南开中学 学年 九年级上 入学测试参考答案.docx

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南开中学学年九年级上入学测试参考答案

重庆南开中学初2021级九年级（上）摸底考试

数学试题

（全卷共四个大题，满分150分；考试时间120分钟）

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1.2的相反数是（）

A.-2

B.

-1

C.

0D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案．

【详解】解：

2的相反数是－2，故选：

A．

【点睛】本题考查的是相反数的定义．本题是基础应用题，只需学生熟练掌握相反数的定义，即可完成．

2.

以下四个标志中，是轴对称图形的是（）．

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据轴对称定义：

如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够相互重合，则这个图形为轴对称图形，即可完成求解．

【详解】选项A图形，可沿图形中间竖直线对折重合，故A正确；

选项B、C、D图形，找不到可以使其对折重合的直线，故选项B、C、D不正确．

【点睛】本题考察了轴对称图形的知识；求解的关键是准确掌握轴对称图形的定义，从而完成求解．

3.截止到8月21日，全球新冠肺炎确诊人数约为2253万，其中数据2253用科学记数法表示为（）

A.2.253⨯102

B.2.253⨯103

C.22.53⨯102

D.22.53⨯103

【答案】B

【解析】

【分析】

根据科学记数法的概念，将一个大于10的数表示成a⨯10n（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数）的形式即可解答．

【详解】2253=

2.253⨯103，

故选：

B．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法中a和n的取值方法是解题的关键．

4.下列计算正确的是（）

A.+=B.2+=2C.⨯=D.2-=

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式的加减与二次根式的乘法逐一判断可得答案．

【详解】解：

与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

2与不是同类二次根式，不能合并，故B选项错误；

⨯

==，故C选项正确；

2与不是同类二次根式，不能合并，故D选项错误；

故选：

C．

【点睛】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘法运算．注意只有同类二次根式，相加、减时才能合并．

5.将若干个小菱形按如下图的规律排列：

第1个图形有4个小菱形，第2个图形有7个小菱形，第3个图形有10个小菱形，，则第8个图形有（）个小菱形．

A.24B.25C.26D.27

【答案】B

【解析】

【分析】

设第n个图形有an个小菱形（n为正整数），观察图形，根据各图形中小菱形个数的变化可得出变化规律

“an=3n+1（n为正整数）”，再代入n=8即可求出结论．

【详解】设第n个图形有an个小菱形（n为正整数）．

观察图形，可知：

a1=4=3+1，a2=7=3×2+1，a3=10=3×3+1，a4=13=3×4+1，

∴an=3n+1（n为正整数），

∴a8=3×8+1=25．

故选：

B．

【点睛】本题考查了规律型：

图形的变化类．根据各图形中小菱形个数的变化找出变化规律“an=3n+1（n为正整数）”是解题的关键．

6.估计（+53）⨯的值应在（）

A.3.5和4之间B.4和4.5之间C.4.5和5之间D.5和5.5之间

【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质化简原式=1+

，由3＜

＜4，即可求解．

【详解】解：

（

+53）⨯

=（+53）⨯5

5

=1+，

∵3.5＜＜4，

∴4.5＜1+

故选：

C．

＜5，

【点睛】本题考查二次根式的运算，无理数的大小估计；熟练掌握二次根式的化简方法，估计无理数大小的方法是解题的关键．

7.解一元一次方程1（x-1）=2-1x时，去分母正确的是（）

25

A.2（x-1）=2-5x

B.2（x-1）=20-5x

C.5（x-1）=2-2x

D.5（x-1）=20-2x

【答案】D

【解析】

【分析】

根据等式的基本性质将方程两边都乘以10可得答案．

【详解】解：

方程两边都乘以10，得：

5（x-1）=20-2x，故选：

D．

【点睛】本题主要考查解一元一次方程．在本题中去分母，利用等式的性质两边同乘以10时，切记不要漏乘哦．

8.如图，∆ABC与∆A'B'C'是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA'，S∆ABC=4，则S∆A'B'C'等于（）

A.6B.8C.9D.12

【答案】C

【解析】

【分析】

△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA=2AA′可得两个图形的位似比，利用面积的比等于位似比的平方即可求解．

