2.设A,B,C为三个事件,用A,B,C的运算关系表示F列各事件:
（1）A发生，B与C不发生
（2）A与B都发生，而C不发生
（3）A,B,C中至少有一个要发生
（4）A,B,C都发生
（5）A,B,C都不发生
（6）扎B,C中不多于一个发生
（7）A,B,C中不多于两个发生
（8）A,B,C中至少有两个发生
解：
以下分别用Di（i二1,2,3,4,5,6,7,8）来表示⑴,
（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,（7）,（8）
（1）A发生，B与C不发生表示AB,C同时发生，故d_ABC
（2）A与B都发生，而C不发生表示A,B・E同时发生，故D2二妃&
（3）法一：
扎B,C中至少有一个要发生由和事件定义町知，D3二AUBUC
沃-：
A,B,C中至少有一个要发生是事件A,B,C都不发生的对立面，即D3=ABC
法三：
A.B.C中至少有一个要发生可以表示为三个爭件中恰有一个发生，恰有两个发生
或恰有三个发生，即D3=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC
（4）A.B.C都发生表示A,B,C都发生，故DI二AUBUC二ABC
⑸A.B.C都不发生表示ABC都不发生，故D5二ABC
（6）法一：
扎B,C中不多于一个发生可以表示为三个爭件中恰有一个发生或一个都不发
生，即D6=ABCUABCUABCUABC
法二：
扎B,C中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即D6=ABUACUBC
法三：
£B,C中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即D6=ABuACuBC
（7）法一：
A.B.C中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发生，即D7=ABCU^BCUABCUABCUABCUABCUABC
法二：
A.B,C中不多于两个发生可以表示为至少冇一个不发生，即D7=AUBUC
法三：
A,B,C中不多于两个发生町以表示为三个都发生的对立面，即D7=^C
（8）法一：
A.B.C中至少有两个发生即为三个爭件中发生两个或者三个都发生，即D8=ABCUABCUABCUABC
法二：
A,B,C中至少有两个发生，即D8二ABUACUBC
法三：
扎B,C中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立面，D8=AHJACUBC
3
（1）设A,B,C三个事件,P（A）=P（B）=P（0=1/4,P（AB）=P（BC）=0,P（AC）=1/8,求A.B,C至少有一个发生的概率。
（2）已知P（A）=1/2,P（B）=1/3,P（0=1/5,P（AB）=1/10,P（AC）=1/15,P（BC）=1/20,P（ABC）=1/30,求AUBtAB,AUBUC,ABC,ABC,ABUC的概率
（3）P（A）=l/2,
（A.）若A.B互不相容，求P（AB）
（B.）若P（AB）=1/8,求P（AB）
（1）P（AUBUC）
=P（A）+P（B）+P（C）—P（AB）—P（AC）—P（BC）
=3/4-l/8
=5/8
（2）P（AUB）
=P（A）+P（B）-P（AB）
=5/6-1/10
=11/15
P（AB）
=P（AU"B）
=1-P（AUB）
=1-11/15=4/15
P（AUBUC）
=P（A）4-P（B）+P（C）-P（AB）—P（AC）—P（BC）+P（ABC）
=17/20
P（ABC）
=P（4UBUC）
二1-P（AUBUC）
=1-17/20
=3/20
P（ABC）
=P（C）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）
=7/60
P（ABUC）
=P（ZIJ5UC）
=l-p（A）-p（B）+P（AC）+P（BC）+P（ABC）
=7/20
（3）A.P（AB）=P（A）=l/2
因为AB乎相容所以AB—个发生另一个一定不发生
B.P（AB）=P（A）-P（AB）=3/8
1.设A,B是两个事件.
（1）SMIAB=AB验证A二B.
（2）验证班件A和爭件B恰有一个发生的概率为P（A）+P（B）-2P（AB）.解：
法一
（1）7AB=AB,
・•・（AB）U（AB）={AB）U（4B）,
A（BUB）=B（AUA）,
•••AS=BSp
•••A=B・
（2）爭件A与事件B恰有一个发生即爭件庙UAB
P（ABUAB）
=P（AB）+P（AB）
=P[A（S-B）]+P[（S-A）B]
=P（A-AB）+P（B-AB）
=P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）
=P（A）+P（B）-2P（AB）
法二
（1）AB=A-B.BA=B-A;
又Ap=BA,
...A-B=B-AA=B即证。
（2）原理同
（1）,
爭件A与爭件b恰有一个发生即爭件ABUAb即P（ABUAB）
P（AB）+P（AB）
P（A-B）+P（B-A）
P（A）-P（AB）+P（B）-P（AB）
P（A）+P（B）-2P（AB）
5.10片药片中有5片安慰剂。
（1）从中任意捕取5片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。
（2）从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。
解：
（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为爭件A.
