10第十章圆锥曲线.docx

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10第十章圆锥曲线

第十章圆锥曲线

★知识网络★

第1讲椭圆

★知识梳理★

1.椭圆定义：

（1）第一定义：

平面内与两个定点Fl、F2的距离之和为常数2a（2a」F2F2|）的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点•

当PF1+PF2=2aAF1F2时，P的轨迹为椭圆；；

当PF1+PF2|=2ac|F1F2时，P的轨迹不存在；

当PF1+PF2=2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的线段

（2）椭圆的第二定义：

平面内到定点F与定直线1（定点F不在定直线1上）的距离之比是常数e（°：

：

：

e：

：

1）的点的轨迹为椭圆

（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）

2•椭圆的方程与几何性质

标准方程

22

于”5°）

22

yx

孑=1（a〉b>0）

性

质

参数关系

a2=b2+c2

焦占

八'、八、、

（c,0）,（_c,0）

（0,c）,（0,-c）

焦距

2c

范围

|x|兰a,|y|兰b

1y|Ea,|x|兰b

顶点

（-a,0）,（a,0）,（0,4）,（0,b）

（0,-a）,（0,a）,（-b,0）,（b,0）

对称性

关于x轴、y轴和原点对称

离心率

c

e=—乏（0,1）

a

准线

2

a

x=土——

c

2ay=±—c

22

4•直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交：

=“°；直线与椭圆相切=“=°；直线与椭圆相离=：

：

:

0

★重难点突破★

重点:

掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用难点:

椭圆的几何元素与参数a，b，c的转换

重难点:

运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数a,b,c的关系

1•要有用定义的意识

22

乞4=1

问题1已知F1、F2为椭圆259的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点若

F2A+IF2B=12，则AB=［解析fABF2的周长为4a=20，-AB=8

3•点P（Xo,yo）与椭圆

专乍"ab0）的位置关系

22

x丄y

12'2

时，点P在椭圆外；当ab

1时.点P在椭圆内

22

x2y2=1

当ab时，点P在椭圆

2•求标准方程要注意焦点的定位

22

xy’

1

问题2椭圆4m的离心率为

［解析］当焦点在x轴上时,

当焦点在y轴上时,

.、m-41—16

-:

m

vm23

16

m

综上3或3

★热点考点题型探析★

考点1椭圆定义及标准方程题型1:

椭圆定义的运用

［例1］（湖北部分重点中学2009届高三联考）椭圆有这样的光学性质：

从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点

A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是

A.4aB.2（a—c）C.2（a+c）D.以上答案均有可能

［解析］按小球的运行路径分三种情况：

（1）A-C-A，此时小球经过的路程为2（a—c）;

⑵A-B-D-B-A,此时小球经过的路程为2（a+c）;

⑶A-P-B-Q-A此时小球经过的路程为4a,故选D

【名师指弓I】考虑小球的运行路径要全面

【新题导练】

1.（20072佛山南海）短轴长为

离心率

2

3的椭圆两焦点为F1,F2,过F1作直线交

椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）

A.3B.6

C.12

D.24

［解析］C.长半轴a=3,AABF2的周长为4a=12

2.（广雅中学2008—2009学年度上学期期中考

）已知P为椭圆2516

=1

上的一点,

M,N分

别为圆（x+3）2+『二1和圆（X-3）2=4上的点，则PM+PN的最小值为（）

A.5B.7C.13

［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，

10-1-2=7

D.15

|PC||PD尸10

PM十PN

的最小值为

题型2求椭圆的标准方程

［例2］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4—4,求此椭圆方程.

【解题思路】将题中所给条件用关于参数

a，b，c的式子“描述”出来

222

2,21,2

［解析］设椭圆的方程为ab或b

2

工

2

a

=1（a■b■0）

b=c

«a-c=4（后—1）

2J丄2

abc

解之得：

a=4'、2,b=c=4•则所求的椭圆的方程为

22

xy“

1

3216或16

2

—1

32

【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.

［警示］易漏焦点在y轴上的情况.

【新题导练】

3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是

2

_y_x2T2

［解析］（0,1）.椭圆方程化为2+k=1.焦点在y轴上，则k>2,即卩k<1.

