign）中特别重要，违反此一假定，较易导致第一类型错误；在真正实验设计中，违反此假定，会降低统计考验力。
3.「组内回归系数同构型」（homogeneityofwith-inregression），各实验处理组中依据共变项（X）预测依变项（Y）的回归线之斜率系数要相等，亦即各条回归线要互相平行。
如果「组内回归系数同构型」考验结果，各组斜率不相等，不宜直接进行共变量分析。
「组内回归系数同构型」考验的虚无假设：
H0：
β1＝β2＝β3＝．．＝Bk
变异数分析的原理，是将依变项的总变异量，拆解成自变项效果（组间）与误差效果（组内）两个部份，再进行F考检。
共变量分析乃利用回归分析方式，将依变项的总变异量先行分割为共变项可解释部份与不可解释部份，不可解释的变异再由变异数分析原理来进行拆解。
共变量分析的变异拆解如下（邱皓政，民89）：
总离均差平方和
＝控件共变积和＋回归残差变异量
＝控件共变积和＋（组间离均差平方和+受试者间离均差平方和+残差）
SStotal=SScoviance+（SSbetween+SSsubject+SSresidual）
共变量分析的优点一为减少实验误差变异来源，增加统计考验力；二为降低非研究操弄之实验处理差异的偏差。
共变量分析结合了回归分析与变异数分析方法，实验处理除包括依变项的测量外，也包括一个以上共变项的测量。
共变量分析的主要步骤有三：
1.组内回归系数同构型考验：
若回归系数不相同，可用「约翰逊－内曼法」来分析，或实验组分开个别讨论。
2.共变量分析：
如果K条回归线平行，可以将这些回归线合并找出一条具代表性的回归线，此条代表性回归线即为「组内回归线」，如果每个群体、每个细格回归线斜率相同，表示自变项与共变量间没有交互作用，平均组内（细格）回归线就可以调整依变量的原始分数。
共变量分析，即在看排除共变项（X）的解释量后，各组平均数间是否仍有显著差异。
3.进行事后比较：
共变量分析之F值如达显著，则进行事后比较分析，事后比较以「调整后的平均数」（adjustedmeans）为比较标准，找出哪一对调整后平均数间有显著差异。
此外，研究者在选择共变量时，应考虑三个因素：
1.仅与依变项有关，而非实验处理的变项。
2.如果二个共变项之间的相关在.80以上，则只需要挑选其中一个作为共变项即可。
3.受试者较少时，应使用较多个共变项。
共变项个数较多时，较易控制干扰变项，实验处理统计考验较为正确（Bryman&Cramer，1997）。
常用的共变量分析方法有独立样本单因子单共变量共变量分析、单因子双共变量共变量分析、双因子单共变量共变量分析、双因子双共变量共变量分析，其回归系数同构型考验分析模式与共变量分析之分析模式如下（吴明隆，民89）：
类别
变项
数目
统计方法
回归系数同构型
考验分析模式
共变量分析之
分析模式
自变项（A）
一个
独立样本单因子单共变量共变量分析
Y=X，A，X*A
Y=X，A
依变项（Y）
一个
共变项（X）
一个
自变项（A）
一个
独立样本单因子双共变量共变量分析
Y=X１，X２，A，
（X１*A＋X２*A）
Y=X，A
依变项（Y）
一个
共变项（X１）
共变项（X２）
二个
自变项（A）
自变项（B）
二个
独立样本双因子单共变量共变量分析
Ｙ=X，A，B，A*B、（X*A+X*B+X*A*B）
Y=X，A，B，A*B
依变项（Y）
一个
共变项（X）
一个
自变项（A）
自变项（B）
二个
独立样本双因子双共变量共变量分析
Ｙ=X１，X２，A，B，A*B，（X１*A+X１*B+X１*A*B+X２*A+X２*B+X２*A*B）
Y=X１，X２，A，B，A*B
依变项（Y）
一个
共变项（X１）
共变项（X２）
二个
下面为研究实验数据，其中NUM为受试者编号，GRO为组别，X为共变数（前测成绩）、Y为依变项（后测成绩）。
实验处理前后三种不同组别之受试者前后测的成绩
组别
前测成绩
后测成绩
活动法一
17
18
25
19
23
27
29
31
29
29
21
23
20
19
22
27
31
26
28
30
活动法二
17
21
16
15
18
27
31
27
26
29
19
16
14
20
17
30
29
27
31
30
活动法三
13
24
22
17
15
27
32
31
27
28
16
19
20
18
18
32
31
30
30
29
SPSS数据编码文件格式如下:
NUM
GRO
X
Y
NUM
GRO
X
Y
1
1
17
27
16
2
19
30
2
1
18
29
17
2
16
29
3
1
25
31
18
2
14
27
4
1
19
29
19
2
20
31
5
1
23
29
20
2
17
30
6
1
21
30
21
3
13
27
7
1
23
30
22
3
24
32
8
1
20
26
23
3
22
31
9
1
19
28
24
3
17
27
10
1
22
30
25
3
15
28
11
2
17
