18学年高中数学第一章算法初步第3节算法案例教学案新人教A版必修3.docx
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18学年高中数学第一章算法初步第3节算法案例教学案新人教A版必修3
第3节算法案例
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P34～P45，回答下列问题．
（1）小学学过的求两个正整数的最大公约数的方法是什么？
提示：
先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来．
（2）辗转相除法的操作步骤是什么？
提示：
两个数中用较大的数除以较小的数，求得商和余数，再用除数除以余数，如此重复，直到所得余数为0，即可求得两个数的最大公约数．
（3）更相减损术的操作步骤什么？
提示：
第一步，任意给定两个正整数，判定它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步．
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
（4）应用秦九韶算法求多项式的值时应怎样操作？
提示：
求多项式的值时，先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外逐层计算一次多项式vk（k＝2,3,4，…，n）的值．
（5）将k进制数转化为十进制的方法是什么？
提示：
“除k取余法”．
2．归纳总结，核心必记
（1）辗转相除法与更相减损术
①辗转相除法：
又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法．
②更相减损术：
我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数的算法．
（2）秦九韶算法
求多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个一次多项式的值，共进行n次乘法运算和n次加法运算．其过程是：
改写多项式为：
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝（anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1）x＋a0
＝（（anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2）x＋a1）x＋a0＝…
＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0.
设v1＝anx＋an－1，
v2＝v1x＋an－2，
v3＝v2x＋an－3，
……
vn＝vn－1x＋a0.
（3）进位制
①进位制
进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．
②其他进位制与十进制间的转化
（ⅰ）其他进位制化成十进制
其他进位制的数化成十进制时，表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式．
（ⅱ）十进制化成k进制的方法——“除k取余法”．
[问题思考]
（1）辗转相除法与更相减损术有什么联系？
提示：
①都是求两个正整数的最大公约数的方法．
②二者的实质都是递推的过程．
③二者都是用循环结构来实现．
（2）辗转相除法与更相减损术有什么区别？
提示：
辗转相除法
更相减损术
区别
①以除法为主．
②两个整数差值较大时运算次数较少．
③相除余数为零时得结果
①以减法为主．
②两个整数的差值较大时，运算次数较多．
③相减，差与减数相等得结果．
④相减前要做是否都是偶数的判断
（3）当所给的多项式按x的降幂排列“缺项”时，用秦九韶算法改写多项式时，应注意什么？
提示：
所缺的项写成系数为零的形式，即写成0·xn的形式．
[课前反思]
通过以上预习，必须掌握的几个知识点：
（1）辗转相除法是什么？
；
（2）更相减损术是什么？
；
（3）秦九韶算法是什么？
；
（4）进位制及进位制间的互化：
.
观察如图所示的内容：
[思考1] 辗转相除法的算理是什么？
名师指津：
所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数．若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数．
[思考2] 更相减损术的算理是什么？
名师指津：
所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数．
讲一讲
1．用辗转相除法求612与468的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
[尝试解答] 用辗转相除法：
612＝468×1＋144,468＝144×3＋36,144＝36×4，
即612和468的最大公约数是36.
用更相减损术检验：
612和468为偶数，两次用2约简得153和117,153－117＝36,117－36＝81,81－36＝45,45－36＝9,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9，
所以612和468的最大公约数为9×2×2＝36.
求最大公约数的两种方法步骤
（1）利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数，即利用带余除法，用数对中较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的数对，再利用带余除法，直到大数被小数除尽，则这时的较小数就是原来两个数的最大公约数．
（2）利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的一般步骤是：
首先判断两个正整数是否都是偶数．若是，用2约简，也可以不除以2，直接求最大公约数，这样不影响最后结果．
练一练
1．用辗转相除法求840与1785的最大公约数；
解：
因为1785＝840×2＋105，
840＝105×8.
所以840和1785的最大公约数是105.
观察如图所示的内容：
[思考] 秦九韶算法的原理是什么？
名师指津：
秦九韶算法是按从内到外的顺序依次计算求值的．
设f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，将其改写为
f（x）＝（anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1）x＋a0
＝（（anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2）x＋a1）x＋a0
＝…
＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0
令v0＝an，则有公式
其中k＝1,2，…，n.
这样我们便可由v0依次求出v1，v2，…，vn：
v1＝v0x＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，
vn＝vn－1x＋a0.
讲一讲
2．利用秦九韶算法求多项式f（x）＝x6－5x5＋6x4＋x2＋3x＋2当x＝－2时的值为（ ）
A．320 B．－160 C．－320 D．300
[尝试解答] 将多项式变式为f（x）＝（（（（（x－5）x＋6）x＋0）x＋1）x＋3）x＋2，v0＝1，v1＝－2＋（－5）＝－7，v2＝－7×（－2）＋6＝20，v3＝20×（－2）＋0＝－40，v4＝－40×（－2）＋1＝81，v5＝81×（－2）＋3＝－159，v6＝－159×（－2）＋2＝320，即x＝－2时，多项式的值为320.
