10第十章圆锥曲线.docx

1、10第十章圆锥曲线第十章圆锥曲线知识网络第1讲椭圆知识梳理1.椭圆定义：（1） 第一定义：平面内与两个定点 Fl、F2的距离之和为常数2a（2aF2F2|）的动点P的轨 迹叫椭圆，其中两个定点F1、F2叫椭圆的焦点当PF1 +PF2 =2aAF1F2时，P的轨迹为椭圆； ；当PF1 +PF2|=2ac|F1F2时，P的轨迹不存在；当PF1 +PF2 =2a=F1F2时，P的轨迹为以F1、F2为端点的线段（2） 椭圆的第二定义：平面内到定点F与定直线1（定点F不在定直线1上）的距离之比是常数 e（ ：e ：1）的点的轨迹为椭圆（利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互

2、转化）2椭圆的方程与几何性质标准方程2 2于”5)2 2y x孑 =1(ab 0)性质参数关系a2 =b2 +c2焦占八、八、(c,0),(_c,0)(0,c), (0,-c)焦距2c范围|x|兰a,| y|兰b1 y |Ea,|x|兰 b顶点(-a,0), (a,0),(0,4),(0,b)(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce = 乏(0,1)a准线2ax = 土c2 a y = c2 24直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交：=“ ；直线与椭圆相切=“ =；直线与椭圆相离=：:0重难点突破重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的

3、标准方程，能通过方程研究椭圆的几何 性质及其应用 难点:椭圆的几何元素与参数 a，b，c的转换重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换 成参数a, b, c的关系1要有用定义的意识2 2乞4=1问题1已知F1、F2为椭圆25 9 的两个焦点，过 F1的直线交椭圆于 A、B两点若F2A+IF2B =12，则 AB= 解析f ABF2的周长为4a =20，- AB =83点P（Xo,yo）与椭圆专乍a b 0）的位置关系2 2x 丄y1 2 2时，点P在椭圆外；当a b1时.点P在椭圆内2 2x2 y2 =1当a b 时，点P在椭圆2求标准方程要注意焦点

4、的定位2 2x y 1问题2椭圆4 m 的离心率为解析当焦点在x轴上时,当焦点在y轴上时,.、m -4 1 16- :mv m 2 316m综上 3或3热点考点题型探析考点1椭圆定义及标准方程 题型1:椭圆定义的运用例1 （湖北部分重点中学 2009届高三联考）椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的 光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘， 点A、B是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A时，小球经过的路程是A. 4a B. 2（a c） C. 2（a+c） D.

5、以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况 ：（1） A - C - A，此时小球经过的路程为 2（a c）;A-B-D-B-A,此时小球经过的路程为 2（a+c）;A-P-B-Q-A此时小球经过的路程为 4a,故选D【名师指弓I】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1. （20072佛山南海）短轴长为离心率23的椭圆两焦点为 F1, F2,过F1作直线交椭圆于A、B两点，则 ABF2的周长为 （ ）A.3 B.6C.12D.24解析C.长半轴a=3,A ABF2的周长为4a=122.（广雅中学2008 2009学年度上学期期中考）已知P为椭圆25 16=1上的一点,M,N分别为圆（x+3

6、）2 +二1和圆（X-3）2 =4上的点，则PM + PN的最小值为（）A. 5 B. 7 C . 13解析B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，10-1-2=7D. 15|PC | |PD 尸10PM 十 PN的最小值为题型2求椭圆的标准方程例2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此 焦点与长轴上较近的端点距离为 4 4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数a，b，c的式子“描述”出来2 2 22 ,21 ,2解析设椭圆的方程为a b 或b2工2a= 1(a b 0)b =ca -c=4(后1)2 J丄 2a b c解之得：a =4、2 , b

7、=c= 4则所求的椭圆的方程为2 2x y “132 16 或 162132【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数 a,b,c的数量关系.警示易漏焦点在 y轴上的情况.【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 2_y_ x2 T 2解析（0,1）.椭圆方程化为 2 + k =1.焦点在y轴上，则k 2,即卩k0,. 0k= | AC | | BC | 2,3 2 2【名师指引】（1 ）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确 定，离心率也随之确定（2） 只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3） “

8、焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.）如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍（执信中学2008-2009学年度第一学期高三期中考试 那么这个椭圆的离心率为5 3 2解析选B7.（江苏盐城市三星级高中2009届第一协作片联考）已知m,n,m+n 成等差数列， m, n, mn成等比数列，则椭圆2 2K 1m n 的离心率为2n =2m n解析由jmn”0m =2n =42 2L 1椭圆m n 的离心率为近的点，远地点是距离地面最远的点） 圆的离心率（）A.不变 B.变小解析a + c = na 二二 m + na+c=2n二 *二a c =m& =n maY = 2ma 2( m n) c =

9、 2(n -m)8.（山东济宁2007 2008学年度高三第一阶段质量检测 ）我国于07年10月24日成功发射嫦娥一号卫星，并经四次变轨飞向月球。嫦娥一号绕地球运m,行的轨迹是以地球的地心为焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近地点到地心的距离为远地点到地心的距离为 n,第二次变轨后两距离分别为 2m、2n （近地点是指卫星距离地面最，则第一次变轨前的椭圆的离心率比第二次变轨后的椭C.变大 D.无法确定题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）2 2x . y 1I 2 2例4 已知实数X, y满足4 2 ，求x y x的最大值与最小值2 2【解题思路】 把x y -x看作x的函数2 2解