27
26
3
16
29
12
2
20
30
27
3
19
31
13
2
16
27
28
3
20
30
14
2
15
26
29
3
18
30
15
2
18
29
30
3
18
29
8-2、操作说明
一、回归斜率同构型检定
进行共变量分析之前，要先检定组内回归系数同构型之假定，同构型检定系在考验各组内共变项对依变项进行回归分析所得到的斜率是否相等，此一假设检定分析，若是将共变项视为独立的一个自变项，即在考验原分组自变项与共变项间是否有显著的交互作用，若交互作用检定达到显著，表示原自变项与共变项间有交互的影响关系，此结果表示违反了组内回归系数同构型的假定；反之，若自变项与共变项间的交互作用检定结果未达显著，代表未违反组内回归系数同构型的假定。
操作１
执行【分析】/【一般线性模式】/【单变量…】程序
操作２
出现「单变量」窗口
将左边依变项「后测成绩[y]」选入右边「依变数」（DependentVariable）下的空盒中。
将左边自变项「组别[gro]」选入右边「固定因子」（FixedFactor（s））下的空盒中。
将左边控制变项「前测成绩[x]」选入右边「共变量:
」（Covariate（s））下的空盒中。
操作３
按『模式』钮，出现「单变量：
模式」次对话窗口。
在「指定模式」（SpecifyModel）方盒中，选取右边「⊙（自定义），在「Model:
」（模式）下的空盒中选入「gro、x、gro*x」
※要选入gro*x，在因子与共变量方盒中，要同时选取gro（F）、x（C）皆要呈反白状，再选入右边空盒中。
其中gro（F）表示「gro」变项是一个「固定因子」，也就是自变项；而x（C）中括号的「Ｃ」，表示x变项是共变量。
在「平方和」的下拉式选项中，选取内定之「TypeⅢ」（型Ⅲ）的计算方法。
按『继续』，回到「单变量」对话窗口，再按『确定』钮。
【备注】
在「因子与共变量」的方盒中，SPSS在列出因子和共变量时，会用（F）代表固定因子，用（C）代表共变量，如「gro（F）」表示「gro」变项是一个固定因子（自变项）、「x（C）」表示「x」是一个共变量；至于「一般因子分析」，则用（R）代表随机因子。
【以下为组内回归系数同构型检定结果】
受试者间因子
数值批注
个数
组别
1
活动法一
10
2
活动法二
10
3
活动法三
10
受试者间效应项的检定
依变数:
后测成绩
来源
型III平方和
自由度
平均平方和
F检定
显著性
校正后的模式
51.073（a）
5
10.215
9.468
.000
截距
178.442
1
178.442
165.392
.000
GRO
1.579
2
.790
.732
.491
X
44.639
1
44.639
41.375
.000
GRO*X
1.912
2
.956
.886
.425
误差
25.894
24
1.079
总和
25249.000
30
校正后的总数
76.967
29
aR平方=.664（调过后的R平方=.593）
上表为组内回归系数同构型考验结果（GRO*X栏），F值为.886；p=.425未达.05的显著水平，接受虚无假设，表示三组回归线的斜率相同，亦即共变项（前测成绩）与依变项（后测成绩）间的关系不会因自变项各处理水平的不同而有所差异，以各实验处理组的共变项（前测成绩）来预测依变项（后测成绩）所得到的各条回归线之回归系数并无不同，符合共变量分析中组内回归系数同构型的假定，继续进行共变量分析。
组内回归系数同构型检定摘要表
来源
型III平方和
自由度
平均平方和
F检定
显著性
GRO
1.579
2
.790
.732
.491
X
44.639
1
44.639
41.375
.000
GRO*X
1.912
2
.956
.886
.425
误差
25.894
24
1.079
校正后的总数
76.967
29
aR平方=.664（调过后的R平方=.593）
二、共变量分析
操作一
执行【分析】/【一般线性模式】/【单变量…】程序
◆出现「单变量」窗口
◆将左边依变项「后测成绩[y]」选入右边「依变数」（DependentVariable）下的空盒中。
◆将左边自变项「组别[gro]」选入右边「固定因子」（FixedFactor（s））下的空盒中。
◆将左边控制变项「前测成绩[x]」选入右边「共变量:
」（Covariate（s））下的空盒中。
操作二
◆按『模式』钮，出现「单变量：
模式」次对话窗口。
◆在「指定模式」方盒中，选取内定之「⊙完全因子模式」（Fullfactorial」。
◆「平方和」的下拉式选项中，一样选取内定之「型Ⅲ」（TypeⅢ）的计算方法。
◆按『继续』钮，回到「单变量」窗口。
操作三
◆在「单变量」窗口中，按『选项』钮，出现「单变量：
选项」次窗口。
◆将左边「因子与因子交互作用」（Factor（s）andFactorInteractions）方盒下之因子「gra」自变项选入右边「显示平均数」下的空盒中。
