初中数学圆教案.docx

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第二十四章圆

单元要点分析教学内容

1．本单元数学的主要内容．

（1）圆有关的概念：

垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．

（2）与圆有关的位置关系：

点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．

（3）正多边形和圆．

（4）弧长和扇形面积：

弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．2．本单元在教材中的地位与作用．

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．

教学目标

1．知识与技能

（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：

了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．

（3）进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算．

（4）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．2．过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

（5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．教学重点

1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的

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一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

6．直线L和⊙O相交dr；直线L和圆相切d=r；直线L和⊙O相离dr及其运用．

7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．

8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．

9．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用．

10．两圆的位置关系：

d与r1和r2之间的关系：

外离dr1+r2；外切d=r1+r2；相交│r2-r1│dr1+r2；内切d=│r1-r2│；内含d│r2-r1│．

11．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ之间的等量关系并应用这个等量关系解决具体题目．

12．n°的圆心角所对的弧长为L=

nR180

，n°的圆心角的扇形面积是S

扇形

=

nR360

2

及其

运用这两个公式进行计算．

13．圆锥的侧面积和全面积的计算．

教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题．

3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．4．点与圆的位置关系的应用．

5．三点确定一个圆的探索及应用．

6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．7．切线的判定定理与性质定理的运用．8．切线长定理的探索与运用．

9．圆和圆的位置关系的判定及其运用．

10．正多边形和圆中的半径R、边心距r、中心角θ的关系的应用．11．n的圆心角所对的弧长L=12．圆锥侧面展开图的理解．教学关键

1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．

2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．

3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．

单元课时划分

本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：

24．1圆3课时

nR180

及S

扇形

＝

nR360

2

的公式的应用．

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24．2与圆有关的位置关系4课时24．3正多边形和圆1课时24．4弧长和扇形面积2课时教学活动、习题课、小结3课时

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老师提问几名学生并点评总结.

（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）;

（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此，我们可以得到圆的新定义：

圆心为O,半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形.同时，我们又把①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC,AB;②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB;③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作

AC”,读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧.

BOAC

④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（学生活动）请同学们回答下面两个问题.1.圆是轴对称图形吗？

如果是，它的对称轴是什么？

你能找到多少条对称轴？

2.你是用什么方法解决上述问题的？

与同伴进行交流.（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.3.我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.因此，我们可以得到：

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.（学生活动）请同学按下面要求完成下题：

如图

AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.CAMOB

D

（1）如图是轴对称图形吗？

如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？

说一说你理由.（老师点评）

（1）是轴对称图形，其对称轴是CD.

（2）AM=BM,AC=BC,AD=BD,即直径CD平分弦AB,并且平分AB及ADB.这样，我们就得到下面的定理：

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垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：

直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M求证：

AM=BM,AC=BC,AD=BD.分析：

要证AM=BM,只要证AM、BM构成的两个三角形全等.因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可.证明：

如图，连结OA、OB,则OA=OB在Rt△OAM和Rt△OBM中

C

OA=OBOM=OM∴Rt△OAM≌Rt△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称

A

MO

B

∴当圆沿着直线CD对折时，A与点B重合，与BC重合，与BD点ACAD重合.∴AC=BC,AD=BD进一步，我们还可以得到结论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（本题的证明作为课后练习）例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD,点O是CD的圆.心，其中CD=600m,E为CD上一点，且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.分析：

例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.解：

如图，连接OC设弯路的半径为R,则OF=（R-90）mC∵OE⊥CD∴CF=

11CD=×600=300（m）22

EF

根据勾股定理，得：

OC2=CF2+OF2D222O即R=300+（R-90）解得R=545∴这段弯路的半径为545m.三、巩固练习教材P86练习P88练习.四、应用拓展例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否