【详解】解：

△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA=2AA′可得OA=

∴两位似图形的位似比为2：

3，所以两位似图形的面积比为4：

9，又S△ABC=4，

∴S△A'B'C'=4÷4=9．

9

2OA'，

3

故选：

C

【点睛】本题考查位似图形，理解位似图形的面积比即是对应线段比的平方是解题关键．

9.《九章算术》中有这样一个题：

今有二马，一牛价过一万，如半马之价．一马，二牛价不满一万，如半

1

牛之价．问牛，马价各几何？

其意思为：

今有2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于2匹

1

马的价格．1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于2头牛的价格．问每头牛，每匹马的价格

各是多少？

设每匹马的价格为x万钱，每头牛的价格为y万钱，则可建立方程组为（）

⎧2x+y=1-1x

⎧2x+y=1+1x

⎧2x+y=1+1x

⎧2x+y=1-1x

⎪2

A.⎨

⎪x+2y=1-1y

⎩2

⎪2

B.⎨

⎪x+2y=1+1y

⎩2

⎪2

C.⎨

⎪x+2y=1-1y

⎩2

⎪2

D.⎨

⎪x+2y=1+1y

⎩2

【答案】C

【解析】

【分析】

设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，根据2匹马，1头牛的总价超过1万钱，其超出的钱数相当于1

2

1

匹马的价格，1匹马，2头牛的总价不足1万钱，所差的钱数相当于

2

头牛的价格，列方程组．

⎧2x+y=1+1x

⎪2

【详解】解：

设一匹马价钱为x元，一头牛价钱为y元，由题意可列方程组：

⎨．

⎪x+2y=1-1y

⎩2

故选：

C．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．

⎧x-3+4>x

y-a

3y-13

10.若关于x的一元一次不等式组⎪63有解，且关于y的分式方程

y-2

+

=1解为正整

y-2

⎪⎩a-x≤0

数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

A.-9

B.-10

C.-14

D.-15

【答案】B

【解析】

【分析】

不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正整数解，确定出a的值，求出之和即可．

⎧x＜1

⎩

【详解】解：

不等式组整理得：

⎨x≥a，

由不等式组有解，即解集为a≤x＜1，得到a≤0，分式方程去分母得：

y-a+3y-13=y-2，即3y=a+11，

a+11

解得：

y=，

3

由y为正整数解，且y≠2得到a=-8，-2

∴所有满足条件的整数a的值之和为-8+（-2）=-10，故选：

B．

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11.如图，反比例函数y=k

x

（k≠0）的图象经过等边∆ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上．已

知点C的坐标是（3,4），则k的值为（）

A.-6

B.

-4

C.

-3

D.

-2

【答案】B

【解析】

【分析】

由对称性可知：

OA＝OB，由△ABC是等边三角形得三线合一知，OC⊥AB，再根据C点坐标，求出OC，

OB的长，再过C点作CD⊥x轴，过B点作BE垂直x轴，根据相似三角形的性质即可求出B点坐标，再代入即可求出k值.

【详解】解：

由对称性可知：

OA＝OB，

∵△ABC是等边三角形，

∴OC⊥AB，

∴∠COD+∠BOD=90°，

过C点作CD⊥x轴，过B点作BE垂直x轴，

∴∠ODC=∠OEB=90°，

∴∠COD+∠OCD=90°，

∴∠BOD=∠OCD，

∴△COD∽△OBE，

\OC=OD=CD

OBBEOE

∵C（3，4），

∴OD=3,CD=4,OC=

∴OB＝3OC＝53，

=5，

33

\3=4=5

BEOE

解得：

BE=

∴B（43,-

3

53，

3

3,OE=，

3）,

k

把B点坐标代入y＝

x

故选：

B．

，得到k＝﹣4，

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象和性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质．解题关

键是正确构造辅助线，求出B点坐标．

12.如图，在正方形ABCD中，边长AB=10，E是为BC中点，连接AE，BD，把∆ABE沿着AE翻折，得到∆AB'E，则点B'到BD的距离为（）

A.2B.4C.3D.