◆勾选「□比较主效应」（Comparemaineffects）选项，以比较gra因子间（自变项间）组别调整后平均数的差异，亦即主要效果的比较。
◆在「显示」方盒中勾选「叙述统计」（Descriptivestatistics）、「效果项大小估计值」（Estimateeffectsize）、「参数估计值」（parameterestimates）。
◆按『继续』钮，回到「单变量」对话窗口，再按『确定』钮
【以下为共变量分析结果】
变异数的单变量分析
受试者间因子
数值批注
个数
组别
1
活动法一
10
2
活动法二
10
3
活动法三
10
※上表呈现各组的受试样本数，各为十人。
叙述统计
依变数:
后测成绩
组别
平均数
标准偏差
个数
活动法一
28.90
1.52
10
活动法二
28.60
1.71
10
活动法三
29.40
1.71
10
总和
28.97
1.63
30
※上表呈现的平均数与标准偏差为原始的后测成绩的数据，未排除共变量（前测成绩）的影响，不是调整后的平均数。
受试者间效应项的检定
依变数:
后测成绩
来源
型III平方和
自由度
平均平方和
F检定
显著性
净相关Eta平方
校正后的模式
49.162（a）
3
16.387
15.323
.000
.639
截距
210.782
1
210.782
197.098
.000
.883
X
45.895
1
45.895
42.915
.000
.623
GRO
13.428
2
6.714
6.278
.006
.326
误差
27.805
26
1.069
总和
25249.000
30
校正后的总数
76.967
29
aR平方=.639（调过后的R平方=.597）
※上表为共变量分析摘要表，整理如下：
共变量分析摘要一览表
来源
型III平方和
自由度
平均平方和
F检定
显著性
净相关Eta平方
X
45.895
1
45.895
42.915
.000
.623
GRO
13.428
2
6.714
6.278
.006
.326
误差
27.805
26
1.069
校正后的总数
76.967
29
aR平方=.639（调过后的R平方=.597）
※从上述共变量分析摘要表中可以得知，排除共变项（前测成绩）对依变项（后测成绩）的影响力后，自变项（三种活动教学法）对依变项所造成的实验处理效果显著，其F=6.278**，表示后测成绩的高低会因受试样本所接受的实验处理（自变项）的不同，而有显著的差异存在。
由于共变量分析检定结果达到.05的显著水平，必须进一步进行事后比较，以得知是哪几组受试样本在依变项的平均数有显著差异存在。
参数估计值
依变数:
后测成绩
回归系数B
标准误
T
显著性
95%信赖区间
净相关Eta平方
参数
下限
上限
截距
20.486
1.400
14.637
.000
17.609
23.362
.892
X
.490
.075
6.551
.000
.336
.643
.623
[GRO=1]
-1.725
.499
-3.457
.002
-2.750
-.699
.315
[GRO=2]
-.310
.468
-.662
.514
-1.273
.653
.017
[GRO=3]
0（a）
.
.
.
.
.
.
a此参数因重迭而设定为零。
※上表参数估计值可以求出调整后的平均数。
估计的边际平均数组别
估计值
依变数:
后测成绩
平均数
标准误
95%信赖区间
组别
下限
上限
活动法一
27.920（a）
.360
27.181
28.660
活动法二
29.335（a）
.346
28.624
30.045
活动法三
29.645（a）
.329
28.968
30.321
a在模式中所显示的共变量评估:
前测成绩=18.70。
※上表之「估计的边际平均数」即是调整后的平均数，三组调整后的平均数分别为27.920、29.335、29.645，这三个数值乃由上面的参数估计值中换算而来，如：
估计组别１的边缘平均数＝20.486＋（-1.725）＋18.70×.490＝27.92
估计组别２的边缘平均数＝20.486＋（-.310）＋18.70×.490＝2934
估计组别３的边缘平均数＝20.486＋0＋18.70×.490＝29.65
其中18.700为共变量（ｘ）的平均数（受试样本前测成绩的总平均数）
成对的比较
依变数:
后测成绩
平均数差异（I-J）
标准误
显著性（a）
差异的95%信赖区间（a）
（I）组别
（J）组别
下限
上限
活动法一
活动法二
-1.414（*）
.531
.013
-2.507
-.322
活动法三
-1.725（*）
.499
.002
-2.750
-.699
活动法二
活动法一
1.414（*）
.531
.013
.322
2.507
活动法三
-.310
.468
.514
-1.27
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