网络流基础及应用.docx

1、网络流基础及应用网络流基础及应用一.引例 运输方案下图为联结产品产地V1和销地V6的交通网，每一边(Vi,Vj)代表从Vi到Vj的运输线，产品经这条边由Vi输送到Vj，边旁的数字表示这条运输线的最大通行能力(简称容量)。产品经过交通网从V1输送到V6，现要求制定一个输送方案，使V1运到V6的产品数量最多。下面是一个可行的输送方案，边旁的数字为该运输线的实际运输量(单位：吨)。该运输方案表示：2吨产品沿有向路P1(V1,V2,V4,V6)运到销地；1吨产品沿有向路P2(V1,V2,V5,V6)运到销地；2吨产品沿有向路P3(V1,V3,V5,V6)运到销地。总共有5吨从V1运到V6。运输方案的可

2、行必须满足以下三个条件：实际运输量不能是负的；每条边的实际运输量不能大于该边的容量；除了起点V1和终点V6，对其他顶点(中间点)来说，不能囤积物资，即运到它那儿的物资是多少，从它那儿运走的物资也应该是多少。运输方案的改进：根据这个运输网，是否可增大运输量？改进1：我们找到一条有向路P4(V1,V2,V3,V4,V6)可再增加1吨物资运输量，改进的方案如下：改进2：有向路P5(V1,V3,V4,V6)还可增加1吨运输量：改进3：观察有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)中，将正方向的边(V1,V3)、(V2,V4)、(V4,V6)都可增加运输量，而反方向的边(V3,V2)的运输量为1，现将反

3、向边(V3,V2)的运量调到正向边(V2,V4)上去完成，这样有向路P6(V1,V3,V2,V4,V6)的运量可增加1(想一想为什么可以这样做)。至此，再找不到可“改进”的有向路了，所以，该交通网的最大运输量为8吨。通过上述实例分析，包含了流量因素的问题，是一类特殊的图。引例给出的交通网其具体的物理模型是多种多样的。比如网络的有向边可以表示为城市之间的公路、电信网之间的通讯线路、天然气站之间的输气管道等；边的容量则可以表示为允许通过的物资数量、汽车数量、速率或最大信号流量等。这一类特殊的图，称为网络流图。网络流图中需要解决的基本问题是求最大流问题。二.网络流图与最大流类似于上述交通网，可构造下

4、列称为网络流图的模型。1、网络流图的构造设G=(V,E)为一简单有向图。当且仅当只有一个入度为0(d(z)=0)的点，在V中指定该顶点为源点(记为Z)，当且仅当有一个顶点出度为0的顶点，为汇点(记为Z)，对于每一条边(Vi,Vj)E，赋予一个非负数Cij=0，叫做该边的容量。记为D=(V,E,C)(图示参见引例)2、网络的流对于网络流图D=(V,E,C)的每一条边(Vi,Vj)给定一个非负数fij，且满足下列条件：0=fij=Cij(容量限止条件)除源点和汇点外，其余顶点Vi恒有fij=fki(中间点流量守恒，即平衡条件)这时D=(V,E,C)中的流称为D的可行流f。3、关于D的可行流当所有f

5、ij=0，称为零流，零流一定是可行流。对于源Z和汇Z有fZj=fjZ=数叫做网络流的流量。当fij=Cij时，称边(Vi,Vj)饱和，表示流f对于该边饱和。达到最大值时的流f，称为D=(V,E,C)的最大流。三.求最大流的理论基础1、割切概念某些边的集合设D=(V,E,C)是已知的网络流图，假定S是V的一个子集，且S满足ZS Z (not)S且令S为S的补集，这样把顶点集V分成S和S两个部分，其中ZS,Z S对于一个端点在S，而另一个端点在S的所有边的集合，叫做网络流图D的一个割切，用(S,S)表示。下图用虚线划去的表示一个割切，其中S=Z,b,c,d，S=a,Z。割切容量C(S,S)：在割切

6、(S,S)中，把从S到S的边容量和叫做这割切的容量。上边割切容量C(S,S)=CZa+Cba+CbZ+CdZ=4+3+2+4=132、定理：对于已知的网络流，从源点Z到汇点Z的流量的最大值小于等于任何一个割切的容量，即Max =Min C(S,S)。证明：当Vi为网络流图的任一中间点时，根据平衡条件，恒有fij-fji=0 当i=Z时，fZj= 设(S,S)为一任一个切，则有(fij-fji)= 注：iS，Z(not)S，ZS当iZ时，由式得0当i=Z时，由式得又因为SS=V所以(fij-fji)= (fij-fji)+ (fij-fji)= 式中(fij-fji)的两个下标都是对S的全体求和

