高三数学章节知识点调研复习题12.docx
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高三数学章节知识点调研复习题12
第11章第4节
一、选择题
1．对于事件A和事件B，通过计算得到χ2的观测值χ2≈4.514，下列说法正确的是（ ）
A．有99%的把握说事件A和事件B有关
B．有95%的把握说事件A和事件B有关
C．有99%的把握说事件A和事件B无关
D．有95%的把握说事件A和事件B无关
[答案] B
[解析] 由独立性检验知有95%的把握说事件A与B有关．
2．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得
i＝52，
i＝228，
i2＝478，
iyi＝1849，则y与x的回归方程是（ ）
A.
＝11.47＋2.62x
B.
＝－11.47＋2.62x
C.
＝2.62＋11.47x
D.
＝11.47－2.62x
[答案] A
3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
总计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（ ）
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2
B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5
D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4
[答案] D
[解析] 可以由公式χ2＝
分别计算χ2的观测值，用χ2的大小来决定X与Y有关系的可能性的大小．
4．某卫生机构对366人进行健康体检，阳性家族史者糖尿病发病的有16人，不发病的有93人；阴性家族史者糖尿病发病的有17人，不发病的有240人，有______的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．（ ）
A．99.9% B．99.5%
C．99%D．97.5%
[答案] D
[解析] 可以先作出如下列联表（单位：
人）：
糖尿病患者与遗传列联表
糖尿病发病
糖尿病不发病
总计
阳性家族史
16
93
109
阴性家族史
17
240
257
总计
33
333
366
根据列联表中的数据，得到χ2的观测值为
χ2＝
≈6.067>5.024.
故我们有97.5%的把握认为糖尿病患者与遗传有关系．
5．下列关于χ2的说法中正确的是（ ）
A．χ2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关
B．χ2的值越大，两个事件的相关性就越大
C．χ2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合
D．χ2的观测值的计算公式为χ2＝
[答案] C
[解析] χ2值是用来判断两个分类变量是否有关系的一个随机变量，并不是适应于任何独立问题的相关性检验．
6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是（ ）
A．若χ2的观测值为k＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病
C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误
D．以上三种说法都不正确
[答案] C
[解析] 通过χ2的观测值对两个变量之间的关系作出的判断是一种概率性的描述，是一种统计上的数据，不能把这种推断结果具体到某一个个体上．
7．为调查中学生近视情况，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力（ ）
A．期望与方差B．排列与组合
C．独立性检验D．概率
[答案] C
8．（2018·南通模拟）对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：
（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），则下列说法中不正确的是（ ）
A．由样本数据得到的回归方程
＝bx＋a必过样本中心（
，
）
B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好
D．若变量y和x之间的相关系数为r＝－0.9362，则变量y和x之间具有线性相关关系
[答案] C
[解析] C中应为R2越大拟合效果越好．
二、填空题
9．若两个分类变量x与y的列联表为：
y1
y2
x1
5
15
x2
40
10
则变量y与x有关系的可能性应为________．
[答案] 0.999
[解析] χ2＝
≈18.82>10.828，
故有99.9%的把握认为x与y有关系．
10．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：
冷漠
不冷漠
总计
多看电视
68
42
110
少看电视
20
38
58
总计
88
80
168
则大约有________的把握认为多看电视与人变冷漠有关系．
[答案] 99.9%
[解析] 首先算得χ2的值，然后查表可得概率．
11．已知两个变量x和y线性相关，5次试验的观测数据如下：
x
100
120
140
160
180
y
45
54
62
75
92
那么变量y关于x的回归方程是________．
[答案]
＝0.575x－14.9
[解析] 由线性回归参数公式可求出b＝0.575，a＝－14.9，∴回归方程为
＝0.575x－14.9.
三、解答题
12．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.
出生时间
性别
晚上
白天
合计
男婴
24
31
55
女婴
8
26
34
合计
32
57
89
[分析] 利用表中的数据通过公式计算出χ2统计量，可以用它的值的大小来推断独立性是否成立．
[解析] 由公式χ2＝
≈3.68892>2.706，有90%把握认为有关系．
13．考察小麦种子经过灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
种子灭菌
种子未灭菌
合计
黑穗病
26
184
210
无黑穗病
50
200
250
合计
76
384
460
试按照原试验目的作统计分析推断．
[解析] 假设种子灭菌与黑穗病没有关系，则有
a＝26，b＝184，c＝50，d＝200，a＋b＝210，c＋d＝250，
a＋c＝76，b＋d＝384，n＝460，
代入公式求得
χ2＝
＝
≈4.804.
因为χ2≈4.804>3.841，因此我们有95%的把握认为种子灭菌与小黑穗病有关系．
14．在调查的180名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲是否与性别有关，你所得到的结论在什么范围内有效？
[分析] 本题应首先作出调查数据的2×2列联表，并进行分析，最后利用独立检验作出判断．
[解析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表：
色盲
不色盲
合计
男
38
442
480
女
6
514
520
合计
44
956
1000
根据2×2列联表所给的数据可以有
χ2＝
≈27.1.
由χ2＝27.1>6.635，所以我们有99%的把握认为性别与患色盲有关系．这个结论只对所调查的480名男性和520名女性有效．
[点评] 在利用χ2统计量进行独立性检验时，应该熟练掌握计算公式，注意准确地代入数据和计算，牢记临界值，将计算结果与临界值进行比较，得出相应的结论，并且结论都是概率性的描述．
15．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
若由资料知，y对x呈线性关系，试求：
（1）回归直线方程
＝bx＋a的回归系数；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？
[解析]
（1）列表：
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
xiyi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
＝4，
＝5，
i2＝90，
iyi＝112.3.