又k>0,「.0

2•2•

4•已知方程x込二ysin”1，"（0,二）,讨论方程表示的曲线的形状

'：

：

:

二（0,—）

［解析］当4时，sin「：

：

cosr，方程表示焦点在y轴上的椭圆,

当4时，sinv「cosd，方程表示圆心在原点的圆,

兀

（4

2）时,

sin^•cost，方程表示焦点在

x轴上的椭圆

5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程•

x2y2x2y2

12+9=1或9+12=1

』a-c=V3一』a=2J§

［解析］02c2^3，”•.”b=3，所求方程为

考点2椭圆的几何性质

题型1:

求椭圆的离心率（或范围）

［例3］在SBC中，•A=30JABQ'S.abc八3.若以A,B为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=.

【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率

A

S告BC=丄|AB|IAC|sinA=a/3

［解析］…2

•.|AC|=2^3IBC|=J|AB|2+|AC|2-2|AB|・|AC|cosA=2|AB|2•、3-1

e

—

—>=

|AC||BC|2,322

【名师指引】

（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定

（2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）

（3）“焦点三角形”应给予足够关注

【新题导练】

6.

）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍

（执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试那么这个椭圆的离心率为

532

［解析］选B

7.（江苏盐城市三星级高中

2009届第一协作片联考）已知

m,n,m+n成等差数列，m,n,mn

成等比数列，则椭圆

22

K1

mn的离心率为

2n=2mn

［解析］由jmn”0

'm=2

n=4

22

L—1

椭圆mn的离心率为

近的点，远地点是距离地面最远的点）圆的离心率（）

A.不变B.变小

［解析］

a+c=n

a二

二m+n

"a'+c'=2n

二*

•••

二［

a—c=m

&=

=n—m

aY=2m

a^2（mn）c‘=2（n-m）

8.（山东济宁2007—2008学年度高三第一阶段质量检测）

我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。

嫦娥一号绕地球运

m,

行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。

若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为

远地点到地心的距离为n,第二次变轨后两距离分别为2m、2n（近地点是指卫星距离地面最

，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭

C.变大D.无法确定

题型2:

椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）

22

x.y1

I22

［例4］已知实数X,y满足

42，求xy■x的最大值与最小值

22

【解题思路】把xy-x看作x的函数

22

［解析］由42

=1

得

^-1x2

12

.2x_0.-2_x_2

2

x2y2—xx2—x2=；（x一1）23，x［-2,2］

3

2*2—c2*2

当X"时,xy-x取得最小值2,当x=「2时,xy-X取得最大值6

【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错

【新题导练】

22—1一—

9•已知点A，B是椭圆mn（m・0，n0）上两点，且A°#.BO,则’=

［解析］由AO二’BO知点A，0,B共线,因椭圆关于原点对称，•‘=-1

10.如图，把椭圆2516

的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部

分于R,R,P3,P4,R,P6,B七个点，F是椭圆的一个焦点

则|RFf|f3f|+Rf+rf|+|F6F|+|P7F二

［解析］由椭圆的对称性知：

RF+时|=卩2卩|+苛=RF+RF=2a=35

考点3椭圆的最值问题

题型：

动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值

22

.丄=1

［例5］椭圆169上的点到直线|：

x+y-9=0的距离的最小值为

【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数

［解析］在椭圆上任取一点

R设p（4co^,3si^）.那么点p到直线|的距离为:

14cos^3sinJ-12|

2

=—|5sin

（二）-9|

-22.

【名师指引】也可以直接设点P（x,y），用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数,

关键是要具有“函数思想”

【新题导练】

X2

11.椭圆16

=1

的内接矩形的面积的最大值为

［解析］设内接矩形的一个顶点为（4cosh3sin二），

矩形的面积S=48sinrcost-24sin2v":

:

24

22

x_+y_=1

12.P是椭圆ab上一点，匕、F2是椭圆的两个焦点，求1PF111PF21的最大值与

最小值

[解析]IPF1I|PF2|=|PF1|（2a-|PF1|）—（|PF1|-a）2a2,|PF1|[a-c,ac]

当|PF1|=a^，|PF1||PF2|取得最大值a2，

当〔PR〔=a_c时，丨PR||PF21取得最小值b2

13.

（20072惠州）已知点P是椭圆

2

x2

XTy

=1

上的在第一象限内的点,

又A（2,0）、B（0,1）

O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是

[解析]

设

P（2cos）,sinr）,r

JI

（0,2）

1

SOAPB=SOPA'SOPBOAS

2

1tOB

2

2nJS卄cs

二

S

考点4椭圆的综合应用

题型：

椭圆与向量、解三角形的交汇问题

［例6］已知椭圆C的中心为坐标原点

。

，一个长轴端点为0,1，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线1与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B,且AP=3PB.

