网络流基础及应用.docx
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网络流基础及应用
网络流基础及应用
一.引例运输方案
下图为联结产品产地V1和销地V6的交通网，每一边（Vi,Vj）代表从Vi到Vj的运输线，产品经这条边由Vi输送到Vj，边旁的数字表示这条运输线的最大通行能力（简称容量）。
产品经过交通网从V1输送到V6，现要求制定一个输送方案，使V1运到V6的产品数量最多。
下面是一个可行的输送方案，边旁的数字为该运输线的实际运输量（单位：
吨）。
该运输方案表示：
2吨产品沿有向路P1（V1,V2,V4,V6）运到销地；1吨产品沿有向路P2（V1,V2,V5,V6）运到销地；2吨产品沿有向路P3（V1,V3,V5,V6）运到销地。
总共有5吨从V1运到V6。
运输方案的可行必须满足以下三个条件：
⑴实际运输量不能是负的；
⑵每条边的实际运输量不能大于该边的容量；
⑶除了起点V1和终点V6，对其他顶点（中间点）来说，不能囤积物资，即运到它那儿的物资是多少，从它那儿运走的物资也应该是多少。
运输方案的改进：
根据这个运输网，是否可增大运输量？
改进1：
我们找到一条有向路P4（V1,V2,V3,V4,V6）可再增加1吨物资运输量，改进的方案如下：
改进2：
有向路P5（V1,V3,V4,V6）还可增加1吨运输量：
改进3：
观察有向路P6（V1,V3,V2,V4,V6）中，将正方向的边（V1,V3）、（V2,V4）、（V4,V6）都可增加运输量，而反方向的边（V3,V2）的运输量为1，现将反向边（V3,V2）的运量调到正向边（V2,V4）上去完成，这样有向路P6（V1,V3,V2,V4,V6）的运量可增加1（想一想为什么可以这样做）。
至此，再找不到可“改进”的有向路了，所以，该交通网的最大运输量为8吨。
通过上述实例分析，包含了流量因素的问题，是一类特殊的图。
引例给出的交通网其具体的物理模型是多种多样的。
比如网络的有向边可以表示为城市之间的公路、电信网之间的通讯线路、天然气站之间的输气管道等；边的容量则可以表示为允许通过的物资数量、汽车数量、速率或最大信号流量等。
这一类特殊的图，称为网络流图。
网络流图中需要解决的基本问题是求最大流问题。
二.网络流图与最大流
类似于上述交通网，可构造下列称为网络流图的模型。
1、网络流图的构造
设G=（V,E）为一简单有向图。
当且仅当只有一个入度为0（d（z）=0）的点，在V中指定该顶点为源点（记为Z），当且仅当有一个顶点出度为0的顶点，为汇点（记为Z’），对于每一条边（Vi,Vj）∈E，赋予一个非负数Cij>=0，叫做该边的容量。
记为D=（V,E,C）（图示参见引例）
2、网络的流
对于网络流图D=（V,E,C）的每一条边（Vi,Vj）给定一个非负数fij，且满足下列条件：
①0<=fij<=Cij（容量限止条件）
②除源点和汇点外，其余顶点Vi恒有
∑fij=∑fki（中间点流量守恒，即平衡条件）
这时D=（V,E,C）中的流称为D的可行流f。
3、关于D的可行流
①当所有fij=0，称为零流，零流一定是可行流。
②对于源Z和汇Z’有
∑fZj=∑fjZ’=ω
数ω叫做网络流的流量。
③当fij=Cij时，称边（Vi,Vj）饱和，表示流f对于该边饱和。
④ω达到最大值时的流f，称为D=（V,E,C）的最大流。
三.求最大流的理论基础
1、割切概念——某些边的集合
⑴设D=（V,E,C）是已知的网络流图，假定S是V的一个子集，且S满足
①Z∈S②Z’（not∈）S
且令S’为S的补集，这样把顶点集V分成S和S’两个部分，其中
Z∈S,Z’∈S’
对于一个端点在S，而另一个端点在S’的所有边的集合，叫做网络流图D的一个割切，用（S,S’）表示。
下图用虚线划去的表示一个割切，其中S={Z,b,c,d}，S’={a,Z’}。
<图片>
⑵割切容量C（S,S’）：
在割切（S,S’）中，把从S到S’的边容量和叫做这割切的容量。
上边割切容量C（S,S’）=CZa+Cba+CbZ’+CdZ’=4+3+2+4=13
2、定理：
对于已知的网络流，从源点Z到汇点Z’的流量ω的最大值小于等于任何一个割切的容量，即Maxω<=MinC（S,S’）。
证明：
当Vi为网络流图的任一中间点时，根据平衡条件，恒有
∑fij-∑fji=0⑴
