甘肃省届高三上学期期末考试数学文试题物理小金刚系列.docx
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甘肃省届高三上学期期末考试数学文试题物理小金刚系列
高三年级期末考试
文科数学试题
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号.）
1．已知，，则（）
A. B. C. D.
2．若复数满足，则复数的虚部为（）
A. B. C. D.
3．已知平面向量，满足，且，，则向量与夹角的正弦值为（）
A.B.C. D.
4．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）
A. B. C. D.
5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）
A.1B.2 C.3D.4
6．已知双曲线，右焦点到渐近线的距离为，到原点的距离为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
A．28＋6B．30＋6
C．56＋12D．60＋12
8．已知数列2008，2009，1，－2008，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和等于（）
A．1 B．4018 C．2010 D．0
9．已知三棱锥，在底面中，，，，，则此三棱锥的外接球的体积为（）
A． B. C. D.
10.已知函数满足：
①定义域为；②，都有；③当时，，则方程在区间内解的个数是（）
A．5B．6C．7D．8
11.已知函数（其中是实数），若对恒成立，且，则的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
12.函数在上的最大值为，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知（），为的导函数，，则。
14.若满足约束条件，则的最大值为。
15.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线相交于两点，若△为等边三角形，则＝。
16.在中，角所对的边分别为，且，当取最大值时，角的值为。
三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）已知等比数列的各项均为正数，，公比为；等差数列中，，且的前项和为，。
（Ⅰ）求与的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和。
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，点是中点，，。
（Ⅰ）求三棱锥的体积;
（Ⅱ）证明：
。
19．（本小题满分12分）某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：
年份x
2011
2012
2013
2014
2015
储蓄存款y（千亿元）
5
6
7
8
10
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5
z
0
1
2
3
5
（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；
（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？
（附：
对于线性回归方程，其中）
20．（本小题满分12分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且。
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：
。
21．（本小题满分12分）已知函数（）。
（Ⅰ）若，当时，求的单调递减区间；
（Ⅱ）若函数有唯一的零点，求实数的取值范围。
选做题：
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。
注意：
只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分
22．（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
已知外接圆劣弧上的点（不与点、重合），延长至,延长交的延长线于。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：
。
23.（本小题满分10分）选修4-4：
极坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，求直线被曲线截得的弦长。
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数的解集为。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，使得成立，求实数的取值范围。
文科数学试题参考答案
一、选择题
ＣＢＤＡＣ ＢＢＣＡＡ ＣＤ
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17．解：
设数列的公差为，
，4分
，，6分
由题意得：
，
12分.
18.证明：
（Ⅰ）1分
过作,直三棱柱中面,
面,是高=，3分
6分
（Ⅱ）取的中点E,连接
底面是正三角形,8分
矩形中，中，,
中，,∽，
10分
面,12分
19.解：
（1）
，
6分
（2），代入得到：
，即9分
（3），
预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元12分
20.解：
（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.
∵ ∴ ，解得．2分
∴ 圆的方程为．4分
（Ⅱ）把代入方程，解得或，
即点．6分
（1）当轴时，可知=0．
（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．
联立方程，消去得，．8分
设直线交椭圆于两点，则
，．
∴
若，即10分
∵，
∴．12分
21.解：
（1）定义域为，
……2分
的单调递减区间是和.……4分
（2）问题等价于有唯一的实根
显然，则关于x的方程有唯一的实根（6分）
构造函数则
由得
当时，单调递减
当单调递增
所以的极小值为（8分）
如图，作出函数的大致图像，则要使方程的唯一的实根，
只需直线与曲线有唯一的交点，则或
解得
故实数a的取值范围是（12分）
22．解析：
证明：
、、、四点共圆
．
且,
5分
由得,又,
所以与相似,
，
又, ，
根据割线定理得，
．10分
23．解：
∵曲线的参数方程为（α为参数）
∴曲线的普通方程为
曲线表示以为圆心，为半径的圆。
将代入并化简得：
即曲线c的极坐标方程为.5分
∵的直角坐标方程为
∴圆心到直线的距离为∴弦长为.10分
24．解：
因为，所以，
，或，又的解集为．
故.5分
等价于不等式，
，8分
（本处还可以用绝对值三角不等式求最值）
故，则有，即，解得或
即实数的取值范围10分
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