中考数学二次函数压轴题含答案.docx
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中考数学二次函数压轴题含答案
中考数学冲刺复习资料:
二次函数压轴题
面积类
1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长.
(3)在
(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?
若存在,求m的值;若不存在,说明理由.
解答:
解:
(1)设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣3),则:
a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1;
∴抛物线的解析式:
y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3.
(2)设直线BC的解析式为:
y=kx+b,则有:
,
解得
;
故直线BC的解析式:
y=﹣x+3.
已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3);
∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3).
(3)如图;
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN•OB,
∴S△BNC=(﹣m2+3m)•3=﹣(m﹣)2+
(0<m<3);
∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为
.
2.如图,抛物线
的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标;
(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标.
解答:
解:
(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得:
0=16a﹣×4﹣2,即:
a=;
∴抛物线的解析式为:
y=x2﹣x﹣2.
(2)由
(1)的函数解析式可求得:
A(﹣1,0)、C(0,﹣2);
∴OA=1,OC=2,OB=4,
即:
OC2=OA•OB,又:
OC⊥AB,
∴△OAC∽△OCB,得:
∠OCA=∠OBC;
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°,
∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径;
所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:
(,0).
(3)已求得:
B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:
y=x﹣2;
设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:
y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:
x+b=x2﹣x﹣2,即:
x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0;
∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4;
∴直线l:
y=x﹣4.
所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有:
,解得:
即M(2,﹣3).
过M点作MN⊥x轴于N,
S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4.
平行四边形类
3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)、B(0,﹣3),点P是直线AB上的动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M,设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式.
(2)若点P在第四象限,连接AM、BM,当线段PM最长时,求△ABM的面积.
(3)是否存在这样的点P,使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形?
若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
(1)分别利用待定系数法求两函数的解析式:
把A(3,0)B(0,﹣3)分别代入y=x2+mx+n与y=kx+b,得到关于m、n的两个方程组,解方程组即可;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长,即PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,然后根据二次函数的最值得到
当t=﹣
=时,PM最长为
=,再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可;
(3)由PM∥OB,根据平行四边形的判定得到当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:
当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能;当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3;当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值.
解答:
解:
(1)把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=x2+mx+n,得
解得
,所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3.
设直线AB的解析式是y=kx+b,
把A(3,0)B(0,﹣3)代入y=kx+b,得
,解得
,
所以直线AB的解析式是y=x﹣3;
(2)设点P的坐标是(t,t﹣3),则M(t,t2﹣2t﹣3),
因为p在第四象限,
所以PM=(t﹣3)﹣(t2﹣2t﹣3)=﹣t2+3t,
当t=﹣
=时,二次函数的最大值,即PM最长值为
=,
则S△ABM=S△BPM+S△APM=
=
.
(3)存在,理由如下:
∵PM∥OB,
∴当PM=OB时,点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形,
①当P在第四象限:
PM=OB=3,PM最长时只有,所以不可能有PM=3.
②当P在第一象限:
PM=OB=3,(t2﹣2t﹣3)﹣(t﹣3)=3,解得t1=
,t2=
(舍去),所以P点的横坐标是
;
③当P在第三象限:
PM=OB=3,t2﹣3t=3,解得t1=
(舍去),t2=
,所以P点的横坐标是
.所以P点的横坐标是
或
.
4.如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?
若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?
并写出四边形PB′A′B的两条性质.
解:
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(﹣1,0),B′(0,2).
方法一:
设抛物线的解析式为:
y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
∴
,解得:
,∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2.
方法二:
∵A′(﹣1,0),B′(0,2),B(2,0),
设抛物线的解析式为:
y=a(x+1)(x﹣2)
将B′(0,2)代入得出:
2=a(0+1)(0﹣2),
解得:
a=﹣1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣(x+1)(x﹣2)=﹣x2+x+2;
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=﹣x2+x+2.
连接PB,PO,PB′,
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,
=×1×2+×2×x+×2×y,
=x+(﹣x2+x+2)+1,
=﹣x2+2x+3.
∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:
×1×2=1,
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则
4=﹣x2+2x+3,
即x2﹣2x+1=0,
解得:
x1=x2=1,
此时y=﹣12+1+2=2,即P(1,2).
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分)
或用符号表示:
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.
5.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:
y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D
(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状;
(3)在直线l上是否存在一点P,使以点P、A、B、D
为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,求点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)∵顶点A的横坐标为x=﹣
=1,且顶点A在y=x﹣5上,
∴当x=1时,y=1﹣5=﹣4,
∴A(1,﹣4).
(2)△ABD是直角三角形.
将A(1,﹣4)代入y=x2﹣2x+c,可得,1﹣2+c=﹣4,
∴c=﹣3,∴y=x2﹣2x﹣3,∴B(0,﹣3)
当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,x1=﹣1,x2=3
∴C(﹣1,0),D(3,0),
BD2=OB2+OD2=18,AB2=(4﹣3)2+12=2,
AD2=(3﹣1)2+42=20,BD2+AB2=AD2,
∴∠ABD=90°,即△ABD是直角三角形.
(3)存在.
由题意知:
直线y=x﹣5交y轴于点E(0,﹣5),交x轴于点F(5,0)
∴OE=OF=5,
又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l,即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD,如图,
过点P作y轴的垂线,过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G.