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需要采取紧急措施？

请说明理由.分析：

要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.解：

不需要采取紧急措施设OA=R,在Rt△AOC中，AC=30,CD=18D22222NER=30+（R-18）R=900+R-36R+324M解得R=34（m）CAB连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中，ME=16222O34=16+（34-x）162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0解得x1=4,x2=64（不合设）∴DE=4∴不需采取紧急措施.归纳小结（学生归纳，老师点评）五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：

1.圆的有关概念；2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.3.垂径定理及其

推论以及它们的应用.六、布置作业1.教材P94复习巩固1、2、3.2.车轮为什么是圆的呢？

3.垂径定理推论的证明.4.选用课时作业设计.第一课时作业设计选择题.一、选择题.1.如图1,如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中，错误的是（）.A.CE=DEB.BC=BDC.∠BAC=∠BADD.ACAD

A

C

OCBEO

OAB

D

PD

B

A

M

（1）

（2）（3）2.如图2,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为3,则弦AB的长是（）A.4B.6C.7D.83.如图3,在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）A.AB⊥CDB.∠AOB=4∠ACDC.AD=BDD.PO=PD

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二、填空题1.如图4,AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.

BEAODCEB

ACF

OD

（4）（5）2.为⊙O内一点，POP=3cm,半径为5cm,⊙O则经过P点的最短弦长为________;最长弦长为_______.3.如图5,OF分别为⊙O的弦AB、的弦心距，OE、CD如果OE=OF,那么_______（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1.如图24-11,AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM⊥CD,分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.

DBEACO

ONAC

M

B

D

2.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E,AE=2,EB=6,∠DEB=30°,求弦CD长.3.（开放题）AB是⊙O的直径，AC、AD是⊙O的两弦，已知AB=16,AC=8,AD=8,求∠DAC的度数.答案:

答案一、1.D2.D3.D二、1.82.8103.AB=CD三、1.AN=BM理由：

过点O作OE⊥CD于点E,则CE=DE,且CN∥OE∥DM.D∴ON=OM,∴OA-ON=OB-OM,∴AN=BM.BF2.过O作OF⊥CD于F,如右图所示OE∵AE=2,EB=6,∴OE=2,

A

∴EF=3,OF=1,连结OD,

C

在Rt△ODF中，42=12+DF2,DF=15,∴CD=215.

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3.

（1）AC、AD在AB的同旁，如右图所示:

C_∵AB=16,AC=8,AD=83,

A_O_

D_

111∴AC=（AB）,∴∠CAB=60°,222

同理可得∠DAB=30°,B_∴∠DAC=30°.

（2）AC、AD在AB的异旁，同理可得：

∠DAC=60°+30°=90°.

上课时间：

上课时间：

课题

24.1圆（第2课时）课时）了解圆心角的概念：

掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.1.重点：

定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧

相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.2.难点与关键：

探索定理和推导及其应用.

目标（三维目标）

重点难点

教法学法

讲授法

演示法

读书指导法

特征联系法点拨指导法教学过程：

详案）（详案教学过程：

详案）（讨论修改

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一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题.已知△OAB,如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形.

A

BO老师点评：

O点旋转，点就是固定点，绕O旋转30°,就是旋转角∠BOB′=30°.二、探索新知如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

BAA

B

A'B'

O

O

（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？

为什么？

AB=A'B',AB=A′B′理由：

∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半径OB与OB′重合∵点A与点A′重合，点B与点B′重合∴AB与A'B'重合，弦AB与弦A′B′重合∴AB=A'B',AB=A′B′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？

请同学们现在动手作一作.（学生活动）老师点评：

如图1,在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′得到如图2,滚动一个圆，使O与O′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合.

O

O'

O（O'）

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BAOO'

B'A'

BO（O'）B'AA'

（1）你能发现哪些等量关系？

说一说你的理由？

我能发现：

AB=A'B',AB=A/B/.

（2）

现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.（学生活动）请同学们现在给予说明一下.请三位同学到黑板板书，老师点评.例1.如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分.别为EF.

