圆的知识点总结讲解.docx

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圆的知识点总结讲解

第二十四章圆第三章圆

1、定义：

圆是平面上到定点距离等于定长的点的集合。

其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：

一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、点与圆的位置关系及其数量特征：

如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：

①点在圆上<===>d=r；②点在圆内<===>dd>r

证明若干个点共圆，就是证明这几个点与一个定点的距离相等。

3、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

4、与圆相关的概念：

①弦和直径。

弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：

经过圆心的弦叫做直径。

②圆弧、半圆、优弧、劣弧。

圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，

半圆：

直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：

大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：

小于半圆的弧叫做劣弧。

（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。

）

③弓形：

弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：

圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：

能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：

顶点在圆心的角叫做圆心角。

⑦弦心距：

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

5、垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

说明：

根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。

6、定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，

那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

7、1°的弧的概念：

把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的角都是1°的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份，每一份同样的弧叫1°弧。

圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。

8、圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角。

圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：

同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；

推论2：

半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

9、确定圆的条件：

①理解确定一个圆必须的具备两个条件：

圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

经过一点可以作无数个圆，经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上。

②经过三点作圆要分两种情况：

（1）经过同一直线上的三点不能作圆。

（2）经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆。

定理：

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

10、

（1）三角形的外接圆和圆的内接三角形：

经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形。

（P69-4,5、P70-15）

（2）三角形的外心：

三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。

（3）三角形的外心的性质：

三角形外心到三顶点的距离相等。

11、直线和圆的位置关系：

（P72-3,5）

（1）相交：

直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。

（2）相切：

直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，惟一的公共点做切点。

（3）相离：

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

（4）直线与圆的位置关系的数量特征：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则

①d直线L和⊙O相交。

②d=r<===>直线L和⊙O相切。

③d>r<===>直线L和⊙O相离。

12、切线的总判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

推论1：

经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：

经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

结论：

如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个。

①垂直于切线；②过切点；③过圆心。

13、和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

三角形内心的性质：

（1）三角形的内心到三边的距离相等。

（2）过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角。

由此性质引出一条重要的辅助线：

连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角。

14、两圆的位置关系：

（1）外离：

两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。

（2）外切：

两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。

这个惟一的公共点叫做切点。

（3）相交：

两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交。

（4）内切：

两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。

这个惟一的公共点叫做切点。

（5）内含：

两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含。

两圆同心是两圆内的一个特例。

（6）两圆位置关系的性质与判定：

（1）两圆外离<===>d>R+r；

（2）两圆外切<===>d=R+r；（3）两圆相交<===>R-rd=R-r（R>r）；（5）两圆内含<===>dr）。

（7）相切两圆的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

（8）相交两圆的性质：

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

15、圆周长公式：

圆周长C=2πR（R表示圆的半径）。

圆的面积公式：

S=πR2（R表示圆的半径）。

弧长公式：

2nπR/360（R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数）。

（P82-6）

扇形定义：

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

扇形的面积公式：

扇形的面积=nπR2/360（R表示圆的半径，n表示弧所对的圆心角的度数）。

弓形定义：

由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。

弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高。

16、圆锥：

可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形，另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面。

圆锥的侧面展开图与侧面积计算：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点。

如果设圆锥底面半径为r，侧面母线长（扇形半径）是l，底面圆周长（扇形弧长）为c，那么它的侧面积是：

S=cl/2=2πrl/3=πrl。

总面积=侧面积+底面积。

17、若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

圆内接四边形的特征：

①圆内接四边形的对角互补；②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角。

18、切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

19、和圆有关的比例线段：

①相交弦定理：

圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；

②推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

20、切割线定理：

①从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；

②推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

21、两圆连心线的性质：

①如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。

②如果两圆相交，那么连心线垂直平分两圆的公共弦。

（P91-7

24.3正多边形和圆

1、正多边形的概念：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

　　2、正多边形与圆的关系：

（1）将一个圆n（n≥3）等分（可以借助量角器），依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。

（2）这个圆是这个正多边形的外接圆。

　　3、正多边形的有关概念：

（1）正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。

（2）正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。

　　（3）正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。

　　（4）正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。

　　4、正多边形性质：

（1）任何正多边形都有一个外接圆。

（2）正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。

　　（3）边数相同的正多边形相似。

　　重点：

正多边形的有关计算。

24.4弧长和扇形面积

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2

R，所以1°的圆心角所对的弧长是

，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：

，

说明：

（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成

。

（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积

，所以圆心角为1°的扇形面积是

，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是

。

又因为扇形的弧长

，扇形面积

，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：

。

知识点3、弓形的面积

（1）弓形的定义：

由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长

（3）弓形的面积

如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，

当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，

当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，

注意：

（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。

圆周长

弧长

圆面积

扇形面积

公

式

C

（2）扇形与弓形的联系与区别

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2

，圆锥的侧面积

，圆锥的全面积

说明：

（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积

，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比较

名称

圆锥

圆柱

图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。

由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。

图形的组成

一个底面和一个侧面

两个底面和一个侧面

侧面展开图的特征

扇形

矩形

面积计算方法