全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版含部分选填详解.docx

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全国卷3理科数学试题及参考答案WORD版含部分选填详解

2017年全国卷3理科数学试题及参考答案（WORD版含部分选填详解）

理科数学2017年高三2017年全国丙卷理科数学

理科数学

考试时间：

120分钟

题型

单选题

填空题

简答题

总分

得分

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，则中元素的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

2．设复数z满足（1+i）z=2i，则（）

A.B.C.D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.的展开式中的系数为（）

A.-80B.-40C.40D.80

10.已知椭圆的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）

A.B.C.D.

11.已知函数有唯一零点，则a=（）

A.B.C.D.1

12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若，则的最大值为（）

A.3B.C.D.2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.若满足约束条件，则的最小值为__________.

14.设等比数列满足，则

15.设函数则满足的x的取值范围是_________。

16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°；

其中正确的是________。

（填写所有正确结论的编号）

三、简答题（综合题）（本大题共7小题，共70分）

17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且ADAC,求△ABD的面积.

18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：

℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：

瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：

元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：

瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

19．（12分）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（1）证明：

平面ACD⊥平面ABC；

（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值．

20.（12分）

已知抛物线，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

21.（12分）已知函数.

（1）若，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m最小值.

22．选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数）.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

（1）写出C的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径.

23.选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2–x+m的解集非空，求m的取值范围.

参考答案

单选题

1. B2. C3. A4. C5. B

6. D7. D8. B9. A10. A

11. C12. A

精选题目详解：

8．如图所示，易知，，，选

11．

令，则在上单调递减，在上单调递增；

令，则由均值不等式得，在上单调递减，在上单调递增；

故当时，在上单调递减，在上单调递增；

满足题意，结合选项知选C

12.建立如图所示的平面直角坐标系，

则，

由等面积法可知，圆的半径为，

故圆的方程为

故可设

填空题

13. -1

14. -8

15. （-1/4,+∞）

16. ②③

精选题目详解：

15.画出及的图像知及都是上的单调递增函数，故也是上的单调递增函数，从图像上易判断的解在直线部分，

故令，解得，故的解集为

16.建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，

直线的方向向量为，

直线的方向向量为

则，

当直线AB与a成60°角时，即

则直线与直线的夹角应该满足

设直线与直线的夹角，则，所以的最小值为，最大值为

综上正确的为

简答题

17. 解：

（1）

由余弦定理知

整理可得：

（舍去）

（2）由

（1）可得

18. 

（1）的所有可能取值为200,300,500

故的分布列为：

200

300

500

0.2

0.4

0.4

（2）当时，

当时，的分布列为：

0.2

0.4

0.4

当时，的分布列为：

0.2

0.4

0.4

当时，的分布列为：

0.2

0.4

0.4

综上所述

易知，当时，最大，此时

19. 

（1）证明：

设

是正三角形

又是直角三角形

取中点，连接

易知，且，又

又

平面

又平面

平面平面

（2）过点作的垂线，垂足为，则，

平面，平面

又，且

为的中位线

为中点

以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则由

（1）得，，，

平面的法向量，平面的法向量

二面角的余弦值为

20. 

（1）设直线方程为，

联立抛物线方程可得：

坐标原点在圆上

（2）由

（1）得：

当时，直线方程为，

圆心，半径

圆的方程为

当时，直线方程为

圆心，半径

圆方程为

21. 

（1）的定义域为

当时，，在上单调增，又，故不满足题意

当时，令，则，

易知在上单调减，在上单调增

故只需，即

令，则

易知在上单调增，单调减，故

且仅在时取得最大值

故当且仅当时，

（2）由

（1）得对均成立

故用代替得

又

的最小值为3

22. 

（1）由已知得，

 ，，                                             （3分）

即，即.                                                    （5分）

（2）将代入

（1）中，

所以，

解得，                             （8分）

所以在直角坐标系下的坐标为

由得：

.

所以的极径为                                                              （10分）

23.

（1）当时，

当，

当时，

令可得

综上易知，的解集为

（2）设

由有解可得有解

故

的取值范围是