【答案】A

【解析】

【分析】

过点B'作B'F⊥BD于点F，过点B'作MN//CD交AD于M，交BC于N，交BD于G，可得四边形ABNM

和四边形MNCD均为矩形，由折叠的性质可得AB'=10，B'E=BE=5，∠AB'E=∠ABE=90︒，可证

VAMB':

VB'NE，列出比例式，设AM=x，MB'=y，则B'N=10-y，NE=x-5，代入比例式可求x，y，进而可求MD与MG，可得B'G的长度，由B'F⊥BD，∠B'GF=45︒，可求答案．

【详解】如图，过点B'作B'F⊥BD于点F，过点B'作MN//CD交AD于M，交BC于N，交BD于G，则MN⊥BC，MN⊥AD，

∴四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，

∵∆ABE沿着AE翻折，得到∆AB'E，AB=10，E是为BC中点，

∴AB'=10，B'E=BE=5，∠AB'E=∠ABE=90︒，

∴∠AB'M+∠EB'N=90︒，

∵∠AB'M+∠MAB'=90︒，

∴∠EB'N=∠MAB'，

∵∠AMB'=∠B'NE=90︒，

∴VAMB':

VB'NE，

∴AM=MB'=AB'，

B'NNEB'E

设AM=x，MB'=y，则B'N=10-y，NE=x-5，

则：

x=

y=10，

10-yx-55

解得：

x=8,y=6，

∴AM=8，MB'=6，

∴MD=2，

∵BD为正方形ABCD的对角线，GM⊥MD，

∴∠MDG=∠MGD=∠B'GF=45︒，

∴MD=MG=2，

∴B'G=4，

又∵B'F⊥BD，∠B'GF=45︒，

∴B'F=B'Ggsin45︒=4⨯

故选：

A．

2=2．

2

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似的判定与性质，解直角三角形等，根据图形作出恰当的辅助线是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上．

13.函数y=

1

x-2

中，自变量x的取值范围是▲．

【答案】x≠2．

【解析】

试题分析：

由已知：

x-2≠0，解得x≠2；考点：

自变量的取值范围．

14.因式分解：

xy2-4x=．

【答案

．

【解析】

要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，

先提取公因式x后继续应用平方差公式分解即可：

xy2-4x=x（y2-4）=x（y+2）（y-2）．

15.关于x的一元二次方程x2-4x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值为_．

【答案】3．

【解析】

【分析】

根据题意可知△=0，即42-4（m+1）=0，求解即可．

【详解】解：

∵方程有两个相等的实数根，

∴△=0，

即42-4（m+1）=0，

解得：

m=3．故答案为：

3．

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意△=0⇔方程有两个相等的实数根．

16.现有五张正面分别标有数字-2，-1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点P（m,n）在第四象限的概率为．

6

【答案】

25

【解析】

【分析】

画树状图展示所有25种等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解．

【详解】解：

根据题意画图如下：

共有25种等可能的情况数，其中P（m,n）在第四象限的有6种，概率为6．

25

6

故答案为：

．

25

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：

利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合

m

事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率为．

n

17.甲，乙两车在笔直的公路AB上行驶，乙车从AB之间的C地出发，到达终点B地停止行驶，甲车从

起点A地与乙车同时出发，到达B地休息半小时后立即以另一速度返回C地并停止行驶，在行驶过程中，两车均保持匀速，甲、乙两车之间的距离y（千米）与乙车行驶的时间x（小时）之间的关系如图所示，

则乙车到达终点B时，甲车离C地还有千米．

【答案】240

【解析】

【分析】

根据图象经过（0,60）即可求得AC的距离；再根据图象经过（3,0），可求得甲乙的速度差；根据最大距离为80千米，可知此时甲已经到达，从而可求得甲从A第到达B地所需时间；根据甲休息了半小时结合图象中甲乙在此时间段距离缩小20千米可求得乙的速度，从而求得甲的速度；根据8小时两车二次相遇，可求得甲改变后的速度；求得乙从B到达C的时间减去7.5再乘以甲改变后的速度即可求得此时甲距离B地的距离，从而求得甲距离C地的距离．

【详解】解：

图象过（0，60）点，因此AC的距离为60千米，

过（3，0），说明经过3小时，甲追上乙，可求出速度的差为20千米/时，

两辆的最大距离为80千米，说明甲到达B地，而乙还在途中，可得甲从追上乙到B地由用了80÷20=4小时，因此甲行全程用3+4=7小时，

当甲在B地休息半小时，两车的距离减少80-60=20千米，说明乙车用半小时行20千米，乙的速度为40千米/小时，甲的速度是60千米/小时，BC两地的距离为60×7-60=360千米，甲返回时，乙距离B地360-40×7.5=60千米，

