高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习.docx

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高中数学第一章导数及其应用章末优化总结优化练习

第一章导数及其应用

章末检测

（一）

时间：

120分钟　满分：

150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．曲线y＝xex－1在点（1,1）处切线的斜率等于（　　）

A．2e　　　　　　　　　B．e

C．2D．1

解析：

由y＝xex－1得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点（1,1）处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e1－1＋1×e1－1＝2.故选C.

答案：

C

2．二次函数y＝f（x）的图象过原点且它的导函数y＝f′（x）的图象是如图所示的一条直线，y＝f（x）的图象的顶点在（　　）

A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限

C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限

解析：

设f（x）＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f（x）的图象过原点，∴c＝0，∴f′（x）＝2ax＋b，由y＝f′（x）的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.

答案：

A

3．设函数f（x）＝ax＋3，若f′

（1）＝3，则a等于（　　）

A．2B．－2

C．3D．－3

解析：

∵f′（x）＝li

＝li＝a，

∴f′

（1）＝a＝3.

答案：

C

4．若f（x）＝x2－2x－4lnx，则f（x）的单调递增区间为（　　）

A．（－1,0）B．（－1,0）∪（2，＋∞）

C．（2，＋∞）D．（0，＋∞）

解析：

f′（x）＝2x－2－＝＝，由f′（x）＞0得x＞2.

答案：

C

5．已知f（x）＝2x3－6x2＋m（m为常数）在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为（　　）

A．－37B．－29

C．－5D．－11

解析：

由f′（x）＝6x2－12x＝6x（x－2）＝0，解得x＝0或x＝2，又f（0）＝m，f

（2）＝m－8，

f（－2）＝m－40，所以f（x）max＝m＝3，f（x）min＝m－40＝3－40＝－37.

答案：

A

6．已知f（x）＝2cos2x＋1，x∈（0，π），则f（x）的单调递增区间是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

∵f（x）＝2cos2x＋1＝2＋cos2x，x∈（0，π），

∴f′（x）＝－2sin2x.

令f′（x）>0，则sin2x<0.

又x∈（0，π），∴0<2x<2π.

∴π<2x<2π，即

答案：

C

7.设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y＝（1－x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　）

A．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f

（1）

B．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（1）

C．函数f（x）有极大值f

（2）和极小值f（－2）

D．函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f

（2）

解析：

由图可知，当x<－2时，f′（x）>0；当－22时，

f′（x）>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.

答案：

D

8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是（　　）

A.B.

C.D．9

解析：

解得交点A（－3，－9），B（1，－1）．

如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积

S＝－3（－x2）dx－－3（2x－3）dx

＝－x3－（x2－3x）＝.

答案：

B

9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是（　　）

A．f（x）＝－x3B．f（x）＝－cosx

C．f（x）＝sinx－xD．f（x）＝

解析：

对于A，f′（x）＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′（x）＝sinx，当x∈（－π，0）时，f′（x）<0，当x∈（0，π）时，f′（x）>0，故f（x）＝－cosx在x＝0的左侧区间（－π，0）内单调递减，在其右侧区间（0，π）内单调递增，所以x＝0是f（x）的一个极小值点；对于C，f′（x）＝cosx－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f（x）＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.

答案：

B

10．已知函数f（x）＝asinx－bcosx在x＝时取得极值，则函数y＝f（－x）是（　　）

A．偶函数且图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且图象关于点（，0）对称

C．奇函数且图象关于点（，0）对称

D．奇函数且图象关于点（π，0）对称

解析：

∵f（x）的图象关于x＝对称，∴f（0）＝

f（），∴－b＝a，

∴f（x）＝asinx－bcosx＝asinx＋acosx＝asin（x＋），

∴f（－x）＝asin（－x＋）＝asin（π－x）＝asinx.

显然f（－x）是奇函数且关于点（π，0）对称，故选D.

答案：

D

11．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f

（1）＝2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x＋1的解集为（　　）

A．（1，＋∞）

B．（－∞，－1）

C．（－1,1）

D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

解析：

不等式f（x）＜x＋1可化为f（x）－x＜1，

设g（x）＝f（x）－x，

由题意g′（x）＝f′（x）－1＜0，g

（1）＝f

（1）－1＝1，故原不等式⇔g（x）＜g

（1），故x＞1.

答案：

A

12．函数f（x）＝（1－cosx）sinx在[－π，π]的图象大致为（　　）

解析：

在[－π，π]上，

∵f（－x）＝[1－cos（－x）]sin（－x）＝（1－cosx）

（－sinx）＝－（1－cosx）sinx＝－f（x），

∴f（x）是奇函数，∴f（x）的图象关于原点对称，排除B.