、礁,10x9x8x7x6,10x9x8x7x6113
禹Cfo'5x4x3x2xl15x4x3x2xl126
（2）设前三次都取到安慰剂为事件B。
cr、—C5C4C35x4x31
F㈤-C/oCgCg一10x9x8一12
6在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章。
任选3人记录其纪念章的号码。
仃）求最小号码为5的概率.
（2）求最人号码为5的概率.
解：
E:
在房间里而任选3人，记录其佩戴纪念章的号码.10人中任选3人C^=120种,即样本总数。
记弔件A为最小号码为5,记爭件B为最大号码为5.
5!
*3（*7!
1
（1）P⑷宅/閃一2!
*3!
J0!
莅
4!
*3!
*7!
1
（2）P（B）老/C罷.小…二二•
4丄。
2^*21*10!
20
7•某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶.在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。
问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？
解：
设事件“该订户得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆订货”为事件A
共17桶油漆，该客户订货共4+3+2=9桶，题意即为客户在17桶中选9桶，其中10桶白漆中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶红漆中占有两桶。
所以分母为C：
，分子为CHC，即所求概率为
P（A）:
.C^lci_252
C?
72431
8.在1500件产品中有400件次品.1100件正品。
任取200件
（1）求恰有9U件次品的概率。
（2）求至少有2件次品的概率。
解：
设A表示出件“恰好有90件次胡SB*表示爭件“恰好有i件次品（i=0.1）M,C表
示爭件“至少有2件次品”。
E表示“从1500件产品中任取200件
（1）N（S）二C翻N（A）二硯°C雷。
呻）
广90r110c400c1100
~7200―
g1500
（2）C=S-Bo-Bx
P（C）=P（S-Bo-Bj二P（S-[BoUBx]）=l-P（Bo）-P：
Bi）
9.
从5双不同的鞋子中任取4只.问这4只鞋子中至少启两只配成一双的槪率是多少？
解、法一.设至少令两只配成-•对的为爭件A,这四只鞋中没仃配成一对的为事件&则
故四只鞋中至少冇两双配成一双的概率为13/21
法二、设至少有两只配成一对的为爭件化这四只鞋中没有配成一对的为申件入•则
10*8*6*4
P—PSA十页（因为不樂次序咖除如）
故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21法三、设至少有两只配成一对的为爭件A,则p⑷工+C*恋*厂仝
S21
法四、设至少有两只配成一对的为爭件A•这四只鞋中没有配成一对的为爭件入•则
10•在11张卡片上分别写±probability这11个字母，从中任童连抽7张,求其排列结果为ability的概率。
解：
P（A）
二池二丄
4%"415800
方法一：
假设连抽7张排列结果为ability为爭件A
方法.•：
以A,B,C.6匕“G依次表示取得字母a.b,i,1,i,t,y各爭件，则所求概率为P（ABCDEFG）二P（A）P（B|A）P（C|AB）P（DiABC）P（E|ABCD）
xP（FlABCDE）p（GlABCDEF）
11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的A1大个数分别为1,2,3的概率。
解：
将3只球随机放入4个杯子中去的方法总数有4X4X4=43种设杯子中球的最大个数为i个为專件勺
4x3x2
m）=
£
X4x3
9
16
~41~~
16
12、50只钏钉随机地取来用在10个部件上.其中有3只钏钉强度太弱.每个部件用3只柳钉。
若将3只强度太弱的钏钉都用在一个部件上，则这个部件强度就太弱。
问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
解：
方法一
设一个部件轻度太弱为事件A
p（A）-cfoq?
牛色牛。
咅吟c寺牛牛=1
C50CuC-MC41C38ChC32C29C26C231960
方法二
将部件自1到10编号。
E：
随机地取挪钉，使各部件都装3只钾钉。
以儿表示事件“第i号部件强度太弱”
P（/I.）二孚=^—,i=l,2,…，10
1C?
o19600
已知41，如，…加。
两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为P=P{4iUA2U...UAl0]
=P（力丄）+P（力2）+•••+P（如0）
10
一丄9600
_]
I960
13、一俱乐部冇五名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2拿四年级学生。
（1）在其中任选4名学生，求一、一、三、四年级的学生各一名的概率。
（2）在其中任选5名学生，求一、二、三.四年级的学生均包含在内的概率。
解：
⑴设所求事件为A事件
P（A）=攻警‘二1/33
C12
（2）设所求專件为B爭件，B爭件包括一二三四年级中有一个年级有两人入选，其余年级一人入选的四种情况。
cm、一c須丄cfc孑c姐,Wc辺.cgc；c抵
P⑻-
=10/33
14.
