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培养学生画图提高解题能力
培养学生画图，提高解题能力
[摘要]在小学数学学习中，应用题是一个重点和难点。
实施新课程改革以后，注重培养学生的问题运用意识，动手操作能力，但是学生的解题能力却不升反降。
本文试从线段图对于解应用题的作用说明画线段图的必要性，从新教材对线段图的运用和学生画线段图的习惯的现状分析培养画图习惯的迫切性，并浅述一些培养画线段图分析的习惯和能力的方法。
[关键词]画图解题
《数学课程标准（实验稿）》安排了四个数学学习领域：
“数与代数”、“空间与线段图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”，老教材中非常重视的“应用题”没有单独归类，而是分散在各个知识点中，而正因为这样的编排，使应用题教学欠缺一个完整的系统性，纷繁杂碎。
很多教师在教学中往往削弱应用题教学，将其作为计算的练习题；或者和传统教学完全隔离开来，不敢越雷池半步。
因此，学生在解应用题（在新教材中一般称为“解决问题”，为了便于理解，本文中统一称作“应用题”）时经常出现不会读题、审题、解答等问题，相比于老教材的学生，解题能力有所下降。
受之以鱼，不如授之以渔，要提高学生解应用题的能力，就必须教给学生解题的策略，笔者认为画线段图对于解应用题是一个很重要的方法。
数学的“画线段图”是指为了解题的需要画一些线段图、示意图和简单的情景图等的总称，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一。
小学生的思维特点就是以具体形象为主，逐步向抽象过渡，要让学生经历运用符号和图示描述现实问题的过程，才能建立数感与符号感，发展抽象思维。
小学阶段，行程问题、分数应用题等等，很多题目都适合画图分析。
通常一画线段图，就能弄清题意，明白算理，从而列式解答出来。
不少应用题通过画图，可以拓宽解题思路，使得一题多解。
长期训练能提高学生解决问题的能力，形成良好的思维习惯。
一、画线段线段图对于解应用题的作用
1．画线段图能较为直观地、形象地反映应用题的数量关系
小学生年龄小，理解能力有限，学习应用题有一定的困难，特别是当数量关系不太明显或比较复杂时，解决应用题就更为困难。
用线段图把应用题中的各个数量及其相互关系表示出来，能使应用题的内容具体化、形象化、能帮助学生理解题意，搞清数量之间的关系，寻找出解题的方法，有利于学生的思维从形象思维向抽象思维过度。
特别是行程问题和倍数关系应用题，条件比较多，数量关系复杂，通过画线段图可以起到辅助理解的作用。
例如：
袋子中有20个白球，比红球的2倍还多2个，红球有多少个？
学生很容易列式计算为：
20×2+2=42（个）。
这是因为学生对数量关系分析错误，看到“倍”、“多”就直觉地以为应该用乘法和加法来解决。
一些学生即使明白红球才是标准量，但是却找不准二者之间的数量关系。
假如学生能将该题用以下线段线段图表示出来：
2个
20个
白球
红球
？
个
那么就不难看出白球与红球之间的关系，计算红球的个数也就非常简单：
（20－2）÷2=9（个）。
新课标教材第十一册中有两个单元是教学分数乘法和分数除法应用题，多数例题配合线段图展开教学，学生可以利用图表帮助理解，起到化难为易的作用。
由此可见编者对线段图教学的重视及其积极作用。
2．用画线段图的方法启发一题多解
用画线段图的办法能开拓学生的思维，巧妙地进行一题多解。
例如：
一个书架上有童话书和科技书共50本，童话书的
和科技书的
相等，两种书各有多少本？
根据题意画线段图：
？
本
？
本
童话书
科技书
50本
从线段图上可以看出，童话书2份，科技书3份，共5份。
第一种解法：
50×
=20（本）……童话书本数50×
=30（本）……科技书本数
第二种解法：
把童话书看作单位“1”，则科技书本数是童话书的
。
50÷（1+
）=20（本）……童话书本数20×
=30（本）……科技书本数
第三种解法：
把科技书看作单位“1”，则童话书本数是科技书的
。
50÷（1+
）=30（本）……科技书本数30×
=20（本）……童话书本数
通过画线段图，使数量关系更加明显、直观。
学生在清楚认识到各数量之间关系的基础上思路更加开阔，以呈现多样化的解题方式。
3．培养思维能力
在数学教学中，运用线段图的目的不仅仅是帮助学生解决某些具体问题，提高解决问题的能力，更重要的是使学生学会“数学地思考”。
从刚才各题画线段图过程中不难看出，画线段图不单单只是帮助解决某一题，它是一种思维能力，在画线段图过程中，问题由“文字表征”向“形象表征”再到“数学表征”转换，内潜着广阔的思维空间，需要学生主动地进行观察、比较、调整、猜测、想象、推理等一系列智力活动才能实现。
可以说，学生运用线段图解决问题的过程就是学生数学思考的发展过程。
二、新教材对线段图的运用及学生画线段图习惯的现状
线段图作为一种有效的且重要的解决问题的策略，在人教版实验教材中出现不多。
