专题16二次函数与几何变换综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版.docx
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专题16二次函数与几何变换综合问题挑战中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘原卷版
挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题16二次函数与几何变换综合问题
【例1】（2021•绵阳）如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x+4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B（点B在右侧），与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a．动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒
和2
个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边与坐标轴平行．
（1）求a的值及t＝1秒时点P的坐标；
（2）当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；
（3）在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点（0，0）的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R的坐标．
【例2】（2021•德州）小刚在用描点法画抛物线C1：
y＝ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
6
7
6
3
…
（1）请根据表格中的信息，写出抛物线C1的一条性质：
；
（2）求抛物线C1的解析式；
（3）将抛物线C1先向下平移3个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到新的抛物线C2；
①若直线y＝
x+b与两抛物线C1，C2共有两个公共点，求b的取值范围；
②抛物线C2的顶点为A，与x轴交点为点B，C（点B在点C左侧），点P（不与点A重合）在第二象限内，且为C2上任意一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，直线AP交y轴于点Q，连接AB，DQ．求证：
AB∥DQ．
【例3】（2021•兰州）如图1，二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）图象交坐标轴于点A，B（0，﹣2），点P为x轴上一动点．
（1）求二次函数y＝a（x+3）（x﹣4）的表达式；
（2）过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC．当OP＝1时，求△ACQ的面积；
（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD．当点D在抛物线上时，求点D的坐标．
【例4】（2021•天津二模）已知抛物线C：
y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D．
（Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标；
（Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；
（Ⅲ）点E（﹣2，n）在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【例5】（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y
x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1
S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在
（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2
时，请直接写出点G的坐标为 ．
1．（2021•铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝3x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点B，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点B，C，点D是抛物线在第一象限部分上一个动点，连接AD，交BC于点E，连接BD，CD，S△BDE＝mS△ABE（m是常数）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当点D恰好是抛物线的顶点时，求点E的坐标，并直接写出此时m的值；
（3）当m最大时，将线段BD绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°），旋转后点D的对应点为点F，连接AF，如果AF⊥BD，请直接写出cosα的值．
2．（2021•皇姑区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴于点N．
（1）求抛物线表达式；
（2）当△ABQ的面积等于7时，设点Q的横坐标为m，求m的值；
（3）在
（2）的条件下，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，四边形ANEM是平行四边形；
①直接写出点E的坐标；
②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，直接写出BP1+
OH1的最小值．
3．（2021•大东区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（﹣4，0），C（2，0），与y轴交于点A，在抛物线上有一动点P，连接AP，BP，AB，CP．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若P点在第二象限的抛物线上，当△ABP的面积是
时，求△BCP的面积；
（3）点D是线段AC上的一点，过D作DE⊥BC于点E，点F在线段AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连接DF和EF，线段EF的长度是否有最小值，如果有请直接写出这个最小值，若没有最小值请说明理由．
4．（2021•山西模拟）综合与探究．
如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于A，C两点，点A（﹣1，0），C（3，0），与y轴交于点B，抛物线的顶点为D，直线l经过B，C两点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若P为抛物线上一点，横坐标为m，过点P作PM⊥y轴于点M，交线段BC于点N，当N是线段BC的黄金分割点时，求点P到x轴的距离；
（3）若将抛物线向上平移
个单位长度，点D的对应点为D′，坐标轴上是否存在点Q，使∠BD′Q＝30°？
若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（2021•二道区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x﹣1（a≠0），点A（﹣1，m）、B（2，n）均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含α的代数式表示m、n的值．
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当a＝﹣1时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线y＝a的距离的2倍，直接写出a的取值范围．
6．（2021•前郭县三模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点C是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点C作CP⊥y轴于点P，求CP+OP的最大值；
（3）设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为（﹣2，﹣16），问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°？
得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？
若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2021•南山区校级二模）如图，直线y＝﹣
x+