当i=Z时，∑fZj=ω⑵
设（S,S’）为一任一个切，则有
∑（fij-fji）=ω
注：
∵i∈S，Z’（not∈）S，Z∈S
当i≠Z时，由⑴式得0
当i=Z时，由⑵式得ω
又因为S∪S’=V
所以∑（fij-fji）=∑（fij-fji）+∑（fij-fji）=ω⑶
⑶式中∑（fij-fji）的两个下标都是对S的全体求和，其展开式中任意一项fpq都一一对应一项-fpq，所以∑（fij-fji）=0
即由⑶式得∑（fij-fji）=ω⑷
再由于0<=fij由⑷式ω=∑（fij-fji）<=∑Cij=C（S,S’）
故有Maxω<=MinC（S,S’）
3、最大流量最小割切定理（Ford-Fulkerson定理）
在一个给定的网络流图上，流的极大值等于割切容量的最小值，即
Maxω=MinC（S,S’）
（下面的证明是构造性的，可以从中引出求最大流的算法思想）
证明：
（求证思路：
由于已知Maxω<=MinC（S,S’）是不能进一步增加流量，直到使Maxω=MinC（S,S’））
在网络流图D=（V,E,C）中，定义从源点Z到汇点Z’的道路：
设Z=V0,V1,...,Vn-1,Vn=Z’为D上的顶点序列，对于i=0,1,...,n-1，恒有（Vi,Vi+1）或（Vi+1,Vi）边是D的一条边。
则称V0,V1,...,Vn是一条从Z到Z’的道路。
由于D是有向图，道路上边的方向与道路方向一致的边称为前向边P+，反之称为后向边P-。
道路上边的饱和：
前向边若fij=Cij，后向边若fij=0,称边（Vi,Vj）为关于该道路上的饱和边。
若从Z到Z’的道路上所有的边均不饱和，即对于P+若fij0，则称这条路为可增广道路。
修改可增广道路上每条边的流量，同时保持网络流的可行性，达到流量的增加，其增量的确定方法如下：
Cij-fijP+
fijP-
令δij={
取δ=Min（δij），为增量。
就是对可增广道路P的每一条前向边流量增加δ，每一条后向边流量减少δ，从而使得整个网络流的流量获得增加（这是显而易见的）
下面论证Maxω=MinC（S,S’）
设网络流图D的流量f达到极大，我们构造一个割切（S,S’）如下
若Z’∈S，则有一条从Z到Z’的道路，Z=V0,V1,...,Vk=Z’，这条道路上所有的边均不饱和，因而是条可增广道路，这和f是最大流的假设矛盾。
①Z∈S
②若x∈S，且fxy若x∈S，且fyx>0，则y∈S
显然Z’∈S’（Z’的出度d（Z’）=0），
所以（S,S’）是一个割切。
按照子集S的定义，若x∈S，y∈S’，则fxy=Cxy
若y∈S’，x∈S，则fyx=0
所以ω=∑（fxy-fyx）=∑fxy=∑C（S,S’）
即Maxω=MinC（S,S’）
通过以上论证，可知
①当D中找不到可增广道路时，此时的流为最大流；
②当D中的流最大时，一定存在容量最小的割切（S,S’）
四.求网络最大流的算法
根据上述最大流最小割切定理及其论证，我们不难得出下面重要结论：
设f是网络流图D的一个流，如果存在从源点Z到汇点Z’的关于f可增广道路P，那么f一定是最大流。
至此，求最大流的基本思路为：
㈠标号法（Ford-Fulkerson算法）
标号法分为两个过程，一是标号过程，通过标号过程找到一条可增广道路或无法找到可增广道路；二是增广过程，沿可增广道路增加网络流量。
从一个可行流出发（若网络中没有初始流，则可以设f是零流）
1、标号过程：
用Vs表示源点，Vt表示汇点。
在此过程中，网络中的顶点或者是已标号点（又分为已检查和未检查两种），或者是未标号点。
每个标号点的标号包含两部分。
第一个标号指明它的标号是从哪个顶点得到的，以便找出可改进量，第二个标号是为确定可改进量δ而设的。
标号过程开始，先给源点Vs标上（0,+∞），这时Vs是已标号而未检查的点，其余都是未标号点。
一般地，取一个已标号而未检查的点Vi，对一切未标号点Vj：
⑴若存在弧（Vi,Vj）且fij⑵若存在弧（Vj,Vi）且fji>0，则给Vj标号（-Vi,L（Vj）），其中L（Vj）=Min（L（Vi）,fji）,
至此，Vj成为已标号而未检查点。
在Vi的全部相邻顶点都已标号后，Vi成为标号而已检查的顶点。
重复上述步骤，一旦Vt被标号，表明得到一条从Vs到Vt的可增广道路P，转入增广过程。
若所有标号点都已检查过使得标号过程无法继续时，则算法结束，这是的可行流即为最大流。
