大连理工大学至学年第一学期计算方法期末考试试题A.docx
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大连理工大学至学年第一学期计算方法期末考试试题A
大连理工大学2007至2008学年第一学期计算方法期末考试试题A
大连理工大学应用数学系
数学与应用数学专业2005级试卷
课程名称：
计算方法 授课院 （系）：
应用数学系
考试日期：
2007年11 月 日 试卷共 6 页
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
标准分
42
8
15
15
15
5
/
/
/
/
100
得 分
一、填空（每一空2分，共42分）
1．为了减少运算次数，应将表达式.
改写为_______；
2．给定3个求积节点：
，
和
，则用复化梯形公式计算积分
求得的近似值为 ，
用Simpson公式求得的近似值为 。
1．设函数
，若当
时，满足
，则其可表示
为 。
4．已知
则
,
，逼近
的Newton插值多项式为 。
5．用于求
的根
的具有平方收敛的Newton迭代公式为：
。
6．已知
，则
的Jordan标准型是 ；
7．设
是
阶正规矩阵，则
；
8．求解一阶常微分方程初值问题
，
的向后（隐式）
Euler法的显式化的格式为：
。
9．设
12为
的近似值，且
，则
至少有
位有效数字；
10．将
，化为
的Householder矩阵为：
；
11．
；
12．用二分法求方程
在区间
内的根，进行一步后根所在区间为 ，进行二步后根所在区间为 。
13．若
为Newton-Cotes 求积公式，则
，若为Gauss型求积公式，则
。
14．设
，则在Schur分解
中，
可取为 。
15．设
，则
,
。
二、（8分）已知近似值
，
，
均为有效数字，试估计算术运算
的相对误差界。
三、（15分）设线性方程组：
（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并计算
，
，
和
；
（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？
（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。
四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题
，
的数值方法
①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；
②要用此方法解
，
。
为使方法绝对稳定，求出步长
的取值范围并以
，
初值，
为步长，求出
的近似值
。
五、（15分）
（1） 用Schimidt正交化方法，构造
上以
权函数的正交多项式系：
，
，
，
;
（2）构造计算
具有5次代数精度的数值求积公式；
（3） 利用2）的结果求出
的数值解。
六、证明题（5分）任选一题
1．设
均为可逆矩阵，且齐次线性方程组
有非零解，证明：
对于
中的任何矩阵范数
，都有
。
2． 已知
，求出
，证明
收敛。
大连理工大学应用数学系
数学与应用数学专业2005级试A卷答案
课程名称：
计算方法 授课院 （系）：
应用数学系
考试日期：
2007年11 月 日 试卷共 6 页
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
标准分
42
8
15
15
15
5
/
/
/
/
100
得 分
一、填空（每一空2分，共42分）
1．为了减少运算次数，应将表达式.
改写为
；
2．给定3个求积节点：
，
和
，则用复化梯形公式计算积分
求得的近似值为
，
用Simpson公式求得的近似值为
。
1．设函数
，若当
时，满足
，则其可表示
为
。
4．已知
则
6 ,
0 ，逼近
的Newton插值多项式为
。
5．用于求
的根
的具有平方收敛的Newton迭代公式为：
。
6．已知
，则
的Jordan标准型是
或
；
7．设
是
阶正规矩阵，则
；
8．求解一阶常微分方程初值问题
，
的向后（隐式）
Euler法的显式化的格式为：
。
9．设
12为
的近似值，且
，则
至少有
5 位有效数字；
10．将
，化为
的Householder矩阵为：
；
11．
；
12．用二分法求方程
在区间
内的根，进行一步后根所在区间为
，进行二步后根所在区间为
。
13．若
为Newton-Cotes 求积公式，则
，若为Gauss型求积公式，则
。
14．设
，则在Schur分解
中，
可取为
或
。
15．设
，则
。
二、（8分）已知近似值
，
，
均为有效数字，试估计算术运算
的相对误差界。
解：
由已知，
；
；
。
令
，
，
由函数运算的误差估计式
+
+
从而，相对误差可写成
﹟
三、（15分）设线性方程组：
（1）列主元消元法求出上述方程组的解，并利用得到的上三角矩阵计算出
（要有换元、消元过程）；
（2）试问用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解上述方程组是否收敛？
（3）请给出可求出上述方程组解的收敛的Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式，并说明其收敛性。
解：
（1）
故，
，
。
（2）由于Gauss-Seidel迭代法的特征值满足：
，则
，故
，从而Gauss-Seidel迭代法发散。
又由于Jacobi迭代法的迭代矩阵为：
，
，则
，故
，从而Jacobi迭代法发散。
（3）将上述方程组的第一个方程与第二个方程对调后，新的方程组的系数矩阵为：
是严格对角占有的，故Jacobi和Gauss-Seidel迭代法均收敛。
且新的方程组与原方程组同解。
Jacobi、Gauss-Seidel迭代法的分量形式的迭代公式分别为：
和
#
四、（15分）对于如下求解一阶常微分方程初值问题
，
的数值方法
①证明其收敛性；求出它的局部截断误差主项及绝对稳定区间；
②要用此方法解
，
。
为使方法绝对稳定，求出步长
的取值范围并以
，
初值，
为步长，求出
的近似值
。
解：
（1）注意，
，从而
故此为线性隐式二步三阶法，其局部截断误差主项为：
。
（2）令，
，得
，
，满足根条件；又方法阶
，故此差分格式收敛。
（3）又对于模型问题：
（
）, 取
而要使得
的充要条件为：
而
自然成立。
现在再由
得
由
，可推出
，即
。
#
五、（15分）
（1） 用Schimidt正交化方法，构造
上以
权函数的正交多项式系：
，
，
，
;
（2）构造计算
具有5次代数精度的数值求积公式；
（3） 利用2）的结果求出
的数值解。
解：
由
，即应构造具有3个Gauss点的求积公式。
首先
构造3次正交多项式，令
+
；令
即得，
，得
，
取
，
，
，令
即得到方程组：
，
，
解之，得
，
，从而具有5次代数精度Gauss求积公式
（2）
，则有
六、证明题（5分）任选一题
1．设
均为可逆矩阵，且齐次线性方程组
有非零解，证明：
对于
中的任何矩阵范数
，都有
。
（1）由题意，可知矩阵
奇异。
故
奇异。
反证法，若存在某种范数
，使得
，则
，则可知
非奇异，与条件矛盾。
（2）由于
有非零解，故对
，取与向量
的范数相容的矩阵范数
，则由
得
。
#
2． 已知
，求出
，证明
收敛。
证明,
，由于
，而
级数
和
均收敛，有矩阵级数收敛定义可知，
收敛。
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