首先出现线段图是第五册第二单元“万以内减法”例1，而在第一至第四册的教材中所出现的多为图文结合的情境图或实物示意图等，在之后的教材中线段图出现的次数也很少。
从平时教学时可以看出，学生没有养成画图的习惯，尤其在解决行程问题、分数应用题等适合画图分析的一些题目时，学生在解答时存在很多问题。
通过调查发现：
在实际教学中，出现以下几种现象：
（1）学生会做题，不会画图。
（2）学生在解题时，想不到通过画图去分析解答。
学生几乎丧失了“画图”的主动需求，只是一味地被动接受。
（3）学生即使结合题意画了图，解题时却也懒得去分析图上的数量关系，甚至连图也不看，纯粹是为了画而画。
（4）学生画不出图，更谈不上去正确解题。
出现以上问题，大致有以下几种原因：
1、学生了解画图的意义，但不了解画图的重要作用，只是肤浅的认为有好处。
2、他们体验不到“画图”的好处，只是普遍认为画图太麻烦，甚至对“画图”产生了厌恶之情，觉得“画图”就是一个累赘。
3、因为学生不喜欢画图，遇到难题时缺少画图意识，也就谈不上通过画图来解答了。
在小学数学教学中，画图能为学生提供恰当的形象材料，可以将抽象的数量关系具体化，不仅有利于学生顺利地学好数学知识，更有利于学生学习能力的增强，使教学收到事半功倍之效。
最关键一点，能使抽象枯燥的数学知识，形象化具体化，使得数学教学充满乐趣，从而激发学生学习的浓厚兴趣，产生学习热情。
三、培养学生画线段图分析的习惯和能力
1、让学生形成画线段图的主动性
学生运用线段图的真正动因来源于学生自身成功解决问题的需要。
因此，是否画线段图应由学生根据自己的实际需要来确定。
只有当学生有画线段图的心理需求但又存在客观困难时，教师画线段图才是善解人意的关怀与帮助。
例如三年级学习初级“和倍问题”，以三年级学生的认知水平，很多学生并不能很好地掌握“和÷（倍数+1）=1倍数”的解题方法，后续练习时仍有不少学生不会解答，个别学生还在草稿纸上涂画，希望能找出几个量之间的关系。
学生的年龄特征决定大部分学生很难从字面上分析理解数量之间深层次的关系，尤其是对非几何图形的应用题。
当发现学生有了变抽象为形象的主体愿望，教师就可以适时教授画线段图的方法。
学生通过画线段图明了了各数据之间的数量关系，解答也就水到渠成了。
2、教师要引导学生绘制使用各式图
线段图可以帮助学生更准确解题，在学生具备构造线段图的相关知识和能力的基础上，教师还应给予学生“怎样画”的自主权，让学生从自己的知识经验出发去自主构造。
教学实际表明，让学生从自己的知识经验出发自主构造线段图常常会有更好的效果。
当数量关系是两数的和、差、比等时，都可以用线段图来表示，除了线段图以外，常用的图解方法还有几种：
（1）形象图。
即把题目中的条件用图画或图形使其形象化，并且把题目的条件和问题联系起来。
这种方法一般用在低段教学中。
比如一年级的一题“鸡兔同笼”问题：
鸡和兔子关在一起，一共有7个头，20条腿，有几只鸡，几只兔子？
有学生得出了如下解题方法：
根据条件先画7个圈代表头，然后每个圈下面画上两条腿，如图：
最后，将“剩余”的6条腿画到图上去，如图：
从图中能很明确地得出结论是3只兔子，4只鸡。
我在教学中反馈了学生的这种方法并加以推广，取得了较好的教学效果。
（2）平面图形图。
如果题目中的数量关系是两数的积，一般的我们用长方形的一边表示一个因数，另一边表示另一个因数。
通常要表示两个乘积之和，就把两块面积连接起来，若表示两个乘积之差，就把两个面积叠合在一起。
例如：
甲、乙两人一起加工零件，在相同的时间里共完成100个零件，其中甲每天加工12个，乙每天加工13个，问两人各加工多少天？
根据题意可画出如下长方形图：
12个
13个
天数
共完成100个
画出长方形图后，根据面积=长×宽，立即可得出天数=100÷（12+13）=4（天）
再如：
一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。
求原来梯形面积是多少平方厘米？
根据题意画平面图：
从图中可以看出：
上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－l＝O.5倍。
所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。
（3）立体图，一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。
如，把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。
原来正方体的表面积是多少平方米？
如果只凭想象，做起来比较困难。
按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。
按题意画立体图：
从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。
