趣味数论.docx
《趣味数论.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《趣味数论.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
趣味数论
数论
3.13个相同的数排列的秘密
问题1：
用3个2写一个最大的数。
3个2可能摆法如下：
222，222=484，=24=16，222=4194304，所以，答案为222。
问题2：
用3个3写一个最大的数。
3个3可能摆法如下：
333，333，=327，333，所以，答案为333。
问题3：
用3个4写一个最大的数。
3个4可能摆法如下：
444，444，=4256，444，所以，答案为。
为什么有些数字的三级超乘方的摆法最大，而有些数字就不是呢？
不使用运算符号，用3个相同的数摆出一个最大的数。
用字母表示，下面的摆法：
222，333，444可表示为。
的三级超乘方则可表示为。
问题的关键在于为何值时，的三级超乘方比大？
上述问题归结为求解下面的不等式：
。
不等式两端都除以，可以得出。
经验证得，当时，成立。
由此得出结论：
当这个数为2或3的时候，用的形式摆出的数最大；而当这个数大于或等于4时，用的形式得到的数最大。
3.2能被19整除的数
证明：
一个数能被19整除的充分必要条件是：
这个数划去个位数字之外的数加上个位数的2倍，得到的结果是19的倍数。
【解答】对于任意数N，都可以表示为，其中，表示这个数是划去个位数之外的数，表示个位数。
下面来证明，N能被19整除的充分必要条件是能被19整除。
可以得出，如果N能被19整除，则能被19整除；反之，如果能被19整除，则N能被19整除也成立。
下面举例说明，判定47045881能否被19整除。
4704588︱1
2
47045︱90
18
4706︱3
6
471︱2
4
47︱5
10
5︱7
14
19
显然，19能被19整除，所以47045881能被19整除。
3.3能被2、3、4……整除的数的特征
能被2整除的数：
个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除。
能被3整除的数：
各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。
能被4整除的数：
个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除。
能被5整除的数：
个位上的数都能被5整除（即个位为0或5）那么这个数能被5整除。
能被6整除的数：
如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除。
能被7整除的数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：
13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：
613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数：
百位、十位和个位所组成的三位数能被8整除，那么这个数能被8整除。
能被9整除的数：
各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除。
能被10整除的数：
如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。
能被11整除的数：
奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的“割尾法”处理，过程唯一不同的是：
倍数不是2而是1。
能被12整除的数：
若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
能被13整除的数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：
若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。
能被19整除的数：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述“截尾、倍大、相加、验差”的过程，直到能清楚判断为止。
另一种方法：
若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。
能被23整除的数：
若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。
能被25整除的数：
十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数：
百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
3.4抽屉原理和六人集会问题
“任意367个人中，必有生日相同的人。
”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
”
“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
”
……
大家都会认为上面所述结论是正确的。
这些结论是依据什么原理得出的呢？
这个原理叫做抽屉原理。
它的内容可以用形象的语言表述为：
“把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。
”
在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。
这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，…，5的手套各有两只，同号的两只是一双。
任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。
这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
抽屉原理的一种更一般的表述为：
“把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。
”
利用上述原理容易证明：
“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。
”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：
“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。
”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。
许多有关存在性的证明都可用它来解决。
1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。
”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。
如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。
考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，…，AF，它们的颜色不超过2种。
根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB,AC,AD同为红色。
如果BC,BD,CD,3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：
如果BC、BD、CD,3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。
不论哪种情形发生，都符合问题的结论。
六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。
这些结论构成了组合数学中的重要内容──拉姆塞理论。
从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。
3.5整数勾股弦数
满足的正整数、、被称为“勾股弦数”。
其中，、称为三角形的“直角边”，有时也叫“勾”或“股”，被称为三角形的“斜边”，有时也叫“弦”。
显然，如果、、是满足上面关系的数，那么、、也满足上面的关系，这里是正整数。
反之，满足上面的关系的、、有一个共同的因数，那么把这个因数约去，就会得到另一组满足上述关系的数。
所以，我们只讨论简单的勾股弦数，即互素的勾股弦数。
下面说明一下，、两个数中，一定是一个为奇数，一个为偶数。
如果、两个数都为偶数，那么也为偶数，所以、、一定有公因数2，这跟前面假设的、、互素矛盾。
如果、两个数都为奇数，不妨设，，
那么，
上式不能被4整除，而为偶数，能被4整除，所以得出矛盾。
综上所述，、、中，直角边、必然一个是奇数，一个是偶数，而斜边必然是奇数。
假设为奇数，为偶数，根据得出，
，。
下面说明、互素，假若、有公因数，则，，也有公因数，因为为奇数，所以公因数不为2，所以、、也有公因数，得出矛盾，所以、互素。
由，、互素，所以、必然为某个数的平方。
不妨设
解方程可得
所以，得到。
综上所述，得到、、的值其中，都是奇数，且互为素数。
下面列出一些勾股弦数
……
3.6正整数平方的一种奇妙性质
印度数学家J•V•Chaudhari和M•N•Deshpande在1996年2月发现了完全平方数的一种奇妙性质：
当正整数k=956～968时，k2均为六位数，把它的前三位数与后三位数相加，得到的和也是完全平方数（例如：
由9672=935089得935+89=1024=322），并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数43～31。
美国数学家OwenThomas在1996年9月也发现了这样的完全平方数：
当正整数k=9859～9900时，k2均为八位数，把它的前四位数与后四位数相加，得到的和也是完全平方数，并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数140～99。
笔者近日又发现了所有的正整数的平方均有以上类似性质.那对两位正整数来说，以前人们只得到了这样的结论：
当正整数k在86～90上取值时，k2均为四位数，把它的前两位数与后两位数相加，得到的和也是完全平方数，并且这些完全平方数的算术平方根恰好是正整数13～9.但是852=7225就不再有此性质：
72+25=97，但97不是完全平方数，更不会是142.笔者发现做一下微调就可以了：
852=7225=7100+125，71+125=142
类似地，还有
992=9801=9900-99，99-99=02
982=9604=9700-96，97-96=12
972=9409=9500-91，95-91=22
……
842=7056=6900+156，69+156=152
832=6889=6700+189，67+189=162
822=6724=6500+224，65+224=172
……
502=2500=100+2400，1+2400=492
492=2401=-100+2501，-1+2501=502
482=2304=-300+2604，-3+2604=512
……
32=9=-9300+9309，-93+9309=962
22=4=-9500+9504，-95+9504=972
12=1=-9700+9701，-97+9701=982
由此可得：
设1≤x≤99，x∈N，则
x2=100（2x-99）+（x2-200x+9900）
（2x-99）+（x2-200x+9900）=（99-x）2
3.7数字计算方法——手动开方
一、手动开平方
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用撇号分开，分成几段，表示所求平方根是几位数；小数部分从最高位向后两位一段隔开，段数以需要的精度+1为准。
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数。
（在例题中，比5小的平方数是4，所以平方根的最高位为2。
）
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数。
4．把第二
升级会员 