（1）如果∠AOB=∠COD,那么OE与OF的大小有什么关系？

为什么？

（2）如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系？

AB与CD的大小有什么关系？

为什么？

∠AOB与∠COD呢？

分析：

（1）要

说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,即说明AB=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.

（2）∵OE=OF,∴在Rt△AOE和Rt△COF中，又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF,∴AE=CF,∴AB=CD,又可运用上面的定理得到AB=CD解：

（1）如果∠AOB=∠COD,那么OE=OF理由是：

∵∠AOB=∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB,OF⊥CDAEODCF

∴AE=

11AB,CF=CD22

B

∴AE=CF又∵OA=OC

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∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF

（2）如果OE=OF,那么AB=CD,AB=CD,∠AOB=∠COD理由是：

∵OA=OC,OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵OE⊥AB,OF⊥CD∴AE=

11AB,CF=CD22

∴AB=2AE,CD=2CF∴AB=CD∴AB=CD,∠AOB=∠COD三、巩固练习教材P89练习1教材P90练习2.四、应用拓展例2.如图3和图4,MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一.点P,∠APM=∠CPM.

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由.

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？

若成立，加以证明；若不成立，请说明理由.

AAFODNBMPEC

EBMPDFCN

（3）（4）分析：

（1）要说明AB=CD,只要证明AB、CD所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等.上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.解：

（1）AB=CD理由：

过O作OE、OF分别垂直于AB、CD,垂足分别为E、F∵∠APM=∠CPM∴∠1=∠2OE=OF连结OD、OB且OB=OD∴Rt△OFD≌Rt△OEB∴DF=BE根据垂径定理可得：

AB=CD

（2）作OE⊥AB,OF⊥CD,垂足为E、F

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∵∠APM=∠CPN且OP=OP,∠PEO=∠PFO=90°∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF,Rt△OAE≌Rt△OCF∴∠1+∠2=∠3+∠4∴AB=CD归纳总结（学生归纳，老师点评）五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：

1.圆心角概念.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.六、布置作业1.教材P94-95复习巩固4、5、6、7、8.2.选用课时作业设计.

第二课时作业设计一、选择题.选择题.1.如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对2.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧AB与CD关系是（）A.AB=2CDB.ABCDC.AB2CDD.不能确定

3.如图5,⊙O中，如果AB=2AC,那么（）.A.AB=ACB.AB=ACC.AB2ACD.AB2ACCEACOB

AD

O

B

（5）

（6）

二、填空题1.交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________.2.一条弦长恰好

为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________.3.如图6,AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________.三、解答题1.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、N在⊙O上.

（1）求证：

AM=BN;

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（2）若C、D分别为OA、OB中点，则AM=MN=NB成立吗？

MAEFOBB

NDB

CD

A

F

D

A

C

O

E

C

2.如图，以

ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD

于E、F,若∠D=50°,求BE的度数和EF的度数.3.如图，∠AOB=90°,C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F,求证：

AE=BF=CD.答案:

答案一、1.D

2.A3.C2.

二、1.圆的旋转不变形

15或33

3.3

三、

（1）1.连结OM、ON,Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON,在OA=OB,∵AC=DB,∴OC=OD,∴Rt△OCM≌Rt△ODN,∴∠AOM=∠BON,∴AM=NB

（2）AM=MN=NB2.BE的度数为80°,EF的度数为50°.3.连结AC、BD,∵C、D是AB三等分点，∴AC=CD=DB,且∠AOC=

1×90°=30°,3

∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=75°,又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°,∴AE=AC,同理可证BF=BD,∴AE=BF=CD

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上课时间：

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课题

课时）24.1圆（第3课时）1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角的定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.理解圆周角定理的推论：

（或直径）半圆所对的圆周角是直角，°90的圆周角所对的弦是直径.4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.1.重点：

圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.2.难点：

运用数学分类思想证明圆周角的定理.3.关键：

探究圆周角的定理的存在.

目标（三维目标）

重点难点