答案：
A
利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．
练一练
2．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋6x4＋5x5＋3x6在x＝－4时的值时，v3的值为（ ）
A．－144B．－136
C．－57D．34
解析：
选B 根据秦九韶算法多项式可化为f（x）＝（（（（（3x＋5）x＋6）x＋0）x－8）x＋35）x＋12.
由内向外计算v0＝3；
v1＝3×（－4）＋5＝－7；
v2＝－7×（－4）＋6＝34；
v3＝34×（－4）＋0＝－136.
观察如图所示的内容：
[思考1] 进位制应如何表示？
名师指津：
若一个数为十进制数，其基数可以省略不写，若是其他进位制，在没有特别说明的前提下，其基数必须写出，常在数的右下角标明基数．
[思考2] 常见的进位制有哪些？
名师指津：
（1）二进制：
①只使用0和1两个数字；②满二进一，如1＋1＝10
（2）．
（2）八进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7八个不同数字；
②满八进一，如7＋1＝10（8）；
（3）十六进制：
①使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A，B，C，D，E，F这十六个不同的数码，其中A，B，C，D，E，F分别代表十进制中的10,11,12,13,14,15；
②满十六进一，如F＋1＝2＋E＝10（16）．
讲一讲
3．
（1）把二进制数101101
（2）化为十进制数；
（2）把十进制数458转化为四进制数．
[尝试解答]
（1）101101
（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝32＋8＋4＋1＝45，
所以二进制数101101
（2）转化为十进制数为45.
（2）
458＝13022（4）．
进位制的转换方法
（1）将k进制转化为十进制的方法是：
先将这个k进制数写成各个数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果．
（2）十进制转化为k进制，采用除k取余法，也就是除基数，倒取余．
练一练
3．
（1）二进制数算式1010
（2）＋10
（2）的值是（ ）
A．1011
（2） B．1100
（2）
C．1101
（2）D．1000
（2）
（2）下列各组数中最小的数是（ ）
A．1111
（2）B．210（6）
C．1000（4）D．101（8）
解析：
（1）选B 二进制数的加法是逢二进一，所以选B.
（2）选A 统一化为十进制数为1111
（2）＝15；210（6）＝78；1000（4）＝64；101（8）＝65.
——————————————[课堂归纳·感悟提升]——————————————
1．本节课的重点是会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数，会用秦九韶算法求多项式的值，会在不同进位制间进行相互转化．难点是会用秦九韶算法求多项式的值．
2．本节课要掌握以下几类问题：
（1）掌握求最大公约数的两种方法步骤，见讲1.
（2）掌握秦九韶算法步骤，见讲2.
（3）进位制的转换方法，见讲3.
3．本节课的易错点有两个：
（1）弄不清秦九韶算法的原理而致错，如讲2；
（2）进位制之间转换的方法混淆而致错，如讲3.
课下能力提升（八）
[学业水平达标练]
题组1 辗转相除法与更相减损术
1．下列关于利用更相减损术求156和72的最大公约数的说法中正确的是（ ）
A．都是偶数必须约简
B．可以约简，也可以不约简
C．第一步作差为156－72＝84；第二步作差为72－84＝－12
D．以上都不对
解析：
选B 约简是为了使运算更加简捷，故不一定要约简，A错．C中第二步应为84－72＝12，故选B.
2．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需做减法运算的次数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
解析：
选C 294－84＝210,210－84＝126,126－84＝42,84－42＝42，共做4次减法运算．
3．1624与899的最大公约数是________．
解析：
1624＝899×1＋725，
899＝725×1＋174，
725＝174×4＋29，
174＝29×6，
故1624与899的最大公约数是29.
答案：
29
4．用两种方法求210与98的最大公约数．
解：
用辗转相除法：
210＝98×2＋14，
98＝14×7.
∴210与98的最大公约数为14.
用更相减损术：
∵210与98都是偶数，用2约简得
105和49，
105－49＝56,56－49＝7，
49－7＝42,42－7＝35，
35－7＝28,28－7＝21，
21－7＝14,14－7＝7.
∴210与98的最大公约数为2×7＝14.
题组2 秦九韶算法
5．用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是（ ）
A．4×4＝16B．7×4＝28
C．4×4×4＝64D．7×4＋6＝34
解析：
选D 因为f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4的值时，先算的是7×4＋6＝34.
