变型鸡兔同笼问题与假设法详细课件+典型题型.docx

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变型鸡兔同笼问题与假设法详细课件+典型题型

第三讲变型鸡兔同笼问题与假设法

【专题知识点概述】

你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗这个问题，是我国古代著名趣题之一。

大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。

书中是这样叙述的：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何这四句话的意思是：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。

求笼中各有几只鸡和兔

古人常用的这种思维方法叫化归法。

化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。

今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！

【授课批注】

本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，同时体会解题过程中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。

“鸡兔同笼”问题基本解题公式

（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：

　　（总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。

（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式

（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数

　　或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；

总头数-鸡数=兔数。

（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。

　　（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；

　　总头数-兔数=鸡数。

　　或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；

　　总头数-鸡数=兔数。

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数；

　　〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。

【授课批注】

用不同方法（同为鸡，同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知识面和拓展思维。

【重点难点解析】

1.通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题

2.对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法

【竞赛考点挖掘】

1.假设法的应用

2.理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

工人运青瓷花瓶250个，规定完整运一个到目的地给运费20元，损坏一个要倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元.问共损坏了几个花瓶

【分析与解】

假设250个能够完整运达目的地。

将得运费250×20=5000（元），与实际所得相差5000-4400=600（元）。

损坏个数600÷（100+20）=5（个）。

【例2】（难度等级※※）

松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松果，平均每天采14个.问这几天中有几个雨天

【分析与解】

因松鼠妈妈共采松果112个，平均每天采14个，所以实际用了112÷14＝8（天）.假设这8天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160（个），比实际采的多了160－112＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48÷8＝6（天）.

【例3】（难度等级※※）

四年级四班有60个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20副，2人下一幅象棋，6人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副

【分析与解】

假设20副均为象棋，共有20×2=40（人）在玩，还有20人没参加活动。

跳棋数20÷（6-2）=5（副），象棋数20-5=15（副）。

【例4】（难度等级※※）

实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10道题目，答对一道得10分，答错一题反扣5分（没有不答的情况）。

张华得了70分，他答对了几道题

【分析与解】

假设所有问题全部答对，得分10×10=100（分），比实际得分多100-70=30（分），错题数：

30÷（10+5）=2（道），正确题数：

10-2-8（道）。

【例5】（难度等级※※※）

蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。

每种小虫各几只

【分析与解】

因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种。

利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数（118－6×18）÷（8－6）＝5（只）。

因此就知道6条腿的小虫共18－5＝13（只）。

也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。

蝉数（13×2－20）÷（2－1）＝6（只）。

因此蜻蜓数是13－6＝7（只）。

【例6】（难度等级※※※）

一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时

【分析与解】

我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数）,甲每小时打30÷6=5（份）,乙每小时打30÷10=3（份）.

现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了.

根据前面的公式

"兔"数=（30-3×7）÷（5-3）=,

"鸡"数==,

也就是甲打字用了小时,乙打字用了小时.

【例7】（难度等级※※※※）

有50位同学前往参观,乘电车前往每人元,乘小巴前往每人4元,乘地下铁路前往每人6元.这些同学共用了车费110元,问其中乘小巴的同学有多少位

【分析与解】

由于总钱数110元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是5的整数倍.如果有30人乘电车,×30=74（元）.

还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.

如果有40人乘电车×40=62（元）.

还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往,钱还有多（62>6×10）.说明假设的乘电车人数又多了.30至40之间,只有35是5的整数倍.

现在又可以转化成"鸡兔同笼"了:

总头数50-35=15,总脚数×35=68.

因此,乘小巴前往的人数是（6×15-68）÷（6-4）=11.

【例8】（难度等级※※※※）

商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个元,小球每个1元.张老师用120元共买了55个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

【分析与解】

因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是

×2+1×3）÷（2+3）=（元）.

从公式可算出,大球个数是

×55）÷=30（个）.

买中,小球钱数各是

（120-30×3）÷2=15（元）.

可买10个中球,15个小球.

