甘肃省届高三上学期期末考试数学文试题物理小金刚系列.docx

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甘肃省届高三上学期期末考试数学文试题物理小金刚系列

高三年级期末考试

文科数学试题

【满分150分,考试时间为120分钟】

一、选择题(5×12=60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号.)

1.已知,,则()

  A.  B.  C.  D.

2.若复数满足,则复数的虚部为()

  A.    B.      C.     D.

3.已知平面向量,满足,且,,则向量与夹角的正弦值为()

A.B.C. D.

4.甲乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()

  A.     B.     C.     D.

5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数x值的个数为()

 A.1B.2  C.3D.4

 

6.已知双曲线,右焦点到渐近线的距离为,到原点的距离为,则双曲线的离心率为()

  A.    B.    C.    D.

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()

A.28+6B.30+6

C.56+12D.60+12

 

8.已知数列2008,2009,1,-2008,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2014项之和等于()

  A.1   B.4018   C.2010   D.0

9.已知三棱锥,在底面中,,,,,则此三棱锥的外接球的体积为()

  A.  B.  C.  D.

10.已知函数满足:

①定义域为;②,都有;③当时,,则方程在区间内解的个数是()

 A.5B.6C.7D.8

11.已知函数(其中是实数),若对恒成立,且,则的单调递增区间是()

  A.   B.

  C.   D.

12.函数在上的最大值为,则实数的取值范围是()

A. B. C.   D.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知(),为的导函数,,则。

14.若满足约束条件,则的最大值为。

15.抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于两点,若△为等边三角形,则=。

16.在中,角所对的边分别为,且,当取最大值时,角的值为。

三、解答题(本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(本小题满分12分)已知等比数列的各项均为正数,,公比为;等差数列中,,且的前项和为,。

(Ⅰ)求与的通项公式;

(Ⅱ)设数列满足,求的前项和。

 

18.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱中,底面是正三角形,点是中点,,。

(Ⅰ)求三棱锥的体积;

(Ⅱ)证明:

 

19.(本小题满分12分)某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1:

年份x

2011

2012

2013

2014

2015

储蓄存款y(千亿元)

5

6

7

8

10

为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,得到下表2:

时间代号t

1

2

3

4

5

z

0

1

2

3

5

(Ⅰ)求z关于t的线性回归方程;

(Ⅱ)通过(Ⅰ)中的方程,求出y关于x的回归方程;

(Ⅲ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?

(附:

对于线性回归方程,其中)

20.(本小题满分12分)如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴相交于两点(点在点的下方),且。

(Ⅰ)求圆的方程;

(Ⅱ)过点任作一条直线与椭圆相交于两点,连接,求证:

 

21.(本小题满分12分)已知函数()。

(Ⅰ)若,当时,求的单调递减区间;

(Ⅱ)若函数有唯一的零点,求实数的取值范围。

 

选做题:

请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意:

只能做所选定的题目。

如果多做,则按所做的第一个题目计分

22.(本小题满分10分)选修4-1:

几何证明选讲

已知外接圆劣弧上的点(不与点、重合),延长至,延长交的延长线于。

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求证:

 

23.(本小题满分10分)选修4-4:

极坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程为(为参数),以直角坐标系原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;

(Ⅱ)若直线的极坐标方程为,求直线被曲线截得的弦长。

24.(本小题满分10分)选修4-5:

不等式选讲

已知函数的解集为。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若,使得成立,求实数的取值范围。

文科数学试题参考答案

一、选择题

CBDAC   BBCAA  CD

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.解:

设数列的公差为,

,4分

,,6分

由题意得:

12分.

18.证明:

(Ⅰ)1分

过作,直三棱柱中面,

面,是高=,3分

6分

(Ⅱ)取的中点E,连接

底面是正三角形,8分

矩形中,中,,

中,,∽,

10分

面,12分

19.解:

(1)

6分

(2),代入得到:

,即9分

(3),

预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达15.6千亿元12分

20.解:

(Ⅰ)设圆的半径为(),依题意,圆心坐标为.

∵ ∴ ,解得.2分

∴ 圆的方程为.4分

(Ⅱ)把代入方程,解得或,

即点.6分

(1)当轴时,可知=0.

(2)当与轴不垂直时,可设直线的方程为.

联立方程,消去得,.8分

设直线交椭圆于两点,则

,.

∴ 

若,即10分

∵,

∴.12分

21.解:

(1)定义域为,

……2分

的单调递减区间是和.……4分

(2)问题等价于有唯一的实根

显然,则关于x的方程有唯一的实根(6分)

构造函数则

由得

当时,单调递减

当单调递增

所以的极小值为(8分)

如图,作出函数的大致图像,则要使方程的唯一的实根,

只需直线与曲线有唯一的交点,则或

解得

故实数a的取值范围是(12分)

 

22.解析:

证明:

、、、四点共圆

且,

5分

由得,又,

所以与相似,

又,  ,

根据割线定理得,

.10分

23.解:

∵曲线的参数方程为(α为参数)

∴曲线的普通方程为

曲线表示以为圆心,为半径的圆。

将代入并化简得:

即曲线c的极坐标方程为.5分

∵的直角坐标方程为

∴圆心到直线的距离为∴弦长为.10分

24.解:

因为,所以,

,或,又的解集为.

故.5分

等价于不等式,

,8分

(本处还可以用绝对值三角不等式求最值)

故,则有,即,解得或

即实数的取值范围10分

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