原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。
（4）表格图，有些问题，通过列表不仅能分清题目的条件和问题，而且便于区分比较，起到良好的审题作用。
如，小明3次搬运15块砖，照这样计算，小明又搬了4次，共搬多少块砖？
根据条件、问题，列出易懂的表格，能清楚看出已知条件和所求问题。
3次
15块
又搬4次
共搬？
块
从表中不难看出，又搬4次和共搬多少块，这两个数量不相对应，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少块，列式为：
15÷3×（3＋4）＝35（块）另一种思路为，先求又搬4次搬的块数，再加上原有的块数，就是共搬的块数。
列式为：
15÷3×4＋15＝35（块）
再如，如，有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币，要拿出8分钱，一共有多少种拿法？
这道题从表面看一点也不难，但是要不重复。
不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易，可以用枚举法把各种情况一一列举出来，把思路写出来。
五分币（1个）
1
1
贰分币（4个）
1
1
2
3
4
壹分币（8个）
1
3
6
4
2
8
拿的方法
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
从图表中可以清楚着出不同的拿法。
此题一共有不重复的7种拿法。
教师要引导学生根据不同的题目选择不同的图解方法，这样才能加深对题意的理解，帮助分析数量关系，找出解题途径。
3、注重画线段图的方法，准确分析数量关系
教学分数应用题时，线段图起到了很好的辅助理解的作用。
但因题目的多样性，线段图也各有不同，一些学生因选择不当而不能用图正确表示题意。
画线段图应首先确定画单线分段图还是复线并列图，一般原则是，如果题中的几个量是整体与部分关系时，要画单弦分段图；如果几个量是并列关系时，要画复线并列图。
其次，画出的线段图量率对应要明显。
只有将线段图画准确，才能将数量关系分析清楚。
4、进行画线段图分析的训练，培养画图的习惯和能力
在平时的教学中，教师应规范地作图帮助学生分析，同时也可以作画线段图的强化训练，比如看图说题意、比较线段图、看图编写应用题、参照例题作图等。
让学生在训练中培养画图分析的习惯，提高画线段图分析的能力。
在最常用线段图的行程问题教学中，可以采用如下三部曲教学线段图：
①演示问题情景。
利用实物模拟演示问题的情景，使学生在脑中构建一副生动的实物形象图。
②画实物形象图。
根据演示，准确理解问题中“相向”、“相背”、“反向”、“相遇”等词的意义，然后完整地描述实物形象图所反映的运动变化过程并画图，画完后反思检验图的正确性。
③抽象出线段图。
在行程问题中，运动着的每一个物体都有初始状态、终止状态以及运行过程，抓住特征，用“点”代替运动变化的物体，用“线段长”代替物体运动过程中所行走的距离，画完后再次检查。
这三步骤可以帮助学生有序思考画线段图的方法，通过画图理解题意，分析图找到解题方法。
5、培养学生画线段图时的反思自觉性
运用线段图解题的过程包括构造线段图和分析线段图两个阶段。
线段图构造过程中的反思，主要表现为主体在构造过程中能自觉地在线段图与问题的相互比照中，适时作出必要的修正，使图与题相吻合。
线段图分析过程中的反思，主要是主体自我评价采用的分析方法是否恰当，能否起到帮助解题的作用。
要避免学生错误作图，培养学生画与思相结合，真正发挥线段图辅助的作用。
以上是笔者对运用线段图解决问题的一点思考和做法。
解决问题是新课程理念的要求与具体体现，线段图是促进知识建构的重要手段，培养学生画线段图，从点线之中找到解题的钥匙具有积极的意义，值得每一位数学教师认真思考，并在教学实践中积极探索，不断积累。
当然，要提高学生画图解题的能力也不是一朝一夕的事。
俗话说，要想练就一身过硬的本领，就必须得拳不离手，曲不离口，画图解题能力的培养也是如此。
总之，学生画图解题能力的培养，并非一朝一夕、一蹴而就的，它是一个日积月累的过程。
我们要不断加强训练，培养学生良好的画图习惯，提高学生画图解决问题的能力，增进学生的思考力与理解力以及表达能力，为以后的教学打下坚实的基础。
[参考文献]
1．马芯兰、温寒江着：
《小学数学能力的培养与实践》[M]山东教育出版社2000年4月第1版
2．刘建华《小学数学应用题复习教学的技巧》甘肃教育2005.9
3．刘崇熙《必须重视画线段图的训练》中学数学杂志（初中）2006.12
4．张彪《试论线段图策略运用的合理性》小学教学研究2006.9
5．王兴权、刘进有编《小学数学应用题分析》[M]甘肃人民出版社1980年10月第1版P5-7
6．陈惠《让画图常“驻”数学课堂》
浙大附小朱萍
2010.8
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