学年华师版数学八年级下册 174 反比例函数.docx

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学年华师版数学八年级下册174反比例函数

第17章函数及其图象

17.4反比例函数

1.反比例函数

【知识与技能】

1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.

2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式．

【过程与方法】

经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力

【情感态度】

培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.

【教学重点】

理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式

【教学难点】

能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想

一、情境导入,初步认识

1．复习小学已学过的反比例关系，例如:

（1）当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s（s是常数）

（2）当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab=s（s是常数）

2.电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时.请你用含R的代数式表示I吗？

【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.

二、思考探究，获取新知

探究：

反比例函数的概念

问题1：

小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．

分析：

和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．

设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间=路程÷速度，所以t=15/v

从这个关系式中发现:

1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．

2.自变量v的取值是v＞0．

问题2：

学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），求另一边的长y（米）与x的函数关系式．

分析：

根据矩形面积可知

xy=24，

即y=24/x

从这个关系中发现：

1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；

2.自变量的取值是x＞0．观察上述两个函数解析式，它们有什么共同点？

与前面学的一次函数有什么不同？

【归纳结论】

一般地，形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.

【教学说明】

反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例函数y=kx，即x（y）=k，k是常数，且k≠0;反比例函数y=x（k），则xy=k，k是常数，且k≠0.可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系？

三、运用新知，深化理解

1.下列函数关系中，哪些是反比例函数？

（1）已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；

（2）压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；

（3）功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．

（4）某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y（吨）与该乡人口数x（人）的函数关系式．

分析：

确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx（k是常数，k≠0）．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．

解：

（1）a=

，是反比例函数；

（2）F=ps，是正比例函数；

（3）F=W/s，是反比例函数；

（4）y=m/x，是反比例函数．

2.当m为何值时，函数

是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：

由反比例函数的定义易求出m的值．

解：

由反比例函数的定义可知：

2m－2=1，m=

．所以反比例函数的解析式为y=4/x．

3.将下列各题中y与x的函数关系写出来．

（1）y=1/z，z与x成正比例；

（2）y与z成反比例，z与3x成反比例；

（3）y与2z成反比例，z与

x成正比例.

4.已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=2．求x=1.5时y的值．

分析：

因为y与x2成反比例，所以设y=kx2，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值．

解：

设y=kx2．因为当x=3时，y=2，所以2=

，k=18．

当x=1.5时，y=

=

=8．

5.已知y=y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x+成反比例，且x=2与x=3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．分析：

y1与x成正比例，则y1=k1x，y2与x2成反比例，则y2=

，又由y=y1＋y2，可知，y=k1x+

，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．

解：

因为y1与x成正比例，所以y1=k1x；因为y2与x2成反比例，所以y2=

，而y=y1＋y2，所以y=k1x+

，

【教学说明】

加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式.

四、师生互动，课堂小结

本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如y=

（k是常数，k≠0）的函数叫做反比例函数．

要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定．

1.布置作业:

教材“习题17.4”中第1、2题.

2.完成本课时对应练习.

学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.

第17章函数及其图象

2.反比例函数的图象和性质

第1课时反比例函数的图象和性质

（1）

【知识与技能】

1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；

2.利用反比例函数的图象解决有关问题.

【过程与方法】

经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质

【情感态度】

探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题

【教学重点】

会作反比例函数的图象；探索并掌握反比例函数的主要性质

【教学难点】

探索并掌握反比例函数的主要性质及性质运用

一、情境导入,初步认识

在课本P56练习中第2题中，我们可以发现问题2中的图象它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？

本节课，我们就来讨论一般的反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质.

二、思考探究，获取新知

1.画出函数y=6/x的图象．

分析:

画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x≠0．

解:

1．列表：

这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：

2.描点：

用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出点（－6,－1）、（－3,－2）、（－2,－3）等．

3.连线：

用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．

【教学说明】上述图象，通常称为双曲线.

提问这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？

为什么？

学生试一试：

画出反比例函数y=-6/x的图象

【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.

学生讨论、交流以下问题，并就讨论、交流的结果回答问题．

1.这个函数的图象在哪两个象限？

和函数y=6x的图象有什么不同？

2.反比例函数y=kx（k≠0）的图象在哪两个象限内？

由什么确定？

3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？

有什么规律？

【归纳结论】

反比例函数y=kx有下列性质：

（1）当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

（2）当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

三、运用新知，深化理解

1.若反比例函数

的图象在第二、四象限，求m的值．

分析：

由反比例函数的定义可知：

2-m2=-1,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．

解:

由题意，得

解得m=-3．

2.已知反比例函数y=k/x（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y=kx－k的图象经过的象限．

分析：

由于反比例函数y=kx（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y=kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．

解：

因为反比例函数y=k/x（k≠0），当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y=kx－k的图象经过一、二、四象限．

3.已知反比例函数的图象过点（1,－2）．

（1）求这个函数的解析式，并画出图象；

（2）若点A（－5,m）在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？

分析：

（1）反比例函数的图象过点（1,－2），即当x=1时，y=－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；

（2）由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．

解：

（1）设：

反比例函数的解析式为：

y=

（k≠0）．

而反比例函数的图象过点（1,－2），即当x=1时，y=－2．

所以-2=

，k=－2．

即反比例函数的解析式为：

y=

．

（2）点A（－5,m）在反比例函数y=-2x图象上，所以m=

，

点A的坐标为-5,2/5．点A关于x轴的对称点（5,

）不在这个图象上；

点A关于y轴的对称点（5,

）不在这个图象上；

点A关于原点的对称点（5,

）在这个图象上；

4.已知函数

为反比例函数．

（1）求m的值；

（2）它的图象在第几象限内？

在各象限内，y随x的增大如何变化？

（3）当－3≤x≤-1/2时，求此函数的最大值和最小值．

（2）因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．

（3）因为在各象限内，y随x的增大而增大，

5.一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．

（1）写出用高表示长的函数关系式；

（2）写出自变量x的取值范围；

（3）画出函数的图象．

解：

（1）因为100=5xy,所以y=20/x．

（2）x＞0．

（3）图象略.