2、增广过程
所得可增广道路P上的顶点都已标号。
因此多用“倒向追踪”的方法，从Vt开始，利用标号点的第一个标号可得P上一条边，并以Vt的第二个标号l（Vt）（即可增广流量δ）作为改进量，增大P上的流量。
具体步骤如下：
①取Vt的第一个标号Vk（或-Vk），则弧（Vk,Vt）（或相应的弧（Vt,Vk））是P上的弧，接下来再根据Vk的第一个标号Vi（或-Vi），再找到P上的弧（Vi,Vk）（或（Vk,Vi））……，直到找到Vs为止，这是所有被找出的弧就构成了可增广道路P。
根据第一个标号的正负号，可知其方向是前向还是后向。
令改进量δ=L（Vt），对弧上的流量fij作改进：
fij+δ（Vi,Vj）为p+
fij-δ（Vi,Vj）为p-
Fij’=
②去掉所有的标号，对新的流F’=（fij’）重新进入标号过程。
求最大流标号发的描述
⑴数据结构
Constmaxn=<网络顶点数>
Typenode=record{可增广道路的顶点类型}
l,p:
integer；{第一标号，检查标号}
end;
arc=record{网络边类型}
c,f:
integer;{容量，流量}
end;
gtype=array[0..maxn,0..maxn]ofarc；{网矩阵}
ltype=array[0..maxn]ofnode;{可增广道路}
varlt:
ltype;{可增广道路}
g:
gtype;{网络}
n,s,t:
integer;{顶点数，源点，汇点}
⑵主要算法
1初始化网络，可增广道路
procedureread-graph；
varI,j:
integer;
begin
readln（n）;{顶点数}
fillchar（g,sizeof（g）,0）;{初始化网络}
fillchar（lt,sizeof（lt）,0）;{初始化可增广道路}
fori:
=1tondo
forj:
=1tondo
read（g[I,j].c）;
end;
2寻找已标号而来检查的顶点序号
functioncheck:
integer;
vari:
integer;
begin
i:
=1;
while（i<=n）andnot（（lt[i].l<>0）and（lt[i].p=0））doinc（i）;
ifi>nthencheck:
=0{顶点不存在}
elsecheck:
=i;
end;
3标号过程，并返回是否找到可增广道路及改进量a
functionford（vara:
integer）:
boolean;{无增广道路返回true}
varI,j,m,x:
integer;
begin
ford:
=true;
fillchar（lt,sizeof（lt）,0）;{去掉原来的标号}
lt[s].l:
=s;{从Vs开始}
repeat
i:
=check;{寻找一个已标号而未检查的顶点i}
ifi=0thenexit;{若该顶点不存在，则退出过程，返回true}
forj:
=1tondo
if（lt[j].l=0）and（（g[I,j].c<>0）or（g[j,i].c<>0）
{寻找与Vi相邻且未标号的顶点j}
thenbegin
if（g[I,j].f=I;
if（g[j,i].f>0）thenlt[j].l:
=-I;
end;
lt[i].p:
=1;{顶点Vi置已检查标志}
until（lt[t].l<>0）{直到汇点Vt标号为止}
m:
=t;a:
=maxint;{从Vt倒推，改进量a赋初值}
repeat{求a}
j:
=m;m:
=abs（lt[t].l）;
iflt[j].l<0thenx:
=g[j,m].f;
iflt[j].l>0thenx:
=g[m,j].c-g[m,j].f;
ifa>xthena:
=x;
untilm=s;{直至例推到顶点Vs为止}
ford:
=false;{返回可增广道路存在标志false}
end;
4修正流量
procedurefulkerson（a:
integer）;
varm,j:
integer;
begin
m:
=t;{以顶点Vt出发，逆向沿可增广道路修正容量}
repeat
j:
=m;m:
=abs（lt[j].l）;
iflt[j].l<0theng[j,m].f:
=g[j,m].f-a;{后向边p-}
iflt[j].l>0theng[m,j].f:
=g[m,j].f+a;{前向边p+}
