证明圆的切线方法.docx

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证明圆的切线方法证明圆的切线方法证明圆的切线方法证明圆的切线方法我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过OO上某一点A,证明I是OO的切线，只需连0A，证明OA丄l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在厶ABC中，AB=AC,以AB为直径的OO交BC于D,交AC于E,B为切点的切线交0D延长线于F.求证：

EF与O0相切.证明：

连结OE,AD./AB是O0的直径，AD丄BC.又AB=BC,/3=/4.BD=DE，/1=/2.又OB=OE,OF=OF,BOFEOF（SAS）/OBF=/OEF.BF与OO相切，OB丄BF./OEF=9O.EF与OO相切.说明：

此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2如图，AD是/BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：

PA与OO相切.证明一：

作直径AE，连结EC./AD是/BAC的平分线,/DAB=/DAC./PA=PD,/2=/1+/DAC.又/B=/E,/1=/E/AE是OO的直径，0AC丄EC,/E+/EAC=90./1+/EAC=90.即OA丄PA./PA=PD,/PAD=/PDA.又/PDA=/BDE,PA与OO相切.即OA丄PA.PA与OO相切说明：

此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用例3如图，AB=AC，AB是OO的直径，OO交BC于D，DM丄AC于M求证：

DM与OO相切.证明一：

连结OD./AB=AC,/B=/C./OB=OD,/仁/B./1=/C.OD/AC./DM丄AC,DM丄OD.DM与OO相切证明二：

连结OD,AD./AB是OO的直径,AD丄BC.又AB=AC,/1=/2./DM丄AC,/2+Z4=90/OA=OD,/仁/3./3+Z4=90.即0D丄DM.DM是OO的切线说明：

证明一是通过证平行来证明垂直的证明二是通过证两角互余证明垂直的,解题中注意充分利用已知及图上已知例4如图，已知：

AB是OO的直径，点C在OO上，且/CAB=30,BD=OB,D在AB的延长线上求证：

DC是O0的切线证明：

连结OC、BC./OA=OC,/A=/1=/30./BOC=/A+/1=60.又OC=OB,OBC是等边三角形.OB=BC./OB=BD,OB=BC=BD.OC丄CD.DC是OO的切线.说明：

此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.例5如图，AB是OO的直径，CD丄AB，且OA2=ODOP.求证：

PC是OO的切线.证明：

连结OC/OA2=ODOP,OA=OC,2OC=ODOP,OCOPODOC.又/1=/1,OCPsODC./OCP=/ODC./CD丄AB,0/OCP=90.PC是OO的切线.说明：

此题是通过证三角形相似证明垂直的例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：

CE与厶CFG的外接圆相切OC,证明CE丄OC即可得解.分析：

此题图上没有画出FG的中点，为此我们取FG的中点O,连结证明：

取FG中点O,连结OC.TABCD是正方形，BC丄CD,CFG是Rt/O是FG的中点，O是RtACFG的外心./OC=OG,/3=/G,/AD/BC,/G=/4./AD=CD,DE=DE,0/ADE=/CDE=45,ADECDE（SAS）/4=/1,Z1=/3./2+/3=90,/1+/2=90.即CE丄OC.CE与厶CFG的外接圆相切二、若直线l与OO没有已知的公共点，又要证明I是OO的切线，只需作OA丄l,A为垂足，证明OA是OO的半径就行了，简称：

作垂直；证半径”例7如图，AB=AC,D为BC中点，OD与AB切于E点.又BD=CD,BDECDF（AAS）DF=DE.AC是OD的切线AB与OD相切,DE丄AB./AB=AC,BD=CD,/DE丄AB,DF丄AC,DE=DF.F在OD上.AC与OD相切.说明：

证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关例8已知：

如图，AC,BD与OO切于A、B,且AC/BD，若/COD=90.求证：

CD是OO的切线.证明一：

连结OA,OB，作OE丄CD,E为垂足.AC丄OA,BD丄OB./AC/BD,o/1+/2+/3+/4=180./COD=900,/2+/3=90,/1+Z4=90./4+/5=900./1=/5.RtAOCsRtBDO.ACOCOBOD./OA=OB,ACOCOAOD.又/CAO=/COD=900,AOCODC,/1=/2.又OA丄AC,OE丄CD,E点在OO上.CD是OO的切线.证明二：

连结OA,OB，作OE丄CD于E,延长DO交CA延长线于F.OE=OA.AC,BD与OO相切，KAC丄OA,BD丄OB./AC/BD,/F=ZBDO.又OA=OB,AOFBOD（AAS）OF=OD./COD=90,CF=CD，/1=/2.又OA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E点在OO上.CD是OO的切线.证明三：

连结AO并延长，作OE丄CD于E,取CD中点F，连结OF.AC与OO相切，AC丄AO./AC/BD,AO丄BD.BD与OO相切于B,AO的延长线必经过点B.AB是OO的直径./AC/BD,OA=OB,CF=DF,0F/AC,/仁/COF./COD=90,CF=DF,1OFCD=CF.2/2=ZCOF./仁/2./OA丄AC,OE丄CD,OE=OA.E点在OO上.CD是OO的切线说明:

证明一是利用相似三角形证明/1=/2,证明二是利用等腰三角形三线合一证明/1=/2.证明三是利用梯形的性质证明/1=/2,这种方法必需先证明A、0、B三点共线.此题较难，需要同学们利用所学过的知识综合求解以上介绍的是证明圆的切线常用的两种方法供同学们参考