【教学说明】由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支.

四、师生互动，课堂小结

本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．

1.反比例函数的图象是双曲线；

2.反比例函数有如下性质：

（1）当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；

（2）当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．

1.布置作业:

教材“习题17.4”中第3、4题.

2.完成本课时对应练习.

本节课的重点是反比例函数的性质的应用，从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.

第17章函数及其图象

2.反比例函数的图象和性质

第2课时反比例函数的图象和性质

（2）

【知识与技能】

1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；

2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．

【过程与方法】

经历观察、分析，交流的过程，逐步提高运用知识的能力

【情感态度】

能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题

【教学重点】

理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

【教学难点】

学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质

一、情境导入,初步认识

1.正比例函数有哪些性质？

2.一次函数有哪些性质？

3.反比例函数有哪些性质？

【教学说明】

对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.

二、思考探究，获取新知

已知正比例函数y=ax和反比例函数y=

的图象相交于点（1,2），求两函数解析式．

分析：

根据题意可作出图象．点（1,2）在正比例函数和反比例函数图象上，把点（1,2）代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．

解：

因为点（1,2）在正比例函数和反比例函数图象上，把x=1，y=2分别代入y=ax和y=b/x中，得2=a，2=b/1，b=2．

所以正比例函数解析式为y=2x．

反比例函数解析式为y=2/x．

【教学说明】

通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.

三、运用新知，深化理解

1.已知如图，A是反比例函数y=k/x的图象上的一点，AB丄x轴于点B，且△ABC的面积是3，则k的值是（）

A.3B.-3

C.6D.-6

解析：

过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=1/2|k|．

具体解答如下：

根据题意可知：

S△AOB=1/2|k|=3，

又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k=6．

答案：

C．

2.反比例函数y=

与y=

在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）

A.

B.2

C.3D.1

解析：

分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积，进而可得出结论．具体解答过程如下：

如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，

∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC=6，S△AOE=3，S△BOC=

，

∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-32=32．

答案：

A．

3.已知直线y=x＋b经过点A（3,0），并与双曲线y=kx的交点为B（－2，m）和C，求k、b的值．

解:

点A（3,0）在直线y=x＋b上，所以0=3＋b，b=－3．

一次函数的解析式为：

y=x－3．

又因为点B（－2，m）也在直线y=x－3上，所以m=－2－3=－5，即B（－2,－5）．

而点B（－2,－5）又在反比例函数y=kx上，所以k=－2×（－5）=10．

4.已知反比例函数y=k1/x的图象与一次函数y=k2x－1的图象交于A（2,1）．

（1）分别求出这两个函数的解析式；

（2）试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．

分析:

（1）因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值．

（2）把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．

解:

（1）因为点A（2,1）在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1=2×1=2．

1=2k2－1，k2=1．

所以反比例函数的解析式为：

y=2/x；一次函数解析式为：

y=x－1．

（2）点A（2,1）关于坐标原点的对称点是A′（－2,－1）．

把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=

=-1，所以点A′在反比例函数图象上．

把A′点的横坐标代入一次函数解析式得，y=

=－3，所以点A′不在一次函数图象上．

5.已知一次函数y=kx＋b的图象经过点A（0,1）和点B（a,－3a）,a＜0，且点B在反比例函数的y=-3x的图象上．

（1）求a的值．

（2）求一次函数的解析式，并画出它的图象．

（3）利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．

（4）如果P（m,y1）、Q（m＋1,y2）是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．

分析:

（1）由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．

（2）由

（1）求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．（3）和（4）都是利用函数的图象进行解题．

解:

（1）反比例函数的图象过点B（a,－3a），-3a=

，a=±1，因为a＜0，所以a=－1．B（－1,3）．

即：

一次函数的解析式为y=－2x＋1．

（2）由

（1）知一次函数解析式为y=-2x+1

一次函数和反比例函数的图象为：

（3）从图象上可知，当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时，相应的x的值为：

-1≤x≤1.

（4）从图象可知，y随x的增大而减小，又m＋1＞m，所以y1＞y2.

或解：

当x1=m时，y1=－2m＋1；

当x2=m＋1时，y2=－2×（m＋1）＋1=－2m－1

所以y1－y2=（－2m＋1）－（－2m－1）=2＞0，即y1＞y2.

6.如图，一次函数y=kx＋b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点．

（1）利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围．

分析:

（1）把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式．

（2）因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．

解:

（1）观察图象可知，反比例函数y=

的图象过点A（－2,1），m=－2×1=－2．

所以反比例函数的解析式为：

y=

．又点B（1,a）也在反比例函数图象上，a=

=-2．即B（1,－2）．

一次函数解析式为：

y=－x－1．

（2）观察图象可知，当x＜－2或0＜x＜1时，一次函数的值大于反比例函数值

四、师生互动，课堂小结

通过本节课的学习，你有哪些收获？

还存在哪些疑惑？

如图，点P是直线y=

x+2与双曲线y=

在第一象限内的一个交点，直线y=

x+2与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴于B，若AB＋PB=9．

（1）求k的值；

（2）求△PBC的面积．

通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：

1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．

2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．