人教版中考数学真题及答案.docx

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人教版中考数学真题及答案

人教版中考数学真题及答案

一、函数与几何综合的压轴题

1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：

A（-2,-6）,C（1,-3）

（1）求证：

E点在y轴上；

（2）如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.

（3）如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k（k>0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.

图①

[解]

（1）（本小题介绍二种方法，供参考）

方法一：

过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC

∴

又∵DO′+BO′=DB

∴

∵AB=6，DC=3，∴EO′=2

又∵，∴

∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上

方法二：

由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：

y=2x-2①

再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：

y=-x-2②

联立①②得

∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上

（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c（a≠0）过A（-2，-6），C（1，-3）

E（0，-2）三点，得方程组

解得a=-1,b=0,c=-2

∴抛物线方程y=-x2-2

（3）（本小题给出三种方法，供参考）

由

（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。

同

（1）可得：

得：

E′F=2

方法一：

又∵E′F∥AB，∴

S△AE′C=S△ADC-S△E′DC=

==DB=3+k

S=3+k为所求函数解析式

方法二：

∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA

∴S△AE′C=S△BDE′

∴S=3+k为所求函数解析式.

证法三：

S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2

同理：

S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4

∴

∴S=3+k为所求函数解析式.

2.（2004广东茂名）已知：

如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.

（1）求点A的坐标；

（2）设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：

直线AB是否⊙M的切线？

并对你的结论加以证明；

（3）连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线

y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.

[解]

（1）解：

由已知AM＝，OM＝1，

在Rt△AOM中，AO＝，

∴点A的坐标为A（0，1）

（2）证：

∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1　　∴y＝x＋1

令y＝0则x＝－1　　　　∴B（—1，0），

AB＝

在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2

∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°

∴直线AB是⊙M的切线

（3）解法一：

由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，

∴BC＝

∵∠BAC＝90°　∴△ABC的外接圆的直径为BC，

∴

而　

　，

设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：

y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5

∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5

解法二：

（接上）求得∴h＝5

由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）

∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5

又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5

∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5

解法三：

（接上）求得∴h＝5

因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

由已知得

∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.

3.（2004湖北荆门）如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.

（1）求⊙P上劣弧的长；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？

若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

[解]

（1）如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.

　在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,

∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°

的长＝

（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.

又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），

由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，

则C（1，－3）.

点A、B、C在抛物线上，则

　　解之得

抛物线解析式为

（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.

又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.

又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），

使线段OC与PD互相平分.

4.（2004湖北襄樊）如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.

（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）请猜想：

直线EF与两圆有怎样的位置关系？

并证明你的猜想.

（3）在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：

在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？

若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.

[解]

（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，

∴△AOC≌△COB.

∴OC2＝OA·OB.

∵OA∶OB＝3∶1,C（0,）,

∴

∴OB＝1.∴OA＝3.

∴A（-3,0）,B（1,0）.

设抛物线的解析式为

则解之，得

∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为

（2）EF与⊙O1、⊙O2都相切.

证明：

连结O1E、OE、OF.

∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,

∴四边形EOFC为矩形.

∴QE＝QO.

∴∠1＝∠2.

∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，

∴EF与⊙O1相切.

同理：

EF理⊙O2相切.

（3）作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.

∵MN∥OA,

∴△CMN∽△CAO.

∴

∴

解之，得

此时，四边形OPMN是正方形.

∴

∴

考虑到四边形PMNO此时为正方形，

∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.

故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或

5.（2004湖北宜昌）如图，已知点A（0，1）、C（4，3）、E（，），P是以AC为对角线的矩形ABCD内部（不在各边上）的—个动点，点D在y轴，抛物线y＝ax2+bx+1以P为顶点．

（1）说明点A、C、E在一条条直线上；

（2）能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?

请说明理由；

（3）设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G（F在G的左侧），△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?

若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．

（本题图形仅供分析参考用）

[解]

（1）由题意，A（0，1）、C（4，3）确定的解析式为：

y=x+1.

将点E的坐标E（，）代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，

∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E

在一条直线上.

（2）解法一：

由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下

解法二：

∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.

（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，

∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，

即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，

∴b=—6a,

∴抛物线解析式为：

y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，

∴1＜1—9a＜3,∴—＜a＜0.

∴x=0或x==6+.

当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交

点，则有：

0＜6+≤，解得：

—≤a＜—

综合得：

—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜

6.（2004湖南长沙）已知两点O（0，0）、B（0，2），⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.

（1）求⊙A的半径；

（2）若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；

（3）过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；

（4）若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.

[解]

（1）由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90º

再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝

（2）⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx

任取l上一点（b，kb），由l与y轴夹角为45º可得：

b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，

∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x

又由r＝，易得C（2，0）或C（－2，0）

由此可设抛物线解析式为y＝ax（x－2）或y＝ax（x＋2）

再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1

∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x……6分

（3）当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P（m，－m）（m＞0）

过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，

又由切割线定理可得：

OP2＝PC·PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分

∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E（－2，2）…8分

同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E（－2，2）

（4）若C（2，0），此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，

当m＜0时，FC＝2（2－m），高为|yp|即为－m，

∴S＝

同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；

∴S＝又若C（－2，0），

此时l为y＝x，同理可得；S＝

7.（2006江苏连云港）如图，直线与函数的图像交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．

（1）若的面积是的面积的倍，求与之间的函数关系式；

（2）在

（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．

[解]

（1）设，（其中），

由，得

∴··（····），，

又，∴，即，

由可得，代入可得①

∴，，　　　　　　

∴，即．

又方程①的判别式，

∴所求的函数关系式为．

（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点．

则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．

∵与都与互余，∴．

∴Rt∽Rt，∴．

∴，∴，∴，

即②

由

（1）知，，代入②得，

∴或，又，∴或，

∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．