概率论与数理统计答案第四版第1章浙大.docx

1、概率论与数理统计答案第四版第1章浙大1、 写出下列随机试验的样本空间S：(1) 记录一个班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)。(2) 生产产品直到有10件正品为之，记录生产产品的总件数。(3) 对某工厂出厂的产品进行检査，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续査出了 2件次品就停止检査，或检査了 4件产品就停止检査，记录检査 结果。(4) 在单位圆内任取一点，记录它的坐标。(1) 解：设该班学生数为n,总成绩的可取值为0, 1,2,3,，100n,(2) 解：S二10、11、12所以试验的样本空间为S=i/n| i二1、2、3-100n(3) 解：设1为正品0为次品S二00,

2、 100, 1100, 010, 1111, 1110, 1011, 1101, 0111, 0110, 0101, 1010解：取直角坐标系，则S= (x, y) |x3+y：l)取极坐标系，则 s= (p , e)Ip 1, o e 2tt)2.设A, B, C为三个事件,用A, B, C的运算关系表示F列各事件:(1) A发生，B与C不发生(2) A与B都发生，而C不发生(3) A,B,C中至少有一个要发生(4) A,B,C都发生(5) A,B,C都不发生(6) 扎B,C中不多于一个发生(7) A,B,C中不多于两个发生(8) A,B, C中至少有两个发生解：以下分别用 Di(i二1,2

3、, 3, 4, 5, 6, 7, 8)来表示,(2), (3), (4), (5), (6), (7), (8)(1) A发生，B与C不发生表示AB, C同时发生，故d_ABC(2) A与B都发生，而C不发生表示A, BE同时发生，故D2二妃&(3) 法一：扎B,C中至少有一个要发生由和事件定义町知，D3二AUBUC沃-：A,B, C中至少有一个要发生是事件A,B,C都不发生的对立面，即D3=ABC法三：A.B.C中至少有一个要发生可以表示为三个爭件中恰有一个发生，恰有两个发生或恰有三个发生，即 D3=ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC UABC(4) A.B.

4、C都发生表示A, B, C都发生，故DI二AUBUC二ABCA.B.C都不发生表示ABC都不发生，故D5二ABC(6) 法一：扎B,C中不多于一个发生可以表示为三个爭件中恰有一个发生或一个都不发生，即 D6= ABC U ABC U ABC U ABC法二：扎B, C中不多于一个发生可以表示为至少有两个不发生，即D6=AB U AC UBC法三：B,C中不多于一个发生是至少有两个发生的对立面，即D6=ABuACuBC(7) 法一：A.B.C中不多于两个发生即为三个事件发生两个，发生一个或者一个都不发 生，即 D7= ABC U BC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC法

5、二：A.B,C中不多于两个发生可以表示为至少冇一个不发生，即D7=AUB UC法三：A,B,C中不多于两个发生町以表示为三个都发生的对立面，即D7=C(8) 法一：A.B.C中至少有两个发生即为三个爭件中发生两个或者三个都发生，即D8= ABC U ABC U ABC UABC法二：A,B, C中至少有两个发生，即D8二ABUACUBC法三：扎B, C中至少有两个发生可以表示为三个事件只发生一个或一个都不发生的对立 面，D8=AHJACUBC3 (1)设 A, B, C 三个事件,P(A)=P (B)=P (0=1/4, P(AB)=P(BC)=0, P (AC) =1/8,求 A. B, C

6、 至 少有一个发生的概率。(2) 已知 P(A)=1/2,P (B) =1/3, P (0 =1/5, P (AB) =1/10, P (AC) =1/15, P (BC) =1/20, P (ABC) =1/30, 求AUBtAB,A UBUC,ABC,ABC,ABUC的概率(3) P(A)=l/2,(A.)若A. B互不相容，求P(AB)(B.)若 P(AB)=1/8,求 P(AB)(1) P(AUBUC)=P (A) +P (B) +P(C) P (AB) P (AC) P (BC)= 3/4-l/8= 5/8(2) P(AUB)=P (A) +P (B) -P (AB)=5/6-1/1

7、0=11/15P ( A B)=P(AUB)=1-P(AUB)= 1-11/15=4/15P(AUBUC)=P (A) 4-P (B) +P (C) -P (AB) P (AC) P (BC) +P (ABC)=17/20P ( A B C)=P(4 U B U C)二 1-P(AUB UC)= 1-17/20= 3/20P ( A BC)=P (C) -P (AC) -P (BC) +P (ABC)= 7/60P ( A BUC)=P(ZIJ5 U C)=l-p (A) -p (B) +P (AC) +P (BC) +P (ABC)= 7/20(3) A.P (A B) =P(A)=l/2因

8、为AB乎相容所以AB个发生另一个一定不发生B.P (A B) =P (A) -P (AB) =3/81.设A, B是两个事件.(1) SMIAB = AB验证 A二B.(2) 验证班件A和爭件B恰有一个发生的概率为P (A)+P (B)-2P (AB). 解：法一(1) 7 AB = AB,(AB) U (AB) = AB) U (4B),A(B U B) = B(AUA), AS = BSp A = B (2) 爭件A与事件B恰有一个发生即爭件庙U ABP (AB U AB)=P (AB) + P(AB)=PA(S-B)+P(S-A)B=P (A-AB)+P(B-AB)=P (A) -P (

