，故△ABC为锐角三角形．
11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：
由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆半径r＝
”，类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径r＝
”；乙：
由“若直角三角形两直角边长分别为a，b，则其外接圆半径r＝
”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c，则其外接球半径r＝
”．这两位同学类比得出的结论是（ ）
A．两人都对B．甲错、乙对
C．甲对、乙错D．两人都错
答案 C
解析 利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝
，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.
12．（2017·西安八校联考）观察一列算式：
1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第（ ）
A．22项B．23项
C．24项D．25项
答案 C
解析 两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项．故选C.
13．观察下列事实：
|x|＋|y|＝1的不同整数解（x，y）的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解（x，y）的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解（x，y）的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解（x，y）的个数为（ ）
A．76B．80
C．86D．92
答案 B
解析 由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.
14．（2017·青岛一质检）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是
，则8335用算筹可表示为（ ）
答案 B
解析 由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为
，百位的3表示为
，十位的3表示为
，个位的5表示为
，故选B.
15．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i＝0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：
0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ ）
A．11010B．01100
C．10111D．00011
答案 C
解析 对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.
16．（2018·河北冀州中学期末）如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：
1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N*）的前12项，如下表所示：
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
x1
y1
x2
y2
x3
y3
x4
y4
x5
y5
x6
y6
按如此规律下去，则a2017＝（ ）
A．502B．503
C．504D．505
答案 D
解析 由a1，a3，a5，a7，…组成的数列恰好对应数列{xn}，即xn＝a2n－1，当n为奇数时，xn＝
.所以a2017＝x1009＝505.
17．（2018·太原模拟）有一个游戏：
将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测：
甲说：
乙或丙拿到标有3的卡片；
乙说：
甲或丙拿到标有2的卡片；
丙说：
标有1的卡片在甲手中；
丁说：
甲拿到标有3的卡片．
结果显示：
甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______．
答案 4、2、1、3
解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3.
18．顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间（单位：
工作日）如下：
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料A
9
15
原料B
6
21
则最短交货期为________个工作日．
答案 42
解析 最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工；最后由工艺师完成原料A的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．
1．观察下列各式：
a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（ ）
A．28B．76
C．123D．199
答案 C
解析 记an＋bn＝f（n），则f（3）＝f
（1）＋f
（2）＝1＋3＝4；f（4）＝f
（2）＋f（3）＝3＋4＝7；f（5）＝f（3）＋f（4）＝11.通过观察不难发现f（n）＝f（n－1）＋f（n－2）（n∈N*，n≥3），则f（6）＝f（4）＋f（5）＝18；f（7）＝f（5）＋f（6）＝29；f（8）＝f（6）＋f（7）＝47；f（9）＝f（7）＋f（8）＝76；f（10）＝f（8）＋f（9）＝123.所以a10＋b10＝123.
2．观察图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆点，第n个图案中圆点的个数是an，按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为（ ）
A．Sn＝2n2－2nB．Sn＝2n2
C．Sn＝4n2－3nD．Sn＝2n2＋2n
答案 A
解析 事实上由合情推理的本质：
由特殊到一般，当n＝2时，有S2＝4，分别代入即可排除B、C、D三项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前（n－1）项和，即Sn＝（n－1）×4＋
×4＝2n2－2n.
3．观察下列各式：
55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为（ ）
A．3125B．5625
C．0625D．8125
答案 D
解析 ∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，510＝9765625，…，∴5n（n∈Z，且n≥5）的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n（n∈Z，且n≥5）的末四位数字为f（n），则f（2011）＝f（501×4＋7）＝f（7），∴52011与57的末四位数字相同，均为8125.故选D.
4．（2018·辽宁丹东联考）已知“整数对”按如下规律排列：
（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，则第70个“整数对”为（ ）
A．（3，9）B．（4，8）
C．（3，10）D．（4，9）
答案 D
解析 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是（1，12），第68个“整数对”是（2，11），第69个“整数对”是（3，10），第70个“整数对”是（4，9）．故选D.
5．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（ ）
答案 A
解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．
6．已知数列{an}为等差数列，则有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0.
