八年级数学下册第一章小结与复习.docx

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八年级数学下册第一章小结与复习

第一章小结与复习

知识结构框图

一、全等三角形的判定及性质

1、性质：

全等三角形对应相等、对应相等；

2、判定：

分别相等的两个三角形全等（SSS）；

分别相等的两个三角形全等（ASA）；

分别相等的两个三角形全等（SSS）；

相等的两个三角形全等（AAS）；

相等的两个直角三角形全等（HL）；

二、等腰三角形

1、性质：

等腰三角形的两个底角相等（即------------------）。

2、判定：

有两个角相等的三角形是等腰三角形（即----------------------）

3、推论：

等腰三角形、、互相重合（即“”）

4、等边三角形的性质及判定定理

性质定理：

等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴。

判定定理：

（1）有一个角是60°的--------三角形是等边三角形；

（2）三个角都----------的三角形是等边三角形。

三、直角三角形

1、勾股定理及其逆定理

定理：

直角三角形的两条直角边的等于的平方。

逆定理：

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是

2、含30°的直角三角形的边的性质

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么等于的一半。

3、直角三角形斜边的中线等于的一半。

四、线段的垂直平分线

性质：

垂直平分线上的点到的距离相等；

判定：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的。

三角形三边的垂直平分线的性质：

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

五、角平分线

性质：

角平分线上的点到的距离相等；

判定：

在一个角内部，且到角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形角平分线的性质定理：

性质：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

这个点叫内心。

六、方法总结：

（1）证明线段相等的方法：

1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：

线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

（2）证明两角相等的方法：

1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆定理。

（3）证明垂直的方法：

1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。

（4）等腰三角形的证明：

主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。

一．选择题（共2小题）

1．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　）

A．7个B．8个C．9个D．10个

2．△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（　　）

A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形

二．填空题（共4小题）

3.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为．

4.如图1，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为（　　）

A．35°　　　　　B．40°　　　　　C．45°　　　　　D．50°

（图1）

　（图2）

5.如图2，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝．

6．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个三角形的底角为　　．

7．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点D，过D点的

直线EF∥BC且交AB于E、交AC于F，已知AB=7cm，AC=5cm，BC=6cm，

则△AEF的周长为　　cm．

8．在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的钝角为130°，则∠B等于　　．

9．已知：

如图，△ABC中，AB=AC=8cm，BC=6cm，D、E、F

分别是三边上的点，且DE=DB，DF=DC，则BE+CF=　　cm．

三．解答题（共1小题）

10.如图，等边△ABC中，AE＝CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：

BP＝2PQ.

11．

（1）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

一．选择题（共4小题）

1．下列条件不能证明两个直角三角形全等的是（　　）

A．斜边和一直角边对应相等B．一直角边和一角对应相等

C．两条直角边对应相等D．斜边和一锐角对应相等

2．一个三角形三边的长是6，8，10，同时平分这个三角形周长和面积的直线有（　　）条．

A．1B．2C．3D．4

3．在△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（　　）

A．6B．7C．5D．4

4．梯形的两底角之和为90°，上底长为5，下底长为11，则连接两底中点的线段长是（　　）

A．3B．4C．5D．6

△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为（　　）

A．8　　　　B．4　　　　C．6　　　　D．无法计算

6.如图，已知∠C＝∠FBD＝90°，FD⊥AB，垂足为点O，若使△ACB≌△DBF，还需添加的条件是

7.使两个直角三角形全等的条件是（　　）

A．一个锐角对应相等　B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等　

三．填空题（共3小题）

8、填空：

（1）△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最小边BC=4cm，最长边AB=。

（2）直角三角形两直角边分别是5cm、12cm，其斜边上的高是。

（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是三角形。

（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2－bc=a（b－c），则这个三角形（按边分类）一定是________

9．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE折叠，

使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　　．

10．等腰三角形的腰长为10cm，顶角为120°，此三角形面积为　　cm2．

11．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，BC⊥AC于点C．已知AC=8，BC=3．

（1）线段AC的中点到原点的距离是　　；

（2）点B到原点的最大距离是　　．

三．解答题（共4小题）

12．如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．

13．如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE⊥AB于E，FD⊥BC于D，G是FC的中点，连接GD．求证：

GD⊥DE．

14．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．

11．如图1，在△ABC与△BDE中，∠ABC=∠BDE=90°，BC=DE，AB=BD，M、M′分别为AB、BD中点．

（1）探索CM与EM′有怎样的数量关系请证明你的结论；

（2）如图2，连接MM′并延长交CE于点K，试判断CK与EK之间的数量关系，并说明理由．

范例在△ABC中，AB的垂直平分线与AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（　）

A．50°　　　　B．40°　　　　C．40°或140°　　　　D．40°或50°

仿例1：

如图，D是线段AB、BC垂直平分线的交点，若∠ABC＝150°，则∠ADC的大小是（　　）

A．60°B．70°C．75°D．80°

仿例1题图仿例2题图仿例3题图

仿例2：

如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为．

仿例3：

如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（　　）

A．∠BAC＝70°B．∠DOC＝90°C．∠BDC＝35°D．∠DAC＝55°

中垂线提升

一．选择题（共4小题）

1．如图，线段AB、AC的中垂线交于点D，且∠A=130°，

则∠BDC的度数为（　　）

A．90°B．100°C．120°D．130°

第二题图第三题图第四题图

2．如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

3．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于

AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）

A．65°B．60°C．55°D．45°

4．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的垂直平分线，射线m平分∠ABC，l与m相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP等于（　　）

A．24°B．30°C．32°D．42°

二．填空题（共2小题）

5．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　　．

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6．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=　　．

三．解答题（共2小题）7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：

AB垂直平分DF．

8．如图，点B，E关于y轴对称，且E在AC的垂直平分线上，一直点C（5，0）．

（1）如果∠BAE=40°，那么∠C=　　°；

（2）如果△ABC的周长为13cm，AC=6cm，那么△ABE的周长=　　cm；

（3）AB+BO=　　．

　角平分线提升

一．选择题（共1小题）

1．如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于E，

D是AE延长线上一点，且∠BDC=120°．下列结论：

①∠BEC=120°；

②DB=DE；③∠BDE=2∠BCE．其中正确结论的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

二．填空题（共2小题）

2．如图，△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，OF平分∠BOC交BC于F，

（1）∠BOC=120°；

（2）连AO，则AO平分∠BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，（4）OD=OE，（5）BD+CE=BC．其中正确的结论是　　（填序号）．

3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是　　．

三．解答题（共2小题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，

求证：

FK∥AB．

5．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．