（1）求椭圆方程；

（2）求m的取值范围.

【解题思路】通过AP=3PB，沟通a、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得

到一个关于m的不等式

yx2C:

冷+飞=1（a=b>0）

［解析］

（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设ab

2.22

2

x

+——

1

=1

由条件知aT且b=c，又有a二bc，解得

c迁

e=—=—

故椭圆C的离心率为a2，其标准方程为:

（2）设I与椭圆C交点为A（xl,yl）,B（x2,y2）

y=kx+m

2x2+y2=1得

（k2+2）x2+2kmx+（m2—1）=0

△=（2km）2—4

—2kmx1+x2=~~

k2+2

（k2+2）（m2—1）=4（k2—2m2+2）

m2—1

x1x2=

k2+2

>0

（*）

x1+x2=—2x2x1x2=—3x2

TAP=3PB.•.—x1=3x2

—2kmm2—1

消去x2,得3（x1+x2）2+4x1x2=O,.3（）2+4=0

k2+2k2+2

整理得4k2m2+2m2—k2—2=0

m2=寸时，上式不成立；m2^f时，k2=4口2豎，

因入=3

2—2m21

4m2—1>0，.—1

1

2

容易验证k2>2m2—2成立，所以（*）成立

11

即所求m的取值范围为（一1,—3）U（2,1）

【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】

14.（20072广州四校联考）设过点PX，y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、

B两点，点Q与点P关于y轴对称，°为坐标原点，若

点的轨迹方程是

322

x3y=1x0,y0A.2

3

3x2y2=1x0,y0C.2

BP=2PA，且°QAB=1，则p

（）

322

x-3y=1x0,y0B.2

3

3x2y2=1x0,y0

D.2

AB=（-3x,3y）,°Q=（-x,y）3x23y2=1

［解析］22，选A.

2

15.如图，在RtAABC中，/CAB=90°,AB=2,AC=2。

一曲线E过点C,动点P在曲线E

上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线I经过A与曲线E交于M、N两点。

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）设直线I的斜率为k,若/MBN为钝角，求k的取值范围。

解：

（1）以AB所在直线为x轴，AB的中点0为原点建立直角坐标系，

0）

|PA||PB|=|CA||CB|=

2

~2

22（22）2

2、2

由题设可得

22

务+答=1（a>b>0）

•••动点P的轨迹方程为ab

则a=2,c=1.b=、a—c=1

•曲线E方程为

（2）直线MN的方程为"k（x1）,设MgyJ,设M（X1,y1,）,N（x2,y2）

"y=k（x+1）2222

22得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2

、x2+2y2_2=0

-1）=0

.■:

=8k280

•方程有两个不等的实数根

x1

X2「W

2+2k

x1x^2（k2T）

1+2k

BM=（X1-1,yJ,BN=（X2-1,y?

）

BMBN=（x1—1）（x2-1）y』2=（X“—1）（x2-1）k2（x11）（^1）

=（1k2）x1X2（k2-1）（X1X2）1k2

2

^（1k）

2

2（k-1）

12k2

2

（k-1）（

4k2

12k2

）1k2

7k2-1

12k2

•••/MBN是钝角

BMBN<0

7k2-1

即12k2

<0

、、7.7

k:

:

:

解得：

77

又M、B、N三点不共线

.k=0

.7.7

（-h，02（0，h）

综上所述，k的取值范围是77

★抢分频道^

基础巩固训练

1.如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线

ZBDB1=90

，则椭圆的离心率为（

.5-1

B2

5-1

C2

AB1与BF

［解析］B.

a2-c2=ac=

5-1

2

2

x

2.（广东省四校联合体2007-2008学年度联合考试）设

F1、

F2为椭圆4+y2=1的两焦点，P

在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，PF1PF2的值为

A、0B、1C、2D、3

-_厂_二范（二衣6,±亟）

［解析］A.'Sf1PF2=3|yP^1，P的纵坐标为3，从而p的坐标为3'3

PF1PF2=0,

2

—

9的一条弦被

A（4,2）平分,

2

3.（广东广雅中学2008—2009学年度上学期期中考）椭圆36那么这条弦所在的直线方程是

A.x_2y=0

B.

