016年秋八年级数学上册 1 勾股定理教学案 新版北师大版.docx

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016年秋八年级数学上册1勾股定理教学案新版北师大版

第一章　勾股定理

经历勾股定理及其逆定理的探索过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联系,进一步发展空间观念和推理能力.

掌握勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决简单的问题.

通过实例了解勾股定理的历史与应用,体会勾股定理的文化价值.

一、本单元对应的课程标准内容

1.经历由情境引出问题,探索掌握有关数学知识,再运用于实践的过程,培养学生学数学、用数学的意识与能力.

2.体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理,会运用勾股定理解决相关问题.

3.掌握勾股定理的逆定理,会运用勾股定理的逆定理解决相关问题.

4.运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题.

5.感受数学文化的价值和中国传统数学的成就,激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情.

二、教材分析

实际生活中,有不少问题的解决都涉及直角三角形的三边关系——勾股定理.数学源于生活,又应用于生活,是本章所体现的主要思想.本章的主要内容是勾股定理及其逆定理.勾股定理是初中数学中的一个重要的定理,它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,它是数形结合的典范,可以解决许多直角三角形中的计算问题.它是直角三角形特有的性质,是初中数学内容的重点之一.本章的重点是勾股定理及其逆定理,难点是勾股定理及其逆定理的应用.本章主要有如下特点:

1.在呈现方式上,突出实践性与研究性.例如,证明勾股定理是通过问题引出的.

2.突出学数学、用数学的意识与过程.勾股定理的应用尽量和实际问题联系起来.

3.对实际问题的选取,注意联系学生的实际生活,注意拓展学生的知识面,注意系统训练的科学性,减少操作性习题,增加探索性问题的比重.

【重点】

1.掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.

2.掌握勾股定理的逆定理,并会运用它判定直角三角形.

【难点】

1.利用面积法证明勾股定理.

2.理解定理、逆定理的关系.

3.勾股定理的应用.

1.注重使学生经历探索勾股定理等活动过程.

教材安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索勾股定理的逆定理等活动,教师应鼓励学生充分参与这些活动,通过观察、实验、推理、交流等获得结论,发展空间观念和推理能力.

2.注重创设丰富的现实情境,体会勾股定理及其逆定理的广泛应用.

勾股定理及其逆定理在现实世界中有着广泛的应用,教师应充分利用教材中的素材,让学生体会这种应用,如利用勾股定理求出一些立体图形表面最短路程,进行各种距离的测量,利用结绳的方法得到直角等.教师还可以创设其他现实情境或鼓励学生自己寻找有关问题,进一步展现勾股定理及其逆定理在解决问题中的作用.

3.介绍有关勾股定理的历史,体现勾股定理的文化价值.

勾股定理的发现、验证及应用的过程中蕴含着丰富的文化价值,很多古文明都独立地发现了勾股定理,中国也是最早认识勾股定理的国家之一,古希腊在勾股定理的应用中发现了无理数,进而引发了数学史上第一次关于数学基础的危机,有关勾股定理的历史材料十分丰富,教学中教师应鼓励学生阅读教科书中的相关资料,还可以再呈现一些历史资料,以拓宽学生的视野,有条件的话,还可以引导学生从有关书籍、网络上收集并了解更多的历史资料,体会勾股定理的文化价值.

4.注意数形结合、化归等数学思想方法的渗透.

勾股定理的探索与验证活动过程蕴含着丰富的数学思想,如数形结合思想、化归思想等.教学中,教师应注意渗透并揭示这些数学思想方法.例如,教师应鼓励学生由代数表示联想到有关几何图形,由几何图形联想到有关代数表示,从而渗透数形结合思想,认识数学的内在联系.

1　探索勾股定理

2课时

2　一定是直角三角形吗

1课时

3　勾股定理的应用

1课时

回顾与思考

1课时

1　探索勾股定理

1.知道勾股定理的由来,初步理解割补拼接的面积证法.

2.掌握勾股定理,通过动手操作利用等积法理解勾股定理的证明过程.

在探索勾股定理的过程中,让学生经历“观察——猜想——归纳——验证”的数学思想,并体会数形结合以及由特殊到一般的思想方法,培养学生的观察能力、抽象概括能力、创造想象能力以及科学探究问题的能力.

1.通过观察、猜想、拼图、证明等操作,使学生深刻感受到数学知识的发生、发展过程.

2.介绍“赵爽弦图”,让学生感受到中国古代在勾股定理研究方面所取得的伟大成就,激发学生的数学激情及爱国情感.

【重点】　掌握勾股定理,并运用勾股定理解决实际问题.

【难点】　理解勾股定理及其逆定理的关系.