设P(x1,x1﹣5),则G(1,x1﹣5)
则PG=|1﹣x1|,AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得:
(1﹣x1)2+(1﹣x1)2=18,x12﹣2x1﹣8=0,x1=﹣2或4
∴P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1),
存在点P(﹣2,﹣7)或P(4,﹣1)使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形.
周长类
6.如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在
(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在
(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?
若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.
解:
(1)∵抛物线y=
经过点B(0,4)∴c=4,
∵顶点在直线x=上,∴﹣
=﹣
=,∴b=﹣
;
∴所求函数关系式为
;
(2)在Rt△ABO中,OA=3,OB=4,∴AB=
,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=CD=DA=AB=5,
∴C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,y=
,
当x=2时,y=
,
∴点C和点D都在所求抛物线上;
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
则
,解得:
,∴
,
当x=时,y=
,∴P(
),
(4)∵MN∥BD,
∴△OMN∽△OBD,
∴
即
得ON=
,
设对称轴交x于点F,则
(PF+OM)•OF=(+t)×
,
∵
,S△PNF=×NF•PF=×(﹣t)×=
,
S=
(﹣
),=﹣
(0<t<4),
a=﹣<0∴抛物线开口向下,S存在最大值.
由S△PMN=﹣t2+
t=﹣(t﹣
)2+
,
∴当t=
时,S取最大值是
,此时,点M的坐标为(0,
).
等腰三角形类
7.如图,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?
若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
解:
(1)如图,过B点作BC⊥x轴,垂足为C,则∠BCO=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°,
又∵OA=OB=4,∴OC=OB=×4=2,BC=OB•sin60°=4×
=2
,
∴点B的坐标为(﹣2,﹣2
);
(2)∵抛物线过原点O和点A、B,∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx,
将A(4,0),B(﹣2.﹣2
)代入,得
,解得
,∴此抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x
(3)存在,
如图,抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),
①若OB=OP,
则22+|y|2=42,解得y=±2
,
当y=2
时,在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=
=
,
∴∠POD=60°,
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,
即P、O、B三点在同一直线上,
∴y=2
不符合题意,舍去,
∴点P的坐标为(2,﹣2
)
②若OB=PB,则42+|y+2
|2=42,
解得y=﹣2
,
故点P的坐标为(2,﹣2
),
③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2
|2,
解得y=﹣2
,
故点P的坐标为(2,﹣2
),
综上所述,符合条件的点P只有一个,其坐标为(2,﹣2
),
8.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(﹣1,0),如图所示:
抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠ACO+∠CAO=90°,
∴∠BCD=∠CAO,(1分)
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BCD≌△CAO,(2分)
∴BD=OC=1,CD=OA=2,(3分)
∴点B的坐标为(﹣3,1);(4分)
(2)抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B(﹣3,1),
则得到1=9a﹣3a﹣2,(5分)
解得a=,
所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2;(7分)
(3)假设存在点P,使得△ACP仍然是以
AC为直角边的等腰直角三角形:
①若以点C为直角顶点;
则延长BC至点P1,使得P1C=BC,得到等腰直角三角形△ACP1,(8分)
过点P1作P1M⊥x轴,
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC.(10分)
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,可求得点P1(1,﹣1);(11分)
②若以点A为直角顶点;
则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,得到等腰直角三角形△ACP2,(12分)
过点P2作P2N⊥y轴,同理可证△AP2N≌△CAO,(13分)
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,可求得点P2(2,1),(14分)
经检验,点P1(1,﹣1)与点P2(2,1)都在抛物线y=x2+x﹣2上.(16分)
9.在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示,抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B.
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?
若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解:
(1)过点B作BD⊥x轴,垂足为D,
∵∠BCD+∠ACO=90°,∠AC0+∠OAC=90°,
∴∠BCD=∠CAO,
又∵∠BDC=∠COA=90°,CB=AC,
∴△BDC≌△COA,
∴BD=OC=1,CD=OA=2,
∴点B的坐标为(3,1);
(2)∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B(3,1),
∴1=9a﹣3a﹣2,
解得:
a=,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2;
(3)假设存在点P,使得△ACP是等腰直角三角形,
①若以AC为直角边,点C为直角顶点,
则延长BC至点P1使得P1C=BC,得到等腰直角三角形ACP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图
(1),
∵CP1=BC,∠MCP1=∠BCD,∠P1MC=∠BDC=90°,
∴△MP1C≌△DBC,
∴CM=CD=2,P1M=BD=1,
∴P1(﹣1,﹣1),经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
②若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP2⊥CA,且使得AP2=AC,
得到等腰直角三角形ACP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图
(2),
同理可证△AP2N≌△CAO,
∴NP2=OA=2,AN=OC=1,
∴P2(﹣2,1),经检验P2(﹣2,1)也在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
③若以AC为直角边,点A为直角顶点,则过点A作AP3⊥CA,且使得AP3=AC,
得到等腰直角三角形ACP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图(3),
同理可证△AP3H≌△CAO,
∴HP3=OA=2,AH=OC=1,
∴P3(2,3),经检验P3(2,3)不在抛物线y=x2﹣x﹣2上;
故符合条件的点有P1(﹣1,﹣1),P2(﹣2,1)两点.
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