9、AB) +P (B) -P (AB)=P (A) +P (B) -2P (AB)法二(1) AB = A-B . BA = B -A;又Ap = BA ,.A - B = B - A A = B 即证。(2)原理同(1),爭件A与爭件b恰有一个发生即爭件AB U Ab 即 P (AB U AB)P (AB) + P(AB)P (A-B) +P (B-A)P (A) -P (AB) +P (B) -P (AB)P(A) +P (B)-2P (AB)5. 10片药片中有5片安慰剂。（1） 从中任意捕取5片，求其中至少有两片是安慰剂的概率。（2） 从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的

10、概率。 解：（1）设其中至少有两片是安慰剂的概率为爭件A.,、 礁 ,10x9x8x7x6 ,10x9x8x7x6 113禹 Cfo 5x4x3x2xl 1 5x4x3x2xl 126（2）设前三次都取到安慰剂为事件B。cr、 C5C4C3 5x4x3 1F - C/oCgCg 一 10 x 9x 8 一 126在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章。任选3人记录其纪念章的号码。 仃）求最小号码为5的概率.（2）求最人号码为5的概率.解：E:在房间里而任选3人，记录其佩戴纪念章的号码.10人中任选3人C=120种, 即样本总数。记弔件A为最小号码为5,记爭件B为最大号码为5.5!

11、*3（*7! 1（1） P 宅/閃一2!*3! J0!莅4!*3!*7! 1（2） P（B）老/C罷.小二二4 丄。2*21*10! 207某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶.在搬运中所有标签脱 落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆的顾客， 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：设事件“该订户得到4桶白漆，3桶黑漆，2桶红漆订货”为事件A共17桶油漆，该客户订货共4+3+2=9桶，题意即为客户在17桶中选9桶，其中10桶白漆 中占有4桶，4桶黑漆中占有3桶，3桶红漆中占有两桶。所以分母为C：，分子为CHC， 即所求概率为P (

12、A):.Clci _252C?7 24318. 在1500件产品中有400件次品.1100件正品。任取200件（1） 求恰有9U件次品的概率。（2） 求至少有2件次品的概率。解：设A表示出件“恰好有90件次胡S B*表示爭件“恰好有i件次品（i = 0. 1）M, C表示爭件“至少有2件次品”。E表示“从1500件产品中任取200件(1) N (S)二C翻 N(A)二硯C 雷。呻）广 90 r110 c400c11007200g1500(2) C=S-Bo-BxP(C)=P(S- Bo-Bj 二P(S- BoUBx)=l-P(Bo)-P ：Bi)9. 从5双不同的鞋子中任取4只.问这4只鞋子中

13、至少启两只配成一双的槪率是多少？ 解、法一.设至少令两只配成-对的为爭件A,这四只鞋中没仃配成一对的为事件&则故四只鞋中至少冇两双配成一双的概率为13/21法二、设至少有两只配成一对的为爭件化这四只鞋中没有配成一对的为申件入则10*8*6*4PPSA十页（因为不樂次序咖除如）故四只鞋中至少有两双配成一双的概率为13/21 法三、设至少有两只配成一对的为爭件A,则 p工+C *恋*厂仝S 21法四、设至少有两只配成一对的为爭件A这四只鞋中没有配成一对的为爭件入则10在11张卡片上分别写 probability这11个字母，从中任童连抽7张,求其排列结果 为ability的概率。解：P (A)二池

14、二丄4% 415800方法一：假设连抽7张排列结果为ability为爭件A方法.：以A, B, C. 6匕“ G依次表示取得字母a. b, i, 1, i, t, y各爭件，则所求概率为 P (ABCDEFG)二P (A) P (B|A) P (C|AB) P (DiABC) P (E|ABCD)xP (FlABCDE) p (GlABCDEF)11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的A1大个数分别为1, 2,3的概率。 解：将3只球随机放入4个杯子中去的方法总数有4 X 4 X 4 = 43种 设杯子中球的最大个数为i个为專件勺4x3x2m)=X 4x391641 1612、50只

15、钏钉随机地取来用在10个部件上.其中有3只钏钉强度太弱.每个部件用3只柳 钉。若将3只强度太弱的钏钉都用在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件 强度太弱的概率是多少？解：方法一设一个部件轻度太弱为事件Ap（A）-cfoq?牛色牛。咅吟c寺牛牛=1C50CuC-MC41 C38ChC32C29C26C23 1960方法二将部件自1到10编号。E：随机地取挪钉，使各部件都装3只钾钉。以儿表示事件“第i 号部件强度太弱”P （/I.）二孚=, i=l,2,，101 C?o 19600已知41，如，加。两两互不相容，因此，10个部件中有一个强度太弱的概率为 P=P 4i UA2U.UAl0

