广东高考压轴卷理科数学.docx

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广东高考压轴卷理科数学

2015年广东高考压轴卷理科数学

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，集合，，则＝

A．B．C．D．

2．设为虚数单位，复数+2，则的共轭复数为

A．B．C．D．

3．已知向量a=（1,-1）则下列向量中与向量a平行且同向的是

A．（2,-2）B．（-2,2）C.（-1,2）D．（2,-1）　　

4．已知实数满足不等式组若z=x-y，则z的最大值为

A．3B．4C．5D．6

5．抛物线上到焦点的距离等于10的点的坐标为

A．（-8,8）B．（8,8）

C．（-8,-8）或（8,-8）D．（-8,8）或（8,8）

6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：

度）的频率分布直方图，记月用电量在的用户数为A1，用电量在的用户数为A2，……，以此类推，用电量在的用户数为A6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为

A．820B．720C．620D．520

7．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积

不可能等于

A．2B．2.5C．D．

8．若，

被10除得的余数为

A．3B．1C．9D．7

二、填空题：

本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式＞的解集是.

10．，在处的切线与垂直，则的值是.

11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是.

12．在,内角所对的边长分别为且,则________．

13．在正项等比数列｛｝中，则的最大值为.

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线与圆为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为.

15．（几何证明选讲选做题）如图，圆中AB=4为直径，，直线与圆相切于点，于点D，若，，则=______．

三、解答题：

本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知

（1）求的值．

（2）若为锐角，，求的值．

17．（本小题满分12分）

测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：

克），重量分组区间为，，，，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3．

（1）求的值；

（2）若重量在，中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在中需取出几尾？

（3）从大量马口鱼中机抽取尾，其中重量在内的尾数为，求的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图4,已知四棱锥，底面是正方形，面，

点是的中点，点是的中点,连接,.

（1）若PA=AB,求证：

AN平面PBC

（2）若,，求二面角的余弦值.

19.（本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列的前n项和为，，-4n-1,．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：

，有<．

20．（本小题满分14分）

若在平面直角坐标系中，已知动点M和两个定点，,且

求动点M轨迹的方程；

设为坐标原点，若点在轨迹上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由．

21.（本小题满分14分）

已知函数.

（1）若，判断的单调性．

（2）若在上为增函数,求实数的取值范围;

（3）当时,方程有实根,求实数的最大值.

2015广东省高考压轴卷

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1.【答案】C

解析由，则=

2.【答案】C

解析+2=+2=2+所以z的共轭复数是

3.【答案】A

（解析2,-2）=2（1，-1）所以选A

4.【答案】A

解析作出不等式组所对应的可行域

变形目标函数y=x-z

平移直线y=x-z可知，当直线经过点（3，0）时，z取最大值，

代值计算可得z=x-y的最大值为3

5.【答案】D

解析可以化为x2=8y,的准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8）

6.【答案】A.

解析由图2知，输出的，由图1知=180,故s=1000-180=820，选A.

7.【答案】D

解析因为正视图最小值为他的一个侧面，最大值为对角面，所以正视图取值范围为，而不在范围内.

8.【答案】B

解析由，可知，所以

，

=，

所以余数为1．

二．填空题

9.【答案】

解析原不等式等价于3x-1＞x或3x-1＜-x可得答案

10.【答案】3

解析导函数为y’=2x-k又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1

所以k=3

11.【答案】

解析因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为

12.【答案】45°

解析根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,sinAcosC+cosAsinC=

Sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB=又所以A﹥B所以B=45°

13．【答案】4

解析由等比数列性质知，当时取等号．

14．【答案】或其他形式

解析y=-x与圆交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为．

15．【答案】

解析根据弦切角定理得，与相似，所以，

在直角三角形ACD中可得，=

三．解答题

16.解：

（1）=---4分

（2）

+所以，-1=

又为锐角，所以，，所以

……………12分

17．解：

（1）由题意，得，

解得.……………2分

（2），频数分别30个和18个，按分层抽样知中取3个……………4分

（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在内性成熟的概率为，则.

的取值为，……………6分

，，

，.……………10分

∴的分布列为：

--------------11分

∴.……………12分

（或者）

18.解：

（1）证明：

面，面，∴

又为正方形，又面∴面

面，∴，又PA=AB,点是的中点,∴且平面PBC∴AN平面PBC----------4分

（2）∵，面，

∴面.

在Rt△中，,，得，

以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，

建立空间直角坐标系，……………6分

则.，，

设平面的法向量为，

由，，

得

令，得，.

∴是平面的一个法向量.……………11分

又是平面的一个法向量，

∴二面角的余弦值为.……………14分

19.解：

（1）由-4n-1得4因为﹥0，，所以，所以据而可得--------2分．

（2）-4n-1-----

（1）

当，-----

（2）

由

（1）-

（2）得即

因为﹥0，所以

又，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，

所以=.-----------8分（或用数学归纳法）

（3）所以

<

-------------14分．

20解：

（1）由题意知：

所以，由椭圆的定义可知：

动点运动的轨迹是:

以，为焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，且短半轴长为

所以轨迹的方程为-----4分

（2）直线与圆相切．

证明如下：

设点，，显然其中,

因为，，所以，即，所以

1直线的斜率不存在时，即时，，代入椭圆方程可得：

，解得：

，

此时直线的方程为或，显然与圆相切.

②当直线的斜率存在，即时，直线的方程为：

，即……（9分）

此时，圆心到直线的距离

又因为，

所以

==

=，所以，直线与圆相切．

综上，直线与圆相切．……（14分）

21.解:

（1）若则

所以当时,,当﹥0得或

当0时得，所以的单调增区间为，减区间为．------3分．

（2）因为在区间为上增函数,

所以在区上恒成立

当时,在上恒成立,所以在上为增函数,故符合题意

当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,

所以在恒成立

令,其对称轴为,

因为所以,从而在上恒成立,只要即可,

因为

解得

因为,所以.

综上所述,的取值范围为----------8分

（3）若时,方程可化为.

问题转化为在上有解,

即求函数的值域

因为,令,

则,

所以当时,从而在上为增函数,

当时,从而在上为减函数,

因此.

而,故,

因此当时,取得最大值0-----14分．