（1）若数列{an}为等比数列，通过类比，则有等式______；
（2）通过归纳，试写出等差数列{an}的前n＋1项a1，a2，…，an，an＋1之间的关系为________．
答案
（1）a1a2－2a3＝1，a1a2－3a33a4－1＝1，a1a2－4a36a4－4a5＝1
（2）Cn0a1－Cn1a2＋Cn2a3－…＋（－1）nCnnan＋1＝0
解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算，从而解出第
（1）问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第
（2）问．
7．对∀a，b∈R，定义运算：
a⊕b＝
a⊗b＝
则下列判断正确的是________．
①2015⊕（2014⊗2015）＝2014；
②（a⊕a）⊗a＝0；
③（a⊕b）⊗a＝a⊕（b⊗a）．
答案 ②
解析 对于①，由定义的运算可知，2014⊗2015＝2015－2014＝1，
故2015⊕（2014⊗2015）＝2015⊕1＝2015，故①错误．
对于②，因为a⊕a＝a，故（a⊕a）⊗a＝a⊗a＝a－a＝0，故②正确．
由于③，当a≥b时，a⊕b＝a，故（a⊕b）⊗a＝a⊗a＝0，
而b⊗a＝a－b，故a⊕（b⊗a）＝a⊕（a－b）．
显然，若b≥0，则a≥a－b，所以a⊕（a－b）＝a，
若b<0，则a故（a⊕b）⊗a≠a⊕（b⊗a）．故③错误．
8．（2015·福建）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N*），其中xk（k＝1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：
其中运算⊕定义为：
0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
答案 5
解析 由题意得相同的数字运算后结果为0，不同的数字运算后结果为1.
若后四位码元为1101，根据定义的运算，则有x4⊕x5＝1⊕1＝0，x4⊕x5⊕x6＝0⊕0＝0，x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0⊕1＝1，显然不符合方程x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，所以后四位码元出错．
同理，第2，3，6，7位码元依次为1001.假设这四位都正确，则x2⊕x3＝1⊕0＝1，
所以x2⊕x3⊕x6＝1⊕0＝1，
所以x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕1＝0，
显然满足校验方程组，所以这四位码元正确．
故最后两位码元正确，出错的码元只能是第四位或第五位．
同理，第1，3，5，7位的码元依次为1011，
所以x1⊕x3＝1⊕0＝1，x1⊕x3⊕x5＝1⊕1＝0，
x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0⊕1＝1，显然不满足校验方程组．
所以出错的码元是第5位，即k＝5.
9．（2014·陕西理）观察分析下表中的数据：
多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
答案 F＋V－E＝2
解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
10．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．
易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为（1，0），第二行记为（2，1），第三行记为（5，4）．
（1）第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；
（2）照此规律，第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为________．
答案
（1）（14，13）
（2）（
，
）（n∈N*）
解析
（1）从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：
一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×2＋4×1＝14，黑圈个数为5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为（14，13）．
（2）第n行中的白圈和黑圈总数为3n－1个，设“坐标”为（an，3n－1－an），则第n＋1行中的白圈和黑圈总数为3n个，设“坐标”为（an＋1，3n－an＋1）＝（an＋3n－1，2×3n－1－an），即a1＝1，an＋1＝an＋3n－1⇒an＝
，从而得到第n行中的白圈、黑圈的“坐标”为（
，
）（n∈N*）．
11．（2017·北京，文）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
（1）男学生人数多于女学生人数；
（2）女学生人数多于教师人数；
（3）教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
答案 ①6 ②12
解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x，y，z，且x>y>z，①若教师人数为4，则412．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
④sin2（－18°）＋cos248°－sin（－18°）cos48°；
⑤sin2（－25°）＋cos255°－sin（－25°）cos55°.
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据
（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．
答案
（1）
（2）sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝
解析 方法一：
（1）选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－
sin30°＝1－
＝
.
（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝
.
证明如下：
sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）
＝sin2α＋（cos30°cosα＋sin30°sinα）2－sinα（cos30°cosα＋sin30°sinα）
＝sin2α＋
cos2α＋
sinαcosα＋
sin2α－
sinαcosα－
sin2α
＝
sin2α＋
cos2α＝
.
方法二：
（1）同解法一．
（2）三角恒等式为sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）＝
.
证明如下：
sin2α＋cos2（30°－α）－sinαcos（30°－α）
＝
＋
－sinα·（cos30°cosα＋sin30°sinα）
＝
－
cos2α＋
＋
（cos60°cos2α＋sin60°sin2α）－
sinαcosα－
sin2α
＝
－
cos2α＋
＋
cos2α＋
·sin2α－
sin2α－
（1－cos2α）
＝1－
cos2α－
＋
cos2α＝
.
13．（2018·名师原创）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N*）是正整数n的最佳分解时，我们规定函数f（n）＝
，例如f（12）＝
.关于函数f（n）有下列叙述：
①f（7）＝
；②f（24）＝
；③f（28）＝
；④f（144）＝
.其中所有正确的序号为________．
答案 ①③
解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①：
∵7＝1×7，∴f（7）＝
，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f（24）＝
＝
，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f（28）＝
，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f（144）＝
＝1，④不正确．
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