7、，其展开式中任意一项fpq都一一对应一项-fpq，所以(fij-fji)=0即由式得(fij-fji) = 再由于0=fijCij，所以fij-fji=fij=Cij由式=(fij-fji)= Cij= C(S,S)故有Max =Min C(S,S)3、最大流量最小割切定理(Ford-Fulkerson定理)在一个给定的网络流图上，流的极大值等于割切容量的最小值，即Max =Min C(S,S)(下面的证明是构造性的，可以从中引出求最大流的算法思想)证明：(求证思路：由于已知Max =Min C(S,S)是不能进一步增加流量，直到使Max =Min C(S,S)在网络流图D=(V,E,C)中，

8、定义从源点Z到汇点Z的道路：设Z=V0,V1,.,Vn-1,Vn=Z为D上的顶点序列，对于i=0,1,.,n-1，恒有(Vi,Vi+1)或(Vi+1,Vi)边是D的一条边。则称V0,V1,.,Vn是一条从Z到Z的道路。由于D是有向图，道路上边的方向与道路方向一致的边称为前向边P+，反之称为后向边P-。道路上边的饱和：前向边若fij=Cij，后向边若fij=0,称边(Vi,Vj)为关于该道路上的饱和边。若从Z到Z的道路上所有的边均不饱和，即对于P+若fij0，则称这条路为可增广道路。修改可增广道路上每条边的流量，同时保持网络流的可行性，达到流量的增加，其增量的确定方法如下：Cij-fij P+f

9、ij P-令ij=取=Min(ij)，为增量。就是对可增广道路P的每一条前向边流量增加，每一条后向边流量减少，从而使得整个网络流的流量获得增加(这是显而易见的)下面论证Max =Min C(S,S)设网络流图D的流量f达到极大，我们构造一个割切(S,S)如下若Z S，则有一条从Z到Z的道路，Z=V0,V1,.,Vk=Z，这条道路上所有的边均不饱和，因而是条可增广道路，这和f是最大流的假设矛盾。ZS若xS，且fxy0，则yS显然Z S(Z的出度d(Z)=0)，所以(S,S)是一个割切。按照子集S的定义，若xS，yS，则fxy=Cxy若yS，xS，则fyx=0所以=(fxy-fyx)= fxy=C

10、(S,S)即Max =Min C(S,S)通过以上论证，可知当D中找不到可增广道路时，此时的流为最大流；当D中的流最大时，一定存在容量最小的割切(S,S)四.求网络最大流的算法根据上述最大流最小割切定理及其论证，我们不难得出下面重要结论：设f是网络流图D的一个流，如果存在从源点Z到汇点Z的关于f可增广道路P，那么f一定是最大流。至此，求最大流的基本思路为：标号法(Ford-Fulkerson算法)标号法分为两个过程，一是标号过程，通过标号过程找到一条可增广道路或无法找到可增广道路；二是增广过程，沿可增广道路增加网络流量。从一个可行流出发(若网络中没有初始流，则可以设f是零流)1、标号过程：用V

11、s表示源点，Vt表示汇点。在此过程中，网络中的顶点或者是已标号点(又分为已检查和未检查两种)，或者是未标号点。每个标号点的标号包含两部分。第一个标号指明它的标号是从哪个顶点得到的，以便找出可改进量，第二个标号是为确定可改进量而设的。标号过程开始，先给源点Vs标上(0,+)，这时Vs是已标号而未检查的点，其余都是未标号点。一般地，取一个已标号而未检查的点Vi，对一切未标号点Vj：若存在弧(Vi,Vj)且fij0，则给Vj标号(-Vi,L(Vj)，其中L(Vj)=Min(L(Vi),fji),至此，Vj成为已标号而未检查点。在Vi的全部相邻顶点都已标号后，Vi成为标号而已检查的顶点。重复上述步骤，

12、一旦Vt被标号，表明得到一条从Vs到Vt的可增广道路P，转入增广过程。若所有标号点都已检查过使得标号过程无法继续时，则算法结束，这是的可行流即为最大流。2、增广过程 所得可增广道路P上的顶点都已标号。因此多用“倒向追踪”的方法，从Vt开始，利用标号点的第一个标号可得P上一条边，并以Vt的第二个标号l(Vt)(即可增广流量)作为改进量，增大P上的流量。 具体步骤如下： 取Vt的第一个标号Vk（或-Vk），则弧（Vk,Vt）(或相应的弧（Vt,Vk）)是P上的弧，接下来再根据Vk的第一个标号Vi（或-Vi），再找到P上的弧(Vi,Vk)(或(Vk,Vi) ，直到找到Vs为止，这是所有被找出的弧就构