（1）己知P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5,求条件概率P（B|AUB）先完整题干再解题！
！
！
（2）已知P（A）=1/4,P（B|A）=1/3,P（A|B）=1/2,求P（AUB）
P（AUB）=P（A）+P（B）—P（AB）
解：
P（B|AUB）gn4U/'
P（4UB）
P（AB）
PMUB?
••
■
P（A）=1-P（A）
=1-0.3
=0.7
P（B）=1-P（B）
=1-0.4
=0.6
又•・・_
P（?
B）=P（A）-P（AB）
=0.7-0.5
=0.2
P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）
=0.7+0.6-0.5
=0.8
_0.2
P（B|A）=
P（AB）
P（A）
=0.25
4612
p（a|b）
P（AB）
P（B）
P（AB）=P（B|A）P（A）
1
12
15•掷两颗骰子，己知两颗骰子的点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率。
法一：
题设的样本空间为｛（1,6）（2,5）（3,4）<6,1）（5,2）（4,3）｝,
由题得，其中有一颗为1点的事件有（1,6）（6,1）两个样本点
设要求的那件为爭件AP（A）=彳=扌
法二：
投掷两颗筛子其中一颗为一点为爭件C
设投掷两颗骰子，两颗骰子点数Z和为7为事件B因为题设那件为C|B
P（CB）=CixixiP（B）亠
厶666x6
所以,根据条件概率公式，
P（C|B）=^邑貿=1/3
I丿6x6
16.根据以往资料表明，某一3II之家，患某种传染病的概率有以下规律:
P｛孩子得病）=0.6P｛母亲得病|孩子得病｝二0.5
P｛父亲得病I母亲及孩子得病｝二0.4
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
设孩子得病为事件A,母亲得病为爭件B,父亲得病为事件C。
则P（A）=0.6P（B|A）=0.5=^^P（C|AB）二0.4二^^
P（4）P｛AB）
所以P（AB）=0.3P（ABC）=0.12
所以P（C|AB）=0.6
P（ABC）=P（C|AB）xP（AB）=0.6x0.3=0.18
17.己知在10件产品中右2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样，求卜列爭件的概率：
（1）两次都是正品；
（2）两次都是次品；
（3）一件是正品一件是次品：
（4）第二次取出的是次品。
P（A）
8728
WX9=«
解
（1）设连续两次都是正品为爭件A
P（B）=
45
（2）设连续两次都是次品为爭件B
（3）设一件是正品一件是次品为爭件C
（C）
Ax«+£x-=-
10910945
（4）设第二次取出的是次品为爭件D
‘小、218
P（D）
18•某人忘记了电话号码的址后一位数字，冈而他随总地拨号，求他拨号不超过3次而接通所需电话的概率。
若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解:
（1）设拨号不超过3次而接通所需电话为那件A
（A）
^-+—x-+—x-xi=—
10109109810
（2）设在己知最后一个数字是奇数的情况卜拨号不超过3次而接通所需电话为爭件B
p⑻W+扌兮+扌町洱Y
19.
（1）设甲袋中装有n只白球，m只红球：
乙袋中装月N只白球、M只红球。
今从甲袋中任懸取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。
问取到白球的概率是多少？
（2）第一只盒子中装有5只红球，巾只白球：
第二只盒子中装有4只红球、5只白球。
先从第一只盒中任取2只球放入第•盒中去，然后从第.盒中任取一只球，求取到白球的概率是多少？
解：
（1）设A,B分别表示“从甲袋取得白球，红球放入乙袋SC表示“再从乙袋中取得白球”
因为OAC+BC且AB互斥
+上一車
n+mN+M+丄
所以P（C）二P（A）P（C|A）+P（B）P（C|B）二壮二岛
（2）设A为“从第一个盒子中取得两只红球SB为“从第一个盒子中取得两只白球”，C为“从第一个盒子中取得一只红球，一只白球”，D为“从第二个盒子中取得白球”
显然扎B,C两两互斥，AUBUC二S,
所以P（D）二P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（Die）+
C911C911C91199
20.某种产品的商标为“MAXAM”,其中仃2个字母脱落，仃人随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。
解法一：
任意拿下2个的方法总共&种，其中不关心顺序的2种，每种掉落的方式放回方式有2种，其中有错误的方式是Cf-2
因此总的放回方式根据乘法原理是C和2,错误的放回方式为Cl-2.