故甲返回的速度为60÷0.5-40=80千米/小时，

乙到达B地所需时间为：

360÷40=9小时，此时甲距离B地80×（9-7.5）=120千米，甲距离C地360-120=240千米，

故答案为：

240．

【点睛】本题考查对函数意义的理解以及从图象获取知识的能力，进一步结合实际问题体会自变量、因变量的变化关系，熟练掌握行程类应用题的数量关系是解决问题的重中之重．

18.为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在5月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比5:

4:

3，市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费，到了6月

1

份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的

2

9

用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊

位数量的20，同时将餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元，

1

结果市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了

12

比是．

【答案】3:

20

，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之

【解析】

【分析】

由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5n,4n,3n，再假设新增摊位数量为m，则

1

餐饮区新增摊位数量为

2

m，进而根据条件得出n和m的关系，利用市场管理处6月份收到的管理费比5

1

月份增加了

12

建立关系式，进行代入分析即可得出答案．

【详解】解：

由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5n,4n,3n，

则5月份的管理费为：

（5n+4n+3n）⨯50=600n（元），

6月份的管理费为：

（1+

1）⨯600n=650n（元），

12

再假设新增摊位数量为m，则餐饮区新增摊位数量为1m，

2

9

由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的

20

，可得：

（12n+m）⨯9=5n+1m，化简后可得：

m=8n，

202

即有新增摊位数量为8n，餐饮区新增摊位数量为4n，

且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：

40元、30元、20元，由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为：

650n-（5n+4n）⨯40=290n（元），

百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为：

4n⨯30+3n⨯20=180n（元），则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为：

290n-180n=110n（元），

当百货区新增3n，杂项区新增n时，满足条件，

所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是3n:

（12n+8n）=3n:

20n=3:

20．故答案为：

3:

20．

【点睛】本题考查不定方程的应用，注意掌握根据条件得出n和m的关系以及利用市场管理处6月份收到

1

的管理费比5月份增加了

12

建立关系式，进行代入分析是解答本题的关键．

三、解答题：

（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上．

19.计算：

（1）（x+y）2+y（3x-y）；

16-a2+⎛4-a2-⎫

（2）ça⎪

a-11-a

【答案】

（1）x

【解析】

【分析】

⎝⎭

2+5xy；

（2）

-a2+a+12

．

a-1

（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；

（2）去括号，并把分式化为同分母分式，再依据同分母分式相加、减，分母不变，分子相加、减即可求解．

【详解】解：

（1）原式=x2+2xy+y2+3xy-y2

=x2+5xy;

（2）原式=

16-a2

a-1

-4-a2-

a-1

a2-aa-1

16-a2-4+a2-a2+a

=

a-1

-a2+a+12

=．

a-1

【点睛】本题考查整式的混合运算和分式的加减混合运算．熟知运算法则，运算公式是解题关键．

20.

如图，在ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BD于点E，F．

（1）若∠BCF=65︒，求∠ABC的度数；

（2）求证：

AE=CF．

【答案】

（1）50︒；

（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据题意可得∠BCD=2∠BCF=130°，利用平行四边形的性质即可解答；

（2）根据平行四边形的性质及角平分线即可证明△ABE≌△CDF，再利用全等三角形的性质即可证明．

【详解】

（1）∵CF平分∠DCB，

∴∠BCD=2∠BCF=130°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-130°=50°．

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BAD=∠DCB，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABE=∠CDF．

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

∴∠BAE=1

2

∠BAD，∠DCF=1

2

∠DCB，

∴∠BAE=∠CDF，

又∵AB=CD，∠ABE=∠CDF，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟悉平行四边形的性质以及全等三角形的判定．

21.为了增强学生国家安全意识，某中学举行了国家安全法知识竞赛，并从该校七、八年级中各随机抽取20

名学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：

八年级抽取的学生的竞赛成绩：

4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表

年级

七年级

八年级

平均数

7.4

7.4

中位数

a

b

众数

7

c

合格率