13、成了可增广道路P。 根据第一个标号的正负号，可知其方向是前向还是后向。令改进量=L(Vt)，对弧上的流量fij作改进：fij+ (Vi,Vj)为p+fij- (Vi,Vj)为p-Fij= 去掉所有的标号，对新的流F=(fij)重新进入标号过程。求最大流标号发的描述数据结构Const maxn=Type node=record 可增广道路的顶点类型 l,p:integer； 第一标号，检查标号 end; arc=record 网络边类型 c,f:integer; 容量，流量 end; gtype=array0.maxn,0.maxn of arc； 网矩阵 ltype=array0.maxn o

14、f node; 可增广道路var lt:ltype; 可增广道路 g:gtype; 网络 n,s,t:integer; 顶点数，源点，汇点 主要算法1 初始化网络，可增广道路procedure read-graph； var I,j:integer;begin readln(n); 顶点数 fillchar(g,sizeof(g),0); 初始化网络 fillchar(lt,sizeof(lt),0); 初始化可增广道路 for i:=1 to n do for j:=1 to n do read(gI,j.c);end;2 寻找已标号而来检查的顶点序号function check:integ

15、er; var i:integer;begin i:=1; while (i=n)and not(lti.l0)and(lti.p=0) do inc(i); if in then check:=0 顶点不存在 else check:=i;end;3 标号过程，并返回是否找到可增广道路及改进量afunction ford(var a:integer):boolean; 无增广道路返回true var I,j,m,x:integer;begin ford:=true; fillchar(lt,sizeof(lt),0); 去掉原来的标号 lts.l:=s; 从Vs开始 repeat i:=che

16、ck; 寻找一个已标号而未检查的顶点i if i=0 then exit; 若该顶点不存在，则退出过程，返回true for j:=1 to n do if (ltj.l=0)and(gI,j.c0)or(gj,i.c0) 寻找与Vi相邻且未标号的顶点j then begin if (gI,j.f0) then ltj.l:=-I; end; lti.p:=1; 顶点Vi置已检查标志 until (ltt.l0) 直到汇点Vt标号为止 m:=t; a:=maxint; 从Vt倒推，改进量a赋初值 repeat 求a j:=m; m:=abs(ltt.l); if ltj.l0 then x:=

17、gm,j.c-gm,j.f; if ax then a:=x; until m=s; 直至例推到顶点Vs为止 ford:=false; 返回可增广道路存在标志falseend;4 修正流量procedure fulkerson(a:integer); var m,j:integer;begin m:=t; 以顶点Vt出发，逆向沿可增广道路修正容量 repeat j:=m; m:=abs(ltj.l); if ltj.l0 then gm,j.f:=gm,j.f+a; 前向边p+until m=s;end;5 输出所有弧的流量procedure answer; var I,j:integer;b

18、egin for i:=1 to n do for j:=1 to n do writeln(,I, ,j, ), ,gI,j.f)end;6 算法合成procedure proceed; 求最大流var d:integer; success:boolean;begins:=1; t:=n; 假设源点为V1，汇点为Vnrepeatsuccess:=ford(d); 寻找可增广道路及改进量dif success then answer 增广道路不存在，输出最大流 else fulkerson(d) 沿增广道路修正流量until success;end;7 主程序beginread_graph;

19、输入网proceed; 求最大流end.计算最大流的dinic算法 Dinic算法的思想是分阶段地在层次图中改进流量。下面先介绍网络图的剩余图及层次图概念。 剩余图：给定一个网络流图D1=(V1,E1,c)及一可行流f，与该网络流图D1=(V1,E1,c)关于流f的剩余图D2=(V2,E2)，D2的顶点集与D1的顶点集相同，即V2=V1。对于D1中的任一条有向边（u,v）E1，若fuv0，那么边(u,v) E2，guv=fuv，显然改变为后向边。由此可见，网络流图D1中的每条边在剩余图D2中都化作了一条或两条边，D2中的每条边都表示在D1中能沿某方向则增广，D2中边（u,v）的权值guv表示在

20、D1中能够沿着Vu到Vv的方向增广大小为guv的流量。见下图。层次图：在剩余图中，把源点到点i的最短路径长度称作点i的层次，记为level(i)。源点s的层次为0。层次图的构造是这样的，设层次图D3=（V3，E3），对于剩余图D2=（V2，E2）中的一条边（u,v），当且仅当level(v)=level(u)+1时，边（u,v）E3，V3=uE3中有边与u相连。 直观地讲，层次图是建立在剩余图基础上的一张“最短路径图”。从源点开始，在层次图中沿着边不管怎么走，经过的路径一定是终点在剩余图中的最短路径。在D2中，从源点vs到汇点vt的任意一条简单路径（即不存在重复顶点或边的路径）都对应可增广路径