第

课时

1.经历用测量法和数格子的方法探索勾股定理的过程,发展合情推理能力,体会数形结合的思想.

2.会解决已知直角三角形的两边求另一边的问题.

1.经历“测量—猜想—归纳—验证”等一系列过程,体会数学定理发现的过程.

2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力.

　　3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.

通过让学生参加探索与创造,获得参加数学活动成功的经验.

【重点】　勾股定理的探索及应用.

【难点】　勾股定理的探索过程.

【教师准备】　分发给学生打印的方格纸.

【学生准备】　有刻度的直尺.

导入一:

展示教材P2开头的情境.如图所示,从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索?

事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.

[设计意图]　创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.

导入二:

如图所示,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?

【师生活动】　在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?

为什么?

在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧!

　　[过渡语]　古代人已经认识到直角三角形的三条边的长度之间存在着特殊的平方关系,究竟存在怎样的关系呢?

大家一起来探究下吧.

一、用测量的方法探索勾股定理

思路一

【学生活动】　

1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3cm和4cm,测量一下斜边长是多少.

2.画一个直角边长分别是6cm和8cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.

3.画一个直角边长分别是5cm和12cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.

【问题】　你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?

[设计意图]　帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探索欲望.

思路二

任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.

直角三角形

直角边长

直角边长

斜边长

1

2

3

　　【师生活动】

师:

观察表格,有什么发现?

生1:

a2+b2=c2.

生2:

两直角边的平方和很接近斜边的平方.

师:

很精确,他用了很接近这个词,非常棒!

有哪些数据得到了a2+b2=c2?

生:

3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……

师:

哪些数据没得到a2+b2=c2?

生:

2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……

师:

怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?

二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探索勾股定理

　　[过渡语]　刚才的探究活动,我们只是通过测量和计算发现了直角三角形三条边之间存在的特殊关系,那么我们怎样去验证呢?

已知两条直角边能不能求出斜边呢?

1.探索等腰直角三角形的情况.

思路一

展示教材P2图1-2部分图.

探索问题:

（1）这个三角形是什么样的三角形?

（2）直角三角形三边的平方分别是多少?

它们满足怎样的数量关系?

（学生通过数格子的方法可以得出SA+SB=SC）

[设计意图]　通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.

思路二

展示教材P2图1-2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?

你是如何计算的?

【师生活动】

师:

在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?

我们的猜想如何实现?

生:

用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.

师:

再准确点说呢?

生:

是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.

师:

请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.

（学生交流面积C的求法,教师巡视点评）

生:

A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.

师:

你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?

生1:

我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.

生2:

把正方形对折,得到两个三角形.（学生板演,并列式计算）

生3:

分成四个全等的直角三角形.（学生板演,口述面积求法）

师:

方法不错,你们很善于动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?

生:

在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.（学生板演,口述面积求法）

师:

很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?

生1:

SA+SB=SC.

生2:

a2+b2=c2.

师:

我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?

2.探索边长为3,4,5的直角三角形的情况.

展示教材P2图1-3部分图.

对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?

你是如何计算的?

【问题】　

（1）正方形A的面积是多少个方格?

正方形B的面积是多少个方格?

（2）怎样求出正方形C的面积是多少个方格?

（3）三个正方形的面积之间有什么关系?

同桌交流、小组讨论,共同探讨如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.

【提示】　在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.

【拓展】　如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?

说明你的理由.

学生思考、交流,教师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.

【学生总结】　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.

[思考]　

（1）运用此定理的前提条件是什么?

（2）公式a2+b2=c2有哪些变形公式?

（3）由

（2）知直角三角形中,只要知道　　　　条边,就可以利用　　　　求出　　　　. 

[设计意图]　让学生经历“独立思考——小组讨论——合作交流”的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.

[知识拓展]　1.由勾股定理的基本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=（c+b）（c-b）;b2=c2-a2=（c+a）（c-a）.

2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,若c为最大边长,则有a2+b2c2.

1.勾股定理的由来.

2.勾股定理的探索方法:

测量法和数格子法.

3.勾股定理:

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.

1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是（　　）

A.20　　　B.10　　　C.9.6　　　D.8

解析:

BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.故选A.

2.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是（　　）

A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7

解析:

利用勾股定理求出斜边的长为10.故选B.

3.（2015·温州模拟）如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=　　　　. 

解析:

根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.

4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于　　　　. 

解析:

根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=πAB2=12.5π.故填12.5π.

第1课时

1.概念:

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2.表示法:

如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.

一、教材作业

【必做题】

教材第3页随堂练习第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题1.1第2题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=　　　　. 

2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为　　　　,面积为　　　　. 

3.（2014·凉山中考）已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为　　　　. 

4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是　　　　. 

【能力提升】

5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是（　　）

A.a

C.c

6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是　　　　. 