其中，b＝
＝
＝
＝1.23，
a＝
－b
＝5－1.23×4＝0.08，
（2）回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.
当x＝10时，
＝1.23×10＋0.08＝12.38（万元），
即估计用10年时，维修费约为12.38万元．
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一、关于抽样方法的问题
抽样方法的本质就是研究如何从总体中抽取样本，使所抽取的样本能够更充分地反映总体的情况．我们学习了三种抽样方法，即简单随机抽样、系统抽样、分层抽样．
[例1] 某中学有教职工300人，其中教学人员220人，管理人员50人，后勤服务人员30人，为了了解职工的收入情况，从中抽取一个容量为30的样本，分别按下述三种方法抽取：
①将300人从1至300编上号，再用白纸做成1～300号的签300个放入箱内拌匀，然后从中抽30个签，与签号相同的30个人被选出．
②将300人从1至300编上号，按编号顺序分成30组，每组10人，1～10号，11～20号，…，先从第一组中用抽签方式抽出k号，其余组（k＋10n）号（n＝1,2，…，29）亦被抽到，如此抽取30人．
③按30300＝110的比例，从教学人员中抽取22人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需，他们合在一起恰好30人．
问：
（1）上述三种方法中，总体、个体、样本分别是什么？
（2）上述三种方法中各自采取何种抽取样本的方法？
[解析]
（1）这三种抽取方式中，其总体都是该中学300名职工的收入，其个体都是该中学各个职工的收入，其样本为所抽取的30名职工的收入．
（2）第一种为简单随机抽样，第二种为系统抽样，第三种为分层抽样．
二、关于用样本估计总体的问题
用样本估计总体，主要包括用样本的频率分布估计总体的分布，用样本的数字特征去估计总体的数字特征两部分内容，这两部分是从不同角度对收集到的样本数据进行加工、整理，并分析、判断样本数据的分布状况和数字特征，进而对总体进行估计．
[例2] 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：
甲：
8,6,7,8,6,5,9,10,4,7
乙：
6,7,7,8,6,7,8,7,9,5
（1）分别计算以上两组数据的平均数；
（2）分别求出两组数据的方差；
（3）根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
[解析]
（1）
甲＝
（8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7）＝7
乙＝
（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5）＝7
（2）由方差公式：
s2＝
[（x1－
）2＋（x2－
）2＋…＋（xn－
）2]得s甲2＝3.0，s乙2＝1.2.
（3）
甲＝
乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当．
又因为s甲2>s乙2，说明甲战士射击情况波动大．因此乙战士比甲战士射击情况稳定．
三、关于独立性检验的问题
独立性检验的步骤是：
①考察需抽样调查的背景问题，确定所涉及的变量是否为两个分类变量；②根据样本数据制作2×2列联表；③通过图形直观判断两个分类变量是否相关；④计算统计量χ2，并查表分析．
[例3] 为了调查某生产线上质量监督员甲对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：
甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；甲不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试分别用列联表、独立性检验的方法分析监督员甲对产品质量好坏有无影响．能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关？
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①甲在生产现场和不在生产现场时，产品中的合格品和次品数量；
②共调查统计了1500件产品．
解答本题的关键是准确把握数据并作出2×2列联表，然后具体分析．
[解析]
（1）2×2列联表如下：
合格品数
次品数
合计
甲在生产现场
982
8
990
甲不在生产现场
493
17
510
合计
1475
25
1500
由列联表可得|ad－bc|＝|982×17－493×8|＝12750，相差较大，可在某种程度上认为“质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关系”．
（2）由2×2列联表中数据，计算得到χ2的观测值为χ2＝
≈13.097＞10.828，因此在犯错误不超过0.001的前提下，认为质量监督员甲是否在生产现场与产品质量有关．
四、关于回归分析的问题
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的常用方法，采用回归分析思想解决实际问题的基本步骤如下：
①明确对象，即在两个变量中，确定哪个变量是x，哪个变量是y；②画散点图；③选择模型，即通过观察、分析散点图确定回归方程的类型，如果观察到数据呈线性相关，则选用线性回归方程y＝bx＋a；④估算方程，即按一定的规则估计回归方程的参数，如最小二乘法原理．
[例4] 想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的身高数据有时可以用线性回归分析，下表是一位母亲给儿子作的成长记录：
年龄/周岁
3
4
5
6
7
8
9
身高/cm
90.8
97.6
104.2
110.9
115.6
122.0
128.5
年龄/周岁
10
11
12
13
14
15
16
身高/cm
134.2
140.8
147.6
154.2
160.9
167.5
173.0
（1）求出年龄和身高之间的线性回归直线方程．
（2）如果年龄相差5岁，则身高有多大差异（3～16岁之间）?
（3）如果身高相差20cm，其年龄相差多少（3～16岁之间）?
[解析]
（1）设年龄x与身高y之间的回归直线方程．
为y＝bx＋a，
由公式b＝
＝6.314，
a＝
－b
＝72，
所以y＝6.314x＋72.
（2）如果年龄相差5岁，则预报变量变化6.314×5＝31.57.
即身高相差约31.6cm.
（3）如果身高相差20cm，年龄相差
Δx＝
＝3.168≈3（岁）．
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