21、，路径上每条边的权值的最小值即为能够一次增广的容量。1dinic算法的基本流程算法是循环结构，将每一次循环称为一个阶段，在每个阶段中，首先根据剩余图建立层次图，然后用dfs过程在层次图内扩展可增广路径，调整流量。增广完毕后，进入下一个阶段。这样不断重复，直到汇点不再层次图内出现为止，汇点不再层次图内意味着在剩余图中不存在从源点到汇点的路径，即没有可增广路径。在算法实现中，层次图并不是构建出来的只需在剩余图中对每个顶点标记层次level，增广时，判断边是否满足level(u)+1=level(v)约束即可。2、Dinic算法描述（1）数据结构Const maxn= maxm= maxw=+ 取一

22、个极大数type gtype=record (边类型) x,y,c,f,next,op:longint; 分别为边(x,y)，容量，流量，后继指针，反向指针 end;Var g:array1.maxm*2 of gtype; 以边目表存储网络流图 first,first1:array1.maxn of longint; 顶点Vi引出的首条边序号firsti p,level,prt:array1.maxn of longint; 队列或栈p，顶点Vi的层次level，可增广路 径上顶点Vi引出的边序号prti visited:array1.maxn of longint; 访问序列 n,m,to

23、t,vs,vt,maxflow,temp:longint; 顶点数n，边数m，边序号tot，最大流量maxflow构造初始剩余图。 将网络图的边目表，及初始流f=0，通过add(a,b,c)过程插入容量为c的边(a,b)和容量为0的反向边(b,a)。 边目表的存储的链表形式：将顶点Vi引出的所有边存储在一个链表中，首条边的序号为firsti，顺着next指针，依次访问顶点Vi引出的所有边。 过程add。Procedure add(a,b,c:longint); Begin Inc(tot); gtot.x:=a; gtot.y:=b; gtot.c:=0; gtot.next:=first1a

24、; first1a:=tot; 在a顶点引出的边表尾部插入该条边 If firsta=-1 then firsta:=tot; gtot.op:=tot+1; 设置反向边指针 inc(tot); gtot.x:=b; gtot.y:=a; gtot.c:=0; 新增一条容量为0的边(b,a) gtot.next:=first1b; first1b:=tot; 在b顶点引出的边表尾部插入该条边If firstb=-1 then firstb:=tot; gtot.op:=tot-1; 设置反向边指针 end;构建初始剩余图，设f=0为零流。Fillchar(g,sizeof(g),0); 网络流

25、图初始化为空Readln(n,m); 读入顶点数，边数For i:=1 to n do begin 每个顶点引出的边集初始化为空 firsti:=-1; first1:=-1 end; Tot:=0; 边序号初始化For i:=1 to m do 读入第i条边(a,b)及容量c,将该边和反向边插入到g中 Begin Readln(a,b,c); Add(a,b,c); End;通过宽度优先搜索计算顶点层次level。 首先源点进队列，然后按照“层次”搜索剩余图，取出队首元素，搜索剩余图中队首元素引出的所有边。若边的两端点的层次至少相差2层以上，则另一个端点入队，该端点置于队首元素的下一层。依此

26、类推，直至队列空。 Procedure make_level; Var I,open,closed,temp,tp:longint; 队首指针open，队尾指针closed，队首元素tp Begin For i:=1 to n do leveli:=maxw; (每个顶点层次初始化) Fillchar(p,sizeof(p),0); 队列置空 Open:=1; closed:=0; popen:=vs; levelvs:=1; 源点vs进入队列，层次为1 While closedopen do 若队列非空，则取出队首顶点tp Begin Inc(closed); tp:=pclosed; If

27、 tp=vt then exit; 若队首为汇点，则退出 Temp:=firsttp; 搜索剩余图中与队首顶点相连的所有边 While temp-1 do Begin If levelgtemp.yleveltp+1 Then if (gtemp.f0) Then 若当前边属于剩余图，则另一端进入队列，其层次为队首顶点的下一层 Begin Inc(open);popen:=gtemp.y;levelgtemp.y:=leveltp+1; End; Temp:=gtemp.next; 取队首顶点相连的下一条边 End; End; End;执行了make_level过程后，来计算出汇点Vt的层次，

28、(levelVt=maxw)，则说明源点Vs与汇点Vt间无路可通，不存在可增广路径，当前流为最大流。在计算出层次图后，则通过dfs扩展可增广路径来调整流量。在层次图内扩展可增广路径，调整流量。使用堆栈存储目前找到的可增广路径，栈顶指针指向路径中的最后一个顶点。一开始，栈中只有源点。Dfs过程分两个操作：如果栈顶元素为汇点，即找到了可增广路径，那么对栈中的可增广路径进行流量调整。流量调整后，栈顶里饱和边对应顶点间的所有元素出栈，以后进需要对栈中余下路径进行增广；如果栈顶元素u非汇点，且栈顶元素在层次图中连出的属于剩余图的边(u,v)，则顶点v入栈，可增广路径中又扩展出一条边(u,v)，并继续以u引出的下一条边出发进行dfs遍历；若u在