7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为　　　　. 

8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是　　　　. 

9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?

10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?

为什么?

11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.

【拓展探究】

12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=　　　　. 

13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是　　　　. 

【答案与解析】

1.8（解析:

AC2=BC2-AB2=64.）

2.30　30（解析:

由题意得此直角三角形的斜边长为13.）

3.5或

4.12米

5.D（解析:

两个正数比较大小,可以按照下面的方法进行:

如果a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2

6.5∶8（解析:

可以设每个小正方形的边长为1,则正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.）

7.64cm2（解析:

设阴影部分的边长为x,则它的面积为x2=172-152=64（cm2）.）

8.7（解析:

根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.）

9.解:

根据题意可以先画出符合题意的图形.如图所示,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行的距离为×3=540（千米）.答:

飞机每小时飞行540千米.

10.解:

连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.

11.解:

在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.

12.2（解析:

∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.）

13.15（解析:

解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.）

从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探索活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.

在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.

在引导学生进行探索的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进行尝试.比如在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.

在利用教材给出的示例进行勾股定理结论探索的时候,一定要立足于“面积相等”这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探索活动的方向.

随堂练习（教材第3页）

1.解:

字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.

2.解:

不同意他的想法,因为29in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29in,由屏幕的长为58cm,宽为46cm,可知屏幕的对角线长的平方=,所以对角线长≈29in.

习题1.1（教材第4页）

1.解:

①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.

2.解:

172-152=64,所以另一条直角边长为8cm.面积为×8×15=60（cm2）.

3.解:

本题具有一定的开放性,现给出4种方案:

如图所示,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d,⑩的面积为c,则

（1）a+b+c+d=g,

（2）a+b+f=g,（3）e+c+d=g,（4）e+f=g.

4.解:

过C点作CD⊥AB于D,因为CA=CB=5cm,所以AD=BD=AB=3cm.在RtΔADC中,CD2=AC2-AD2,所以CD=4cm,所以SΔABC=AB·CD=×6×4=12（cm2）.

　（2014·淮安中考）如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为（　　）

A.5　　　B.6　　　C.7　　　D.25

〔解析〕　本题考查勾股定理的知识,解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如图所示,利用勾股定理求解AB的长度即可.由图可知AC=4,BC=3,则由勾股定理得AB=5.故选A.

　如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为　　　　. 

〔解析〕　∵∠ACB+∠ECD=90°,∠DEC+∠ECD=90°,∴∠ACB=∠DEC.∵∠ABC=∠CDE,AC=CE,∴ΔABC≌ΔCDE,∴BC=DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.

第

课时

1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.

2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.

通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.

培养学生大胆探索,不怕失败的精神.

【重点】　经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.

【难点】　用拼图法验证勾股定理.

【教师准备】　教材图1-4,1-5,1-6,1-7的图片.

【学生准备】　4个全等的直角三角形纸片.

导入一:

【提问】　直角三角形的三边有怎样的关系?

在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?

请跟我一起去探索吧!

导入二:

上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?

学生思考（测量、数格子）.

　　[过渡语]　一样的科学结论,可能会有很多的证明方式,人们对勾股定理的验证,就给出了多种的证明方式,我们也一起来尝试下吧.

一、勾股定理的验证

思路一

【师生活动】

师:

投影教材P4图1-4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?

你是如何做的?

与同伴进行交流.

生:

割补法进行验证.

师:

出示教材P5图1-5和图1-6,想一想:

小明是怎样对大正方形进行割补的?

生:

讨论交流.

师总结:

图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1-6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1-5采用的是“补”的方法,而图1-6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.

（1）动笔操作,独立完成.

师:

图1-5中正方形ABCD的面积是多少?

你们有哪些方法求?

与同伴进行交流.

（2）分组讨论面积的不同表示方法.

生:

得出（a+b）2,4×ab+c2两种方法.

（3）板书学生讨论的结果.

【提问】　你能利用图1-5验证勾股定理吗?

生:

根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.

师:

化简之后能得到勾股定理吗?

生:

得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.

师:

你能用图1-6也证明一下勾股定理吗?

独立完成.

师:

（强调）割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.

思路二

教师出示教材图1-4及“做一做”,让学生观察图1-5和图1-6.

【提问】　小明是怎样拼的?

你来试一试.

（学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来）

【思考】　“做一做”的三个问题.

教师讲评验证勾股定理的方法.

二、勾股定理的简单应用

思路一

出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.

【问题】　

（1）图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?

（2）要想求敌方汽车的速度,应先求什么?

你能利用勾股定理完成这道题吗?

（学生独立完成,教师指名板演）

出示教材P8图1-8.

【提问】　判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.

（学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困