6．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是（ ）
A．6,6B．5,6
C．5,5D．6,5
答案：
A
7．利用秦九韶算法求多项式f（x）＝3x6＋12x5＋8x4－3.5x3＋7.2x2＋5x－13当x＝6时的值，写出详细步骤．
解：
f（x）＝（（（（（3x＋12）x＋8）x－3.5）x＋7.2）x＋5）x－13.
v0＝3，
v1＝v0×6＋12＝30，
v2＝v1×6＋8＝188，
v3＝v2×6－3.5＝1124.5，
v4＝v3×6＋7.2＝6754.2，
v5＝v4×6＋5＝40530.2，
v6＝v5×6－13＝243168.2.
所以f（6）＝243168.2.
题组3 进位制及其转化
8．以下各数有可能是五进制数的是（ ）
A．15B．106
C．731D．21340
解析：
选D 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.
9．完成下列进位制之间的转化．
（1）1034（7）＝________（10）；
（2）119（10）＝________（6）．
解析：
（1）1034（7）＝1×73＋0×72＋3×7＋4×70＝368.
（2）
∴119（10）＝315（6）．
答案：
（1）368
（2）315
10．若k进制数123（k）与十进制数38相等，则k＝________.
解析：
由k进制数123可知k≥4.
下面可用验证法：
若k＝4，则38（10）＝212（4），不合题意；
若k＝5，则38（10）＝123（5）成立，所以k＝5.
答案：
5
11．若10b1
（2）＝a02（3），求数字a，b的值及与此相等的十进制数．
解：
∵10b1
（2）＝a02（3），
∴1×23＋b×2＋1＝a×32＋2，
且a只能取1,2，b只能取0,1.
整理得9a－2b＝7.
当b＝0时，a＝
（不合要求，舍去）；
当b＝1时，a＝1.
∴a＝b＝1.
∴102（3）＝1011
（2），
转化为十进制数为1×32＋2＝11.
[能力提升综合练]
1．用秦九韶算法求多项式f（x）＝x3－3x2＋2x－11当x＝x0时的值时，应把f（x）变形为（ ）
A．x3－（3x－2）x－11
B．（x－3）x2＋（2x－11）
C．（x－1）（x－2）x－11
D．（（x－3）x＋2）x－11
解析：
选D f（x）＝x3－3x2＋2x－11＝（x2－3x＋2）x－11＝（（x－3）x＋2）x－11，故选D.
2．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（ ）
A．5,150B．15,450
C．450,15D．15,150
解析：
选B 利用辗转相除法求45和150的最大公约数：
150＝45×3＋15,45＝15×3,45和150的最大公约数为15.45和150的最小公倍数为15×（45÷15）×（150÷15）＝450，故选B.
3．下列各数中，最小的是（ ）
A．101010
（2）B．111（5）
C．32（8）D．54（6）
解析：
选C 101010
（2）＝1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋0×20＝42,111（5）＝1×52＋1×51＋1×50＝31,32（8）＝3×81＋2×80＝26,54（6）＝5×61＋4×60＝34.
又42>34>31>26，故最小的是32（8）．
4．（2016·福州高一检测）三进制数2022（3）化为六进制数为abc（6），则a＋b＋c＝________.
解析：
2022（3）＝2×33＋0×32＋2×31＋2×30＝62.
三进制数2022（3）化为六进制数为142（6），
∴a＋b＋c＝7.
答案：
7
5．用秦九韶算法求多项式f（x）＝1－5x－8x2＋10x3＋6x4＋12x5＋3x6当x＝－4时的值时，v0，v1，v2，v3，v4中最大值与最小值的差是________．
解析：
多项式变形为
f（x）＝3x6＋12x5＋6x4＋10x3－8x2－5x＋1
＝（（（（（3x＋12）x＋6）x＋10）x－8）x－5）x＋1，
v0＝3，
v1＝3×（－4）＋12＝0，
v2＝0×（－4）＋6＝6，
v3＝6×（－4）＋10＝－14，
v4＝－14×（－4）－8＝48，
所以v4最大，v3最小，所以v4－v3＝48＋14＝62.
答案：
62
6．有甲、乙、丙三种溶液分别重147g、343g、133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶装入液体的质量相同，问每瓶最多装多少？
解：
先求147与343的最大公约数．
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98，
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数．
133－49＝84，
84－49＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7.
所以147,343,133的最大公约数为7.
所以每瓶最多装7g.
7．古时候，当边境有敌人来犯时，守边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，如图，烽火台上点火，表示数字1，不点火表示数字0，约定二进制数对应的十进制的单位是1000，请你计算一下，这组烽火台表示约有多少敌人入侵？
解：
由图可知从左到右的五个烽火台，表示二进制数的自左到右五个数位，依题意知这组烽火台表示的二进制数是11011，改写为十进制为：
11011
（2）＝1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝16＋8＋2＋1＝27（10）．
又27×1000＝27000，
所以这组烽火台表示边境约有27000个敌人来犯.
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