10、析由4 2=1得-1x21 2.2 x _0. -2_x_22x2 y2 x x2 x 2 = ；（x 一1）2 3，x -2,232*2 c2*2当X时,x y -x取得最小值2 ,当x=2时,x y -X取得最大值6【名师指引】注意曲线的范围，才能在求最值时不出差错【新题导练】2 2 1 一 9已知点A，B是椭圆m n ( m0， n 0 )上两点，且 A#.BO,则=解析由AO二BO知点A，0, B共线,因椭圆关于原点对称， = -110.如图，把椭圆25 16的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于R, R ,P3, P4, R ,P6, B七个点，F是椭圆的一个

11、焦点则|RF f |f3f|+Rf +rf|+|F6F|+|P7F 二 解析 由 椭 圆 的 对称 性 知 ：RF +时| =卩2卩| + 苛=RF +RF =2a=35考点3椭圆的最值问题题型：动点在椭圆上运动时涉及的距离、面积的最值2 2.丄=1例5 椭圆16 9 上的点到直线|：x + y-9 = 0的距离的最小值为 【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数解析在椭圆上任取一点R设p(4co,3si).那么点p到直线|的距离为:14cos 3sin J -12|2=|5sin（二 ）-9|-2 2.【名师指引】也可以直接设点 P(x,y)，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为

12、 x的函数,关键是要具有“函数思想”【新题导练】X211.椭圆16=1的内接矩形的面积的最大值为解析设内接矩形的一个顶点为(4cosh3sin二)，矩形的面积 S =48sin r cost - 24sin 2v : 242 2x_+y_=112. P是椭圆a b 上一点，匕、F2是椭圆的两个焦点，求1 PF1 1 1 PF2 1的最大值与最小值解析IPF1I |PF2|=|PF1|(2a-|PF1|) (|PF1|-a)2 a2,|PF1| a-c,a c当 |PF1| = a，|PF1 | |PF2|取得最大值 a2，当PR = a _c时，丨PR | |PF21取得最小值b213.(20

13、072惠州)已知点P是椭圆2x 2XT y=1上的在第一象限内的点,又 A(2,0)、 B(0,1)O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是 解 析 设P(2cos),sin r), rJI(0,2)1SOAPB = S OPA S OPB OA S21 tOB22n JS 卄cs二 0)解析(1)由题意可知椭圆 C为焦点在y轴上的椭圆，可设 a b2 . 2 22x+1=1由条件知a T且b =c，又有a二b c，解得c 迁e =故椭圆C的离心率为 a 2，其标准方程为:(2)设 I 与椭圆 C交点为 A (xl, yl), B (x2, y2)y= kx+ m2x2 + y2= 1 得(

14、k2+ 2) x2 + 2kmx +( m2 1) = 0=( 2km) 2 42 km x1 + x2= k2 + 2(k2+ 2) ( m2 1 )= 4 ( k2 2m2 + 2)m2 1x1x2=k2 + 20(*)x1 + x2= 2x2 x1x2= 3x2T AP = 3 PB . x1 = 3x22 km m2 1消去 x2,得 3 (x1+ x2) 2 + 4x1x2= O,. 3 ( ) 2+ 4 = 0k2 + 2 k2 + 2整理得 4k2m2 + 2m2 k2 2= 0m2 =寸时，上式不成立； m2f时，k2= 4口2豎，因入=32 2m2 14m21 0，. 1m2

15、 或12m2m2 2成立，所以（* ）成立1 1即所求m的取值范围为（一1, 3）U（ 2, 1）【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】14.（20072广州四校联考）设过点PX，y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于 A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，为坐标原点，若点的轨迹方程是3 2 2x 3y = 1 x 0, y 0 A. 233x2 y2 =1 x 0, y 0 C. 2BP = 2PA，且 Q AB =1，则 p()3 2 2x -3y = 1 x 0, y 0 B. 233x2 y2 = 1 x 0, y 0D. 2A

16、B = (-3x,3y),Q =(-x,y) 3x2 3y2 =1解析 2 2 ，选A.215.如图，在RtA ABC中，/ CAB=90, AB=2, AC= 2。一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线I经过A与曲线E交于M、N两点。(1) 建立适当的坐标系，求曲线 E的方程；(2)设直线I的斜率为k,若/ MBN为钝角，求k的取值范围。解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点0为原点建立直角坐标系，0)|PA| |PB|=|CA| |CB|=2222(22)22、2由题设可得2 2务 +答=1(a b 0)动点P的轨迹方程为a b则 a=2,c=1.

17、b=、a c = 1曲线E方程为(2)直线 MN 的方程为k(x 1),设MgyJ,设M (X1,y1,), N(x2,y2)y = k (x +1) 2 2 2 22 2 得(1+2k2)x2+4k2x+2(k2、x2 +2y2 _2 = 0-1)=0.: =8k2 8 0方程有两个不等的实数根x1X2W2 +2kx1 x2(k2 T)1 +2kBM =(X1 -1,yJ,BN =(X2 -1, y?)BM BN =(x1 1)(x2 -1) y2 =(X“ 1)(x2 -1) k2 (x1 1)( 1)=(1 k2)x1X2 (k2 -1)(X1 X2) 1 k22(1 k )22(k -1)1 2k22(k -1)(4k21 2k2)1 k27k2 -11 2k2/ MBN是钝角BM BN 07k2 -1即 1 2k20)、求该椭圆的离心率、若该椭圆的准线方程是 Xh2、5，求椭圆方程.解析、 AB = ?； OP , . AB / OP , PFO BOA又 P(9沪 a2 b2=1二 PF1a2b2、；x= 2 5为准线方程,2 5= a2 二 2、5ca2 二 b2 c2广 oa =10b2 = 51-所求椭圆方程为10 5PF1FO1BOOA會PF弋JI / F1PF2 二2、设F1，F2是椭圆的两个焦点， P是椭圆上一