取x＝，则f（）＝（1－cos）sin＝1＞0，排除A.

∵f（x）＝（1－cosx）sinx，∴f′（x）＝sinx·sinx＋（1－cosx）cosx

＝1－cos2x＋cosx－cos2x＝－2cos2x＋cosx＋1.

令f′（x）＝0，则cosx＝1或cosx＝－.

结合x∈[－π，π]，求得f（x）在（0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.

答案：

C

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）

13．设函数f（x）在（0，＋∞）内可导，且f（ex）＝x＋ex，则f′

（1）＝________.

解析：

令ex＝t，则x＝lnt，所以f（x）＝lnx＋x，即

f′（x）＝1＋，则f′

（1）＝1＋1＝2.

答案：

2

14．曲线y＝e－5x＋2在点（0,3）处的切线方程为________．

解析：

因为y＝e－5x＋2，所以y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5（x－0），即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.

答案：

y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0

15．若函数f（x）＝在区间（m,2m＋1）上单调递增，则实数m的取值范围是________．

解析：

f′（x）＝，令f′（x）>0，得－1

又f（x）在（m,2m＋1）上单调递增，所以解得－1

答案：

（－1,0]

16．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______．

解析：

设矩形的长为x，则宽为10－x（0

V＝πx2（10－x）＝10πx2－πx3，∴V′（x）＝20πx－3πx2.

由V′（x）＝0得x＝0（舍去），x＝，且当x∈（0，）时，V′（x）>0，当x∈（，10）时，V′（x）<0，

∴当x＝时，V（x）取得最大值为πcm3.

答案：

πcm3

三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）求曲线y＝x3在点（3,27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．

解析：

因为f′（3）＝li＝27，所以在点（3,27）处的切线方程为y－27＝27（x－3），即y＝27x－54.

此切线与x轴、y轴的交点分别为（2,0），（0，－54）．

所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为×2×54＝54.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝ex（ax＋b）－x2－4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．

解析：

（1）f′（x）＝ex（ax＋a＋b）－2x－4.

由已知得f（0）＝4，f′（0）＝4.故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

（2）由

（1）知，f（x）＝4ex（x＋1）－x2－4x，f′（x）＝4ex（x＋2）－2x－4＝4（x＋2）（ex－）．

令f′（x）＝0，得x＝－ln2或x＝－2.

从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln2，＋∞）时，f′（x）＞0；当x∈（－2，－ln2）时，f′（x）＜0.

故f（x）在（－∞，－2），（－ln2，＋∞）上单调递增，在（－2，－ln2）上单调递减．

当x＝－2时，函数f（x）取得极大值，极大值为f（－2）＝4（1－e－2）．

19.（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx在区间（－2,1）内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．

（1）求函数y＝f（x）在x＝－2时的对应点的切线方程；

（2）求函数y＝f（x）在[－2,1]上的最大值与最小值．

解析：

（1）f′（x）＝－3x2＋2ax＋b.

又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，

所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．

所以a＝－1＋，－＝（－1）×.

于是a＝－，b＝2，则f（x）＝－x3－x2＋2x.

当x＝－2时，f（－2）＝2，即（－2,2）在曲线上．

又切线斜率为k＝f′（－2）＝－8，所求切线方程为y－2＝－8（x＋2），

即为8x＋y＋14＝0.

（2）当x变化时，f′（x）及f（x）的变化情况如下表：

x

－2

（－2，－1）

－1

（－1，）

（，1）

1

f′（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

2



－





则f（x）在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.

20．（本小题满分12分）已知二次函数f（x）＝3x2－3x，直线l1：

x＝2和l2：

y＝3tx（其中t为常数，且0

（1）求函数S（t）的解析式；

（2）定义函数h（x）＝S（x），x∈R.若过点A（1，m）（m≠4）可作曲线y＝h（x）（x∈R）的三条切线，求实数m的取值范围．

解析：

（1）由得x2－（t＋1）x＝0，

所以x1＝0，x2＝t＋1.

所以直线l2与f（x）的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1.

因为0

所以S（t）＝[3tx－（3x2－3x）]dx＋[（3x2－3x）－3tx]dx

＝＋

＝（t＋1）3－6t＋2.

（2）依据定义，h（x）＝（x＋1）3－6x＋2，x∈R，则

h′（x）＝3（x＋1）2－6.

因为m≠4，则点A（1，m）不在曲线y＝h（x）上．

过点A作曲线y＝h（x）的切线，设切点为M（x0，y0），

则切线方程为：

y－y0＝[3（x0＋