untilm=s;
end;
5输出所有弧的流量
procedureanswer;
varI,j:
integer;
begin
fori:
=1tondo
forj:
=1tondo
writeln（‘（’,I,‘,’,j,‘）’,‘’,g[I,j].f）
end;
6算法合成
procedureproceed;{求最大流}
vard:
integer;
success:
boolean;
begin
s:
=1;t:
=n;{假设源点为V1，汇点为Vn}
repeat
success:
=ford（d）;{寻找可增广道路及改进量d}
ifsuccessthenanswer{增广道路不存在，输出最大流}
elsefulkerson（d）{沿增广道路修正流量}
untilsuccess;
end;
7主程序
begin
read_graph;{输入网}
proceed;{求最大流}
end.
㈡计算最大流的dinic算法
Dinic算法的思想是分阶段地在层次图中改进流量。
下面先介绍网络图的剩余图及层次图概念。
剩余图：
给定一个网络流图D1=（V1,E1,c）及一可行流f，与该网络流图D1=（V1,E1,c）关于流f的剩余图D2=（V2,E2），D2的顶点集与D1的顶点集相同，即V2=V1。
对于D1中的任一条有向边（u,v）∈E1，若fuv若fuv>0，那么边（u,v）∈E2，…………guv=fuv，显然改变为后向边。
由此可见，网络流图D1中的每条边在剩余图D2中都化作了一条或两条边，D2中的每条边都表示在D1中能沿某方向则增广，D2中边（u,v）的权值guv表示在D1中能够沿着Vu到Vv的方向增广大小为guv的流量。
见下图。
层次图：
在剩余图中，把源点到点i的最短路径长度称作点i的层次，记为level（i）。
源点s的层次为0。
层次图的构造是这样的，设层次图D3=（V3，E3），对于剩余图D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当level（v）=level（u）+1时，边（u,v）∈E3，V3={u∣E3中有边与u相连}。
直观地讲，层次图是建立在剩余图基础上的一张“最短路径图”。
从源点开始，在层次图中沿着边不管怎么走，经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路径。
在D2中，从源点vs到汇点vt的任意一条简单路径（即不存在重复顶点或边的路径）都对应可增广路径，路径上每条边的权值的最小值即为能够一次增广的容量。
1．dinic算法的基本流程
算法是循环结构，将每一次循环称为一个阶段，在每个阶段中，首先根据剩余图建立层次图，然后用dfs过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。
增广完毕后，进入下一个阶段。
这样不断重复，直到汇点不再层次图内出现为止，汇点不再层次图内意味着在剩余图中不存在从源点到汇点的路径，即没有可增广路径。
在算法实现中，层次图并不是构建出来的只需在剩余图中对每个顶点标记层次level，增广时，判断边是否满足level（u）+1=level（v）约束即可。
2、Dinic算法描述
（1）数据结构
Constmaxn=<顶点数上限>
maxm=<边数上限>
maxw=+∞{取一个极大数}
type
gtype=record（边类型）
x,y,c,f,next,op:
longint;{分别为边（x,y），容量，流量，后继指针，反向指针}
end;
Var
g:
array[1..maxm*2]ofgtype;{以边目表存储网络流图}
first,first1:
array[1..maxn]oflongint;{顶点Vi引出的首条边序号first[i]}
p,level,prt:
array[1..maxn]oflongint;{队列或栈p，顶点Vi的层次level，可增广路
径上顶点Vi引出的边序号prt[i]}
visited:
array[1..maxn]oflongint;{访问序列}
n,m,tot,vs,vt,maxflow,temp:
longint;{顶点数n，边数m，边序号tot，最大流量maxflow}
⑵构造初始剩余图。
将网络图的边目表，及初始流f=0，通过add（a,b,c）过程插入容量为c的边（a,b）和容量为0的反向边（b,a）。