16、=P （力丄）+ P （力2）+ P （如0）10一丄9600_ I96013、一俱乐部冇五名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，2拿四年级学生。（1） 在其中任选4名学生，求一、一、三、四年级的学生各一名的概率。（2） 在其中任选5名学生，求一、二、三.四年级的学生均包含在内的概率。解：设所求事件为A事件P(A)=攻警二 1/33C12(2) 设所求專件为B爭件，B爭件包括一二三四年级中有一个年级有两人入选，其余年级 一人入选的四种情况。cm、一 c須丄cfc孑c姐,Wc辺.cgc；c抵P-=10/3314. (1)己知 P ( A) =0.3, P (B) =0.4, P (A B

17、) =0.5,求条件概率 P (B| AU B) 先完整题干再解题！ ！(2)已知P (A) =1/4, P (B|A) =1/3, P (A|B) =1/2,求 P (AU B)P (AU B) =P (A) +P (B) P (AB)解：P (B|AU B) gn4U/P (4U B)P (AB)P MU B? P (A) =1-P ( A)= 1-0.3= 0.7P ( B) =1-P (B)= 1-0. 4= 0.6又 _P (?B) =P (A) -P (A B)=0. 7-0. 5= 0.2P (AU B) =P (A) +P (B) -P (A B)= 0.7+0. 6-0.5=

18、 0.8_0.2P (B|A)=P(AB)P (A)=0. 254 6 12p(a|b)P (AB)P (B)P (AB) =P (B|A) P (A)11215掷两颗骰子，己知两颗骰子的点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率。 法一：题设的样本空间为 (1,6) (2,5) (3,4) 宁种 20PP(C+P(B ) P(CB ) 爲旺爲F厶22. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P, ”第一次及格则第二次 及格的概率也为P：若第次不及格则第二次及格的概率为?.(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2) 若已知他第二次己经及格，求他第一次及格

19、的概率。解：用Ai表示“该学生第i次及格，(i二1,2)”，用B表示事件“该学生取得该资格 己知 P (A1)=P (A2|A1)=P,(1) P丽 1 (AA)=1 I A)=1-1-p(A)1-p(a,|a)= i_(i_PXi-Z)=p-lp2 (2) P k：)=P /P (A：)二 P(A2|A1)P(A1) P (A 2|A 1)P (A 1)+P(A 2| AiyPA 1)二一 P陀-2pP+123. 将两信息分别编码为A和B传送出去，某接收系统接收时将A谋收为B的概率为0. 02, B被误收为A的高率为0. 01,信息A和B传送的频繁程度为2： 1。现在该系统接收到信息A, 则

20、原发信息也为A的概率是多少？ _解：设C表示爭件“将信息A传递出去”，则表示爭件“将信息B传递出去”，设D表示 事件“接收到信息A，则B表示“接收到信息B”。本题所求概率为P(C|D)o己知P(呵C)二0. 02, P(D 巧二0.01, 舲二2,由于 P(C)+P(C)二 1,所以 p(c)，P( C)=i所以 PklD) _ P()_ P(D|C)P(C) . _ (l-0.0?4 _ 196 I I 丿 P(D) P(D|C)P(C)+P(D| Qp( F) (l-0.02)x|+ox)lxj 197-24冇两箱同种类型的零件。第一箱装50只，其中10只一等品：第二箱30只，其中18只

21、一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。 求(1) 第一次取到的零件是一等品的概率。(2) 在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：用A,表示“挑出第j箱产品” j二1,2,用B,表示“第i次从箱中取到的是一等品” i=l. 2显然 P(Ad=P (=1/2(1) P (Bi | Ai) =10/50F (bi | As) =18/30全槪率公式得：P (Bi) =P(BilAi)P (A：)+P (Bi|AJP(Aj)(2)P (BxB J =P (BxB J Ax) P (Ax) +P (Bb IQ P (A：) 其中

22、P(BxBjAx)=歆舟50 49所以:1 10 9 +1 18 17P(B2 陀=WA = 2504923059 = 04856 p(e) r525某人下午5:00下班，他所积累的资料表明:到家时间5:355:395:405:445:455:495:505:54迟于5:54乘抱铁概率0. 100. 250. 450. 150. 05乘汽车概率0.300. 350. 200. 100. 05某口他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的 概率。解:设他乘坐地铁回家为事件A.设5:47即5:455:49到家是爭件氏P(A|B)P(AB) _ P(BP-P(B)

23、 P(A)-P(BlA) + P(A)-P(BlA)0.45 x 0.5 x 0.5 _ 90.5 x 0.45 x 0.5 + 0.5 x 0.20 x 0.5 1326病树的主人外出.委托邻居浇水设己知如果不浇水，树死去的概率为08若浇水则树 死去的概率为0. 15。有0. 9的把握确定邻居会记得浇水。(1) 求主人回来时树还活着的概率。(2) 若主人回來树己死去，求邻居忘记浇水的概率。解：设主人回来时树还活着为爭件A,邻居记得浇水为爭件B。P(F|4)=巴黑v 1 7 PQ4)0.8 X 0.1 _ 161 -0.215 _ 43(1) P(A) = 0.9 X (1- 0.15) + 0.1 X (1 - 0.8) = 0.78527、设本题设计的爭件均有意义。设A、B都是爭件(1) 已知