与x轴，y轴分别相交于A，B两点，以A为顶点的抛物线经过B点，点P是线段AB上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，将直线AB绕P点顺时针旋转30°，所得直线与x轴，y轴分别相交于C，D两点，若PA﹣BD＝
，求P点的坐标；
（3）如图2，将直线AB向下平移，所得直线与x轴，y轴分别相交于M，N两点，且ON＝OB，将直线AB绕P点顺时针旋转90°，所得直线与抛物线和直线MN分别相交于E，F两点．试问当EF最小时，在直线MN上是否存在Q，使得∠EQN＝∠BAO？
若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
8．（2021•宝安区模拟）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）如图2，连接BC，过点A作BC的平行线交抛物线于点H，M为线段BC上一动点，连接AM交抛物线于点P，连接PH交BC于点N，连接AN，△PAN的面积S是否有最大值，若有，求出S最大值，若无，请说明理由．
（3）如图3，以C为直角顶点，OC为直角边边向右作等腰直角△COD，将△COD沿射线OD平移得到△FEG，连接BE、BF，△BEF的周长l是否有最小值，若有，求△BEF的周长l的最小值，若无，请说明理由．
9．（2021•武汉模拟）抛物线C1：
y＝a（x﹣b）2+2﹣b（b＞0）过点H（2，0），抛物线的顶点为点D．
（1）若a＝1，求抛物线的顶点D的坐标；
（2）若0＜b＜2，点K在y轴上，若△HDK为等腰三角形，且满足条件的K点有且仅有两个，直接写出b的值；
（3）若a＝
，将抛物线C1平移使得其顶点和原点重合，得到新抛物线C2，过点A（﹣2，3）的直线交抛物线C2于M、Q两点，过点B（﹣6，3）的直线交抛物线C2于M、P两点．求证：
直线PQ过定点，并求出定点坐标．
10．（2021•连云港模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴的交点为A，与x轴的交点为B、C，且点C（﹣1，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点P的坐标；
（3）如图2，点D是点A关于抛物线对称轴的对称点，动点P在直线AB上方的抛物线上移动．现将△ADP绕点A顺时针旋转45°得到△AD′P′，若直线AP′的延长线交x轴于点E（1，0），求出此时点P的坐标．
11．（2021•深圳模拟）如图1，抛物线C1：
y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，且顶点为C，直线y＝kx+2经过A，C两点．
（1）求直线AC的表达式与抛物线C1的表达式；
（2）如图2，将抛物线C1沿射线AC方向平移一定距离后，得到抛物线为C2，其顶点为D，抛物线C2与直线y＝kx+2的另一交点为E，与x轴交于M，N两点（M点在N点右边），若S△MDE＝
S△MAE，求点D的坐标；
（3）如图3，若抛物线C1向上平移4个单位得到抛物线C3，正方形GHST的顶点G，H在x轴上，顶点S，T在x轴上方的抛物线C3上，P（m，0）是射线GH上一动点，则正方形GHST的边长为 ，当m＝ 时，
有最小值 ．
12．（2021•邳州市模拟）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线对称轴上一动点，当△BCD是直角三角形时，请直接写出点D的坐标；
（3）若点E（m，n）为抛物线上的一个动点，将点E绕原点O旋转180°得到点F．
①当点F落在该抛物线上时，求m的值；
②当点F落在第二象限内且AF取得最小值时，求m的值．
13．（2021•盐都区二模）如图，坐标系中，矩形ABCD的边BC在y轴上，B（0，8），BC＝10，CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点D、C′和原点O．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上，并简述理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．（2021•皇姑区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣
x+
与抛物线y＝ax2+bx﹣
交于点A（2，n）和点B（﹣2，k），与y轴交于点E，抛物线交y轴于点C，点P是第一象限直线AB上方抛物线上的一点，连接PA，PE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当△APE的面积等于
时，设点P的横坐标为m，求m的值；
（3）将线段EC绕点E顺时针旋转得到线段EF，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接AF交线段EC于点G，∠FEC的平分线交AF于点H，当△EFH的周长最大时，直接写出点H的坐标．
15．（2021•宝安区模拟）如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x＝
与x轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在对称轴上是否存在一点M，使得∠AMD＝∠ACB．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，过点B作直线BC的垂线交y轴交于点E．点F是直线BE上的动点，连接CF．过点F作CF的垂线段交y轴于点G．作△CFG关于直线BE的对称图形△C′FG′．直线C′G′与直线CF交于点M，直线CG与直线C′F交于点N，连接MN．当S△MEN＝2时，求线段BF的值．
16．（2021•门头沟区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣bx+3的对称轴为直线x＝2．
（1）求b的值；
（2）在y轴上有一动点P（0，n），过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2．
①当x2﹣x1＝3时，结合函数图象，求出n的值；
②把直线PB上方的函数图象，沿直线PB向下翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W，新图象W在0≤x≤5时，满足﹣4≤y≤4，求n的取值范围．
17．（2021•阜新）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），
B（3，0），过点B的直线y＝
x﹣2交抛物线于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？
若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2021•益阳）已知函数y＝
的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上．
（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2＜x1．
①当y2＝y1＝4时，求x1，x2的值；
②若|x2|＝|x1|，设w＝y1﹣y2，求w的最小值；
（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P′，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP′的对称点为Q′，直线AQ′是否与y轴交于某定点？
若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
19．（2021•玉林）已知抛物线：
y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＞0）与x轴交点为A，B（A在B的左侧），顶点为D．
（1）求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；
（2）若直线y＝﹣
x与抛物线交于点M，N，且M，N关于原点对称，求抛物线的解析式；
（3）如图，将
（2）中的抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D′在直线l：
y＝
上，设直线l与y轴的交点为O′，原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q，若O′P＝O′Q，求点P，Q的坐标．
20．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝
x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1＝
S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在
（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝2
时，请直接写出点G的坐标为 ．
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