设A表示“错误的放回方式”B表示“正确的放回方式”，显然AUB二S,且A,B互斥
P（A）翳0.4
所以P（B）=1-P（A）=1-0.4=0.6
解法二：
以A,B,C,D,E依次表示事件“脱落M、M”，“脱落A、A”“脱落M、A”“脱落X、A”“脱落X、M”，以事件G表示爭件“放回后仍为MAXAM”，所需求的是P（G）,町知A、B、C、D.E两两互不相容，且AUBUCUDUE=So
己知p（A）=4=0.1P（B）二笃二0.1P（C）=^=0.4P（D）二殍二0.2P（E）
clcfegcf
而p（g|a）=p（g|b）=1p（g|c）=p（g|d）=p（g|e）=0.5
由全概率公式得
P（G）=P（G|A）P（A）+P（G|B）P（B）+p（g|c）p（0+p（g|d）P（D）+p（g|e）
P（E）=0.1+0.1+0.2+0.1+0.1=0.6
21•已知男子有5%是色盲患者.女子W0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者，问此人是男性的概率是多少？
解：
设A二｛男人｝,B=｛女人几C二｛色有｝。
显然AUBS且A,B互斥，所以由已知条件可知
P（A）二P（B）二匕P（C|A）=5%,P（C|B）=0.25%
所以由贝叶斯公式，有P（A|C）冷晋
1S
P（A）P（C|A>宁种20
P⑷P（C⑷+P（B）P（C\B）■爲旺爲F
厶
22.一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P,”第一次及格则第二次及格的概率也为P：
若第•次不及格则第二次及格的概率为?
.
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次己经及格，求他第一次及格的概率。
解：
用Ai表示“该学生第i次及格，（i二1,2）”，用B表示事件“该学生取得该资格己知P（A1）=P（A2|A1）=P,
（1）P丽1^（AA）=1IA）
=1-[1-p（A）][1-p（a,|a）]
=i_（i_PXi-Z）=£p-lp2
——
（2）P^\k：
）=P/P（A：
）
二P（A2|A1）P（A1）
P（A2|A1）P（A1）+P（A2|AiyP^A1）
二一P陀
-2p
P+1
23.将两信息分别编码为A和B传送出去，某接收系统接收时将A谋收为B的概率为0.02,B被误收为A的高率为0.01,信息A和B传送的频繁程度为2：
1。
现在该系统接收到信息A,则原发信息也为A的概率是多少？
_
解：
设C表示爭件“将信息A传递出去”，则©表示爭件“将信息B传递出去”，设D表示事件“接收到信息A"，则B表示“接收到信息B”。
本题所求概率为P（C|D）o
己知P（呵C）二0.02,P（D\巧二0.01,舲二2,
由于P（C）+P（C）二1,所以p（c）€，P（C）=i
所以PklD）_P（"）_P（D|C）P（C）._（l-0.0?
>4_196
■II丿P（D）P（D|C）P（C）+P（D|Qp（F）（l-0.02）x|+ox）lxj197-
24冇两箱同种类型的零件。
第一箱装50只，其中10只一等品：
第二箱30只，其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。
求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：
用A,表示“挑出第j箱产品”j二1,2,
用B,表示“第i次从箱中取到的是一等品”i=l.2
显然P（Ad=P（^>=1/2
（1）P（Bi|Ai）=10/50
F（bi|As）=18/30
全槪率公式得：
P（Bi）=P（BilAi）P（A：
）+P（Bi|AJP（Aj）
（2）
P（BxBJ=P（BxBJAx）P（Ax）+P（BbIQP（A：
）其中P（BxBjAx）=歆舟
5049
所以:
1109+11817
P（B2\陀=WA=25049^23059=04856p（e）r
5
25・某人下午5:
00下班，他所积累的资料表明:
到家时间
5:
35〜5:
39
5:
40〜5:
44
5:
45〜5:
49
5:
50〜5:
54
迟于5:
54
乘抱铁概率
0.10
0.25
0.45
0.15
0.05
乘汽车概率
0.30
0.35
0.20
0.10
0.05
某口他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:
47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解:
设他乘坐地铁回家为事件A.设5:
47即5:
45〜5:
49到家是爭件氏
P（A|B）
P（AB）_P（B⑷・P⑷
-P（B）~P（A）-P（BlA）+P（A）-P（BlA）
0.45x0.5x0.5_9
0.5x0.45x0.5+0.5x0.20x0.513
26•病树的主人外出.委托邻居浇水•设己知如果不浇水，树死去的概率为0・8•若浇水则树死去的概率为0.15。
有0.9的把握确定邻居会记得浇水。
（1）求主人回来时树还活着的概率。
（2）若主人回來树己死去，求邻居忘记浇水的概率。
解：
设主人回来时树还活着为爭件A,邻居记得浇水为爭件B。
P（F|4）=巴黑
v17PQ4）
0.8X0.1_16
1-0.215_43
（1）P（A）=0.9X（1-0.15）+0.1X（1-0.8）=0.785
27、设本题设计的爭件均有意义。
设A、B都是爭件
（1）已知
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