答:

买大球30个,中球10个,小球15个.

【例9】（难度等级※※※※）

使用甲种农药每千克要兑水20千克，使用乙种农药每千克要兑水40千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50千克，要配药水1400千克，那么，其中甲种农药用了多少千克

【分析与解】

假设50千克都是乙种农药，那么需要兑水40×50＝2000（千克）．但题目要求配药水1400千克，即实际兑水1400－50＝1350（千克）．多用了2000－1350＝650（千克）水，又已知使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20＝20（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有650÷20＝（千克）．

【例10】（难度等级※※※）

某工厂的27位师傅带徒弟40名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位

【分析与解】

带一名徒弟的师傅的人数是：

27×

=18（位）；带两名或三名徒弟的师傅有27-18=9（位），他们共带40-18=22（名）徒弟，如果这9位师傅带两名徒弟，他们只能带18名徒弟，还有22-18=4（名）徒弟没人带，所以应有4位师傅每人带三名徒弟，带两名师傅有5位。

【例11】（难度等级※※※）

某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:

一等奖1000元,二等奖250元,三等奖50元.共有100人中奖,奖金总额为9500元.问二等奖有多少名

【分析与解】

假设全是三等奖，共有：

9500/50=190（人）中奖，比实际多：

190-100=90（人）

1000/50=20，也就是说：

把20个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：

20-1=19（人）250/50=5，也就是说：

把5个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：

5-1=4（人）。

因为多出的是90人，而：

90=19*2+4*13.

即：

要使总人数为100，只需要把20*2=40个三等奖换成2个一等奖，把5*13=65个三等奖换成13个二等奖就可以了。

所以，二等奖有13个人。

【例12】（难度等级※※※※）

今年是1998年,父母年龄（整数）和是78岁,兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍,母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时,是公元哪一年

【分析与解】

4年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25,父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25是"总头数".86是"总脚数".根据公式,兄的年龄是（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.

1998年,兄年龄是14-4=10（岁）.

父年龄是（25-14）×4-4=40（岁）.

因此,当父的年龄是兄的年龄的3倍时,兄的年龄是（40-10）÷（3-1）=15（岁）,这是2003年.

【例13】（难度等级※※※）

有一辆货车运输2000只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

【分析与解】

如果没有破损,运费应是400元.但破损一只要减少1+=（元）.因此破损只数是

÷（1+=17（只）.

【例14】（难度等级※※※※）

从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米

【分析与解】

把来回路程45×2=90（千米）算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"路程,根据例15,平均速度是每小时4千米.现在形成一个非常简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21,总脚数90,鸡,兔脚数分别是4和5.因此平路所用时间是

（90-4×21）÷（5-4）=6（小时）.

单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.

从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是

45-5×3=30（千米）.

又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是

（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.

行走路程是3×4=12（千米）.

下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.

答:

从甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

【例15】（难度等级※※※※）

某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对4道的人数有多少人

【分析与解】

对2道,3道,4道题的人共有52-7-6=39（人）.

他们共做对181-1×7-5×6=144（道）.

由于对2道和3道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对道题的人（（2+3）÷2=.这样兔脚数=4,鸡脚数=,总脚数=144,总头数=39.

对4道题的有×39）÷=31（人）.

【作业】

1.东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题.做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣3分.刘刚得了60分,则他做对了几道题

【答案】15

2.自行车进行越野赛。

赛程全长220千米，全长由每段长9米的山路和每段长14米的平路两种组成，整个赛程共有20个赛段，求山路共有多少千米

【答案】108

3.摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）,一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段

【答案】14,11.

4.大、小猴共35只，它们一起云采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15千克，一只小猴子一小时可采摘11千克，猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都以多采摘12千克，一天，采摘了8小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘4400千克水蜜桃，在这个猴群中，共有小猴子____只。

【答案】20

5.春风小学3名云参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9分，他们三人一共答对了_____道题。

【答案】20

挑战自己（难度等级※※※※※）

有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池,只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟.问注满水池总共用了多少分钟

【答案】34