微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解.docx

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微积分曹定华修订版课后题答案第九章习题详解

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微积分（曹定华）（修订版）课后题答案第九章习题详解

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第9章

习题9-1

1．判定下列级数的收敛性：

（1）（a＞0）；

（2）;

（3）;（4）;

（5）;（6）;

（7）;（8）．

解：

（1）该级数为等比级数，公比为,且,故当,即时，级数收敛，当即时，级数发散.

（2）

发散.

（3）是调和级数去掉前3项得到的级数，而调和级数发散，故原级数发散.

（4）

而,是公比分别为的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知收敛，即原级数收敛.

（5）

于是

故,所以级数发散.

（6）

不存在，从而级数发散.

（7）

级数发散.

（8）

，故级数发散.

2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：

（1）；

（2）※;

（3）;（4）．

解：

（1）都收敛，且其和分别为1和，则收敛，且其和为1+=.

（2）

故级数收敛，且其和为.

（3）,而，故级数发散.

（4）,而,

故不存在，所以级数发散.

3※．设（Un＞0）加括号后收敛，证明亦收敛．

证：

设加括号后级数收敛，其和为S.考虑原级数的部分和，并注意到，故存在,使

又显然对一切成立，于是，是单调递增且有上界的数列，因此，极限存在，即原级数亦收敛.

习题9-2

1．判定下列正项级数的收敛性：

（1）;

（2）;

（3）;（4）；

（5）（a＞0）;（6）（a,b＞0）;

（7）（a＞0）;（8）；

（9）；（10）※;

（11）;（12）；

（13）※；（14）;

（15）;（16）．

解：

（1）因为而收敛，由比较判别法知级数收敛.

（2）因为，故原级数发散.

（3）因为，而发散，由比较判别法知，级数发散.

（4）因为,而是收敛的级数,由比较判别法知,级数收敛.

（5）因为

而当时，收敛，故收敛;

当时，=发散，故发散;

当时，故发散;

综上所述，当时，级数发散，当时，收敛.

（6）因为

而当时,收敛，故收敛;

当时，发散，故而由,,故也发散;

当时，故发散;

综上所述知，当时，级数发散;当b>1时，级数收敛.

（7）因为

而发散，故级数发散.

（8）因为

而收敛，故级数收敛.

（9）因为由达朗贝尔比值判别法知，级数发散.

（10）因为，由达朗贝尔比值判别法知，级数发散.

（11）因为

由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.

（12）因为，由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.

（13）因为

由

知

由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.

（14）因为，由柯西根值判别法知级数收敛.

（15）因为

而是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛.

（16）因为而与（12）题类似地可证级数收敛，由比较判别法知级数收敛.

2．试在（0，+∞）内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：

（1）;

（2）．

解：

（1）因为

由达朗贝尔比值判别法知，当时，原级数发散;

当时，原级数收敛;

而当时，原级数变为调，它是发散的.

综上所述，当时，级数收敛.

（2）因为,由达朗贝尔比值判别法知，当即时，原级数发散;

当即时，原级收敛.

而当即时，原级数变为，而由知发散，综上所述，当时，级数收敛.

习题9-3

1．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：

（1）;

（2）;

（3）;（４）;

（5）；（6）;

（7）．

解：

（1）这是一个交错级数,,

由莱布尼茨判别法知.

又，由,及发散，知级数发散，所以级数条件收敛.

（2）因为,故

而收敛，故亦收敛，由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.

（3）因为而级数收敛，由比较判别法知收敛，因此，级数绝对收敛.

（4）因为

而收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛，从而级数绝对收敛.

（5）因为,而级数收敛的等比级数;由比值判别法，易知级数收敛，因而收敛，由比较判别法知级数收敛，所以原级数绝对收敛.

（6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因发散，故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛.

（7）因为

由比值判别法知收敛（），从而由比较判别法知收敛，所以级数，绝对收敛.

2．讨论级数的收敛性（p＞0）．

解：

当时，由于收敛，故级数绝对收敛.

当时，由于,由莱布尼茨判别法知交错级数收敛，然而，当时，发散，故此时，级数条件收敛.

综上所述，当时，原级数条件收敛;当p>1时，原级数绝对收敛.

3※．设级数及都收敛，证明级数及也都收敛．

证：

因为

而由已知及都收敛，故收敛，从而收敛，由正项级数的比较判别法知也收敛，从而级数绝对收敛.又由

及,以及收敛，利用数项级数的基本性质知，收剑，亦即收敛.

习题9-4

1．指出下列幂级数的收敛区间：

（1）（0!

=1）；

（2）；

（3）；（4）．

（5）；（6）．

解：

（1）因为，所以收敛半径，幂级数的收敛区间为.

（2）因为，所以收敛半径.

当x=e时，级数，此时，因为是单调递增数列，且1,从而，于是级数当x=e时，原级数发散.

类似地，可证当x=-e时，原级数也发散（可证）,综上所述，级数的收敛区间为（-e,e）.

（3）因为,所以收敛半径为r=2.

当时，级数是收敛的p一级数（p=2>1）;

当x=-2时，级数是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.

综上所述，级数的收敛区间为[-2,2].

（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.

令，则.

当时，即时，原级数绝对收敛.

当时，即时，级数发散，从而发散，当时，级数变为;当时，级数变为;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛.

综上所述，级数的收敛区间为[-1,1].

（5）此级数为（x+2）的幂级数.

因为.

所以收敛半径，即时，也即时级数绝对收敛.当即或时，原级数发散.

当时，级数变为是收敛的交错级数，

当x=0时，级数变为调和级数,它是发散的.

综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0）.

（6）此级数（x-1）的幂级数

故收敛半径.

于是当即时，原级数绝对收敛.

当即或时，原级数发散.

当时，原级数变为是调和级数，发散.

当时，原级数变为，是收敛的交错级数.

综上所述，原级数的收敛区间为.

2．求下列幂级数的和函数：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

解：

（1）可求得所给幂级数的收敛半径r=1.

设,则

又当x=1时，原级数收敛，且在x=1处连续.

（2）所给级数的收敛半经r=1，设,当时，有

于是

又当时，原级数发散.

故

（3）可求所给级数的收敛半径为1.

令

令,则

所以;

所以且.

当时，级数为和,它们都收敛.且显然有.

故.

（4）可求得所给级数的收敛半径为r=1且时，级数发散，设,则

于是,即.

所以

3．求下列级数的和：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

解：

（1）考察幂级数，可求得其收敛半径，且当时，级数的通项，，因而，故当时，级数发散，故幂级数的收敛区间为（-1，1）.

设，则

令,则.

再令,则.

故，从而有.

于是

取，则.

（2）考察幂级数，可求得收敛半径r=1，设

令,则.

即.

于是，从而

取则

（3）考察幂级数，可求得其级数半经为r=1,因为

令，则.

所以,于是

取，得

.

（4）考察幂级数，可求得其收敛半径r=1.

设

则.

又设则.

从而,

取，则

习题9-5

1．将下列函数展开成x的幂级数：

（1）;

（2）；（3）;（4）；（5）．

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

2．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间：

（1）,在x0＝１；

（2）cosx,在x0=;

（3）,在x0=1;（4）,在x0＝３．

解：

（1）因为,而

即）.

所以.

收敛区间为：

（-1，3）.

（2）

收敛区间为.

（3）

由且得，故收敛区间为（-1，3）

（4）因为

而

由得.

故收敛区间为（0，6）.