2x+y_10=0c2x_y_2=0

Dx2y_8=0

2

X1

［解析］D.36

-1

2

X2

36

2

*2

9

=1

两式相减得：

X1

X24（yry2）出—二0

為_x2

4.在△ABC中

•若以

B为焦点的椭圆经过点

C，则该椭圆的离

H21

”————

%x2=8,比y2二4

%「x22

心率e二

［解析］

AB=4k,AC=3k,BC=5k,e=

AB

ACBC

5.已知Fi,F2为椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点若・PFiF2：

.PF2R:

.F1PF2=123

则此椭圆的离心率为.

［解析］3_1［三角形三边的比是1:

3:

2］

22x丄

2,2

6.（2008江苏）在平面直角坐标系中，椭圆ab

1（ab0）的焦距为2,以O为圆心，a

为半径的圆，过点

'2、

aL,0

c丿作圆的两切线互相垂直,

则离心率e=

2

—=P2an

［解析］c

综合提高训练

x2

~2

7、已知椭圆a

—a.b.0）

b与过点

A（2，

0），B（0,1）的直线I有且只有一个公共点T,

且椭圆的离心率

•求椭圆方程

.a2-b2

由已知

a2

二4b2

22

x+y日

*a2b2

y=-丄x+1

L2

得:

2

（b

-22

a）x-ax

a2

22

-ab0

22

a）（a

—a2b2）=0，即a2

2

Ji

1

2

8.（广东省汕头市金山中学

2008—2009学年高三第一次月考）

已知A、

2

x

B分别是椭圆a2

（J2

b的左右两个焦点，O为坐标原点，点P

2）在椭圆

上，线段

（1）

PB与y轴的交点

求椭圆的标准方程;

M为线段PB的中点。

a2=2,b2二1

由①②得：

2

2

X

~2

故椭圆E方程为

sinAsinB

（2）

点c是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△

ABC,求sinC

的值。

［解析］

（1）v点M是线段PB的中点

•••OM是厶PAB的中位线

又OM_AB•PA_AB

c=1

I

解得a2=2,b2=1,c2=1

a2=b2c2

•椭圆的标准方程为

=1

（2）•••点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点

•AC+BC=2a=22,ab=2c=2

BCACAB

在厶ABC中，由正弦定理，sinAsinBsinC

sinAsinBBCAC22sinC=AB2

9.（海珠区2009届高三综合测试二）已知长方形ABCD,AB=22,BC=1以AB的中点°为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy.

（I）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；

（n）过点P（0,2）的直线1交（I）中椭圆于M,N两点,是否存在直线1，使得以弦MN为直径的圆恰好

过原点？

若存在，求出直线

4

D

y

C

■

A

O

B

・x

1的方程；若不存在，说明理由.

图8

［解析］（I）由题意可得点

A,B,C的坐标分别为_、2,0，'-2,°,'乙1.

2

x

2

设椭圆的标准方程是a

则2a=ACBC

=$2一一-2—02•；2-202

=422

.b2=a2_c2

•椭圆的标准方程是4

22

x-—1.

2

（n）由题意直线的斜率存在

，可设直线1的方程为y=kx+2（2°）.

设M,N两点的坐标分别为

xi,yi,X2,y2.

y=kx+2

2丄r2鼻

联立方程：

iX+2y=4

消去y整理得"*2kx+8kx+4=°

8k4

有xix2_i2k2"必2_i.2k2

若以MN为直径的圆恰好过原点，则OM_ON,所以xix2•力y2=0

所以,也+（kxi+2Id+2）=0

即1k2x1x22kx1x24=0

4L_C二十。

所以，1+2k1+2k

2

=0,

8-4k2即12k2

得k2=2,kh；2

所以直线I的方程为Y=乐十2,或Y=-迈x+2.

所以存在过P（0,2）的直线1=-2x2使得以弦MN为直径的圆恰好过原点

参考例题：

22

22=1（ab0）

1、（惠州市2009届高三第二次调研考试）从椭圆ab上一点P向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点F1,A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点，且

AB=hOP（k>0）

⑴、求该椭圆的离心率•

⑵、若该椭圆的准线方程是Xh'2、、5，求椭圆方程.

［解析］⑴、AB=?

；OP,.AB//OP,△PFOBOA

又P（9沪a2b2

=1二PF1

a2

b2

⑵、；x=25为准线方程,

25=a2二2、、5c

a2二b2c2

广o

a=10

b2=5

1

-所求椭圆方程为105

PF1

FO1

BO

OA

會PF弋

JI/F1PF2二

2、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一