边目表的存储的链表形式：
将顶点Vi引出的所有边存储在一个链表中，首条边的序号为first[i]，顺着next指针，依次访问顶点Vi引出的所有边。
过程add。
Procedureadd（a,b,c:
longint）;
Begin
Inc（tot）;g[tot].x:
=a;g[tot].y:
=b;g[tot].c:
=0;
g[tot].next:
=first1[a];first1[a]:
=tot;{在a顶点引出的边表尾部插入该条边}
Iffirst[a]=-1thenfirst[a]:
=tot;
g[tot].op:
=tot+1;{设置反向边指针}
inc（tot）;g[tot].x:
=b;g[tot].y:
=a;g[tot].c:
=0;{新增一条容量为0的边（b,a）}
g[tot].next:
=first1[b];first1[b]:
=tot;{在b顶点引出的边表尾部插入该条边}
Iffirst[b]=-1thenfirst[b]:
=tot;
g[tot].op:
=tot-1;{设置反向边指针}
end;
构建初始剩余图，设f=0为零流。
Fillchar（g,sizeof（g）,0）;{网络流图初始化为空}
Readln（n,m）;{读入顶点数，边数}
Fori:
=1tondobegin{每个顶点引出的边集初始化为空}
first[i]:
=-1;
first1:
=-1
end;
Tot:
=0;{边序号初始化}
Fori:
=1tomdo{读入第i条边（a,b）及容量c,将该边和反向边插入到g中}
Begin
Readln（a,b,c）;
Add（a,b,c）;
End;
⑶通过宽度优先搜索计算顶点层次level。
首先源点进队列，然后按照“层次”搜索剩余图，取出队首元素，搜索剩余图中队首元素引出的所有边。
若边的两端点的层次至少相差2层以上，则另一个端点入队，该端点置于队首元素的下一层。
依此类推，直至队列空。
Proceduremake_level;
VarI,open,closed,temp,tp:
longint;{队首指针open，队尾指针closed，队首元素tp}
Begin
Fori:
=1tondolevel[i]:
=maxw;（每个顶点层次初始化）
Fillchar（p,sizeof（p）,0）;{队列置空}
Open:
=1;closed:
=0;p[open]:
=vs;level[vs]:
=1;{源点vs进入队列，层次为1}
WhileclosedBegin
Inc（closed）;tp:
=p[closed];
Iftp=vtthenexit;{若队首为汇点，则退出}
Temp:
=first[tp];{搜索剩余图中与队首顶点相连的所有边}
Whiletemp<>-1do
Begin
Iflevel[g[temp].y]>level[tp]+1
Thenif（g[temp].f0））
Then
{若当前边属于剩余图，则另一端进入队列，其层次为队首顶点的下一层}
Begin
Inc（open）;p[open]:
=g[temp].y;level[g[temp].y]:
=level[tp]+1;
End;
Temp:
=g[temp].next;{取队首顶点相连的下一条边}
End;
End;
End;
执行了make_level过程后，来计算出汇点Vt的层次，（level[Vt]=maxw），则说明源点Vs与汇点Vt间无路可通，不存在可增广路径，当前流为最大流。
在计算出层次图后，则通过dfs扩展可增广路径来调整流量。
⑷在层次图内扩展可增广路径，调整流量。
使用堆栈存储目前找到的可增广路径，栈顶指针指向路径中的最后一个顶点。
一开始，栈中只有源点。
Dfs过程分两个操作：
①如果栈顶元素为汇点，即找到了可增广路径，那么对栈中的可增广路径进行流量调整。
流量调整后，栈顶里饱和边对应顶点间的所有元素出栈，以后进需要对栈中余下路径进行增广；
②如果栈顶元素u非汇点，且栈顶元素在层次图中连出的属于剩余图的边（u,v），则顶点v入栈，可增广路径中又扩展出一条边（u,v），并继续以u引出的下一条边出发进行dfs遍历；若u在
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