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城区学校分配学生问题论文
城区学校分配学生
摘要
随着城市经济社会发展及人口变化，城市中小学布局结构不合理的问题日益突出，学校布局结构是否科学合理，直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量。
本题旨在研究考虑学校利益、学生管理、学生安全等因素下实现学生的最佳分配问题。
在理解题意的基础上深入分析，我们运用线性规划模型和层次分析模型来建模，在问题一二中建立线性规划模型实现校方利益的最大化以及在保证校方利益的基础上进一步满足在学生管理和安全的要求，运用lingo软件编程求解。
在问题三上以为学校提供一个最合理的策略为目标层，以学校利益、学生管理和学生安全为准则层，以题目中提供的六种决策为措施层建立层次分析模型，运用matlab软件编程求解。
问题四，根据前三问综合分析我国现行学生入学现象。
关键词：
城区小学学生分配线性规划及层次分析
第1章问题重述
城市各城区小学学校的布局结构和学生的分配是否科学合理，直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量。
下面就某城区的学校和学生信息根据要求对学生进行适当合理的分配。
由于城区旧城改造、新居建设以及人口流动等因素，现需将城区的六个街区小学生重新分配至该城区的三所学校A、B、C中去。
经统计已知六个街区的小学生总人数以及低、中、高年级的比例（见表1）。
同时考虑到可能出现夸街区上学的可能，为了保证学生的安全，每个学校将提供一定的上下课接送服务，由此产生的交通成本费用由上学的远近决定。
具体数据见表2，其中0表示不用提供接送服务，短线表示无法提供接送服务。
另一方面，学校为了保证教学质量，规定每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。
1.如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。
2.另一方面，教育部门从学生管理和安全的角度考虑，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学，那么在保证学校利益的基础上又应如何分配学生。
3.随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了如下备选策略：
（1）取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；
（2）取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（3）保持原方案。
根据问题1的模型，再次考虑在各个策略下学生如何分配，比较各分配方案的差别。
同时，结合问题2，在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，为学校提供一个合理的策略。
4.我国现行的学生入学分配政策基本以学区内入学为主，但很多家长为了让小孩进入教学效应较好的学校，不惜夸学区入学，而且学校也为此提供一定的入学名额，试就目前的入学情况谈谈你的想法，并提出你的建议。
表1.1学校和学生信息
地区
学生数量
低年级
中年级
高年级
1
450
32
38
30
2
600
37
28
35
3
550
30
32
38
4
350
28
40
32
5
500
39
34
27
6
450
34
28
38
表1.2学校接送交通成本费用和容量
学校A
学校B
学校C
每个学生的公交成本（元/年）
300
0
700
-
400
500
600
300
200
200
500
-
0
-
400
500
300
0
学校容量
900
1100
100
第2章问题的分析
在现实教育部门的统筹规划中，学校的布局结构和学生的分配不仅直接关系到教育资源的利用效率和学校的教育教学质量，同时还牵涉到学生管理、学生上下学的路途安全以及学校的经济利益。
为保证教学质量，要求每个学校的低、中、高年级学生的比例都应在30%-36%之间。
考虑到学生管理的便利，希望每个街区的学生应尽可能的就近入学，而且同一个街区的学生能在同一所学校上学。
为确保学生上下学安全，学校提供一定的上下课接送服务。
由于交通成本费有上学的远近决定，学生就近上学的的希望已经在最小交通成本中体现。
由题意可知，目的在于建立一种模型，解决学生的分配地点和分配数量，从而使交通成本，学生管理和安全达到所需目标。
问题一中，根据学校容量，学校低、中、高年纪比例，小区学生人数的约束条件以及要得到学校最小交通成本的最优目标很容易想到线性规划模型。
问题二与问题一的不同只在于安全问题需重点考虑，因此题目表二（学校接送交通成本费用和容量）中短线线路应理解为交通成本无穷大，仍然采用线性规划模型。
问题三有6个被选策略：
（1）在问题1的基础上，取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；
（2）在问题1的基础上，取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（3）保持问题1原方案。
（4）在问题2的基础上，取消成本为200元/年的接送范围，其他保持不变；（5）在问题2的基础上，取消成本为300元/年以下的接送范围，其他保持不变；（6）保持问题2原方案。
在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这6个策略为学校提供一个合理的策略，顺其自然想到采用层次分析法建模。
第3章建模过程
3.1模型假设
1.各地区学生选择到各学校的概率相互独立且相等。
2.模型1、2、3中各学校的教学效应均相等。
3.在问题一中，因为只考虑学校利益，对于表2中无法提供接送服务的学校，我们不考虑是否存在安全因素。
4.对于高、中、低年级的学生我们不考虑年龄因素，在进行分配时我们假设高中低年级学生具有相同的安全系数。
5.在问题二中，表二短横线表示无法提供接送服务，对于此我们假设安全系数极低，学生上学时无法保证安全，短横线的学校应为不可达的分配途径。
6.问题三中，对于取消接送的学校范围，我们假设那些原本需要接送的学生为自费乘坐公共交通工具上学。
7.我们假定乘坐公共交通工具安全系数低于乘坐校车的安全系数。
3.2定义与符号说明
:
分别为A,B,C三所学校的学生容量（
=1,2,3）
:
第i个区内的低年级学生人数（
=1,2，3,4,5,6）
：
第i个小区的中年级学生人数（
=1,2，3,4,5,6）
：
第i个小区的高年级学生人数（
=1,2，3,4,5,6）
：
第i个小区去j学校的低年级学生人数
：
第i个小区去j学校的中年级学生人数
：
第i个小区去j学校的高年级学生人数
：
第i个小区去j学校所需的交通成本费用
3.3模型的建立与求解
3.3.1问题一
如果从校方利益的角度考虑，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，同时又必须保证各年级的比例在规定的范围内。
把短线表示无法提供接送服务的地区与0表示不用提供接送服务的地区同等看待成校方不需要交通成本费。
用线性规划来建立模型。
目标函数：
cij=
约束条件：
1、各区低年级的人数限制：
d（i）=14422216598195153
2、各区中年级的人数限制
W（i）=171168176140170126
3、各区中年级的人数限制
g（i）=135210209112135171
4、学校容量的限制
a（i）=90011001000
5，学校构成的比例限制
（低年级）
（中年级）
（高年级）
采用lingo软件编辑程序（见附录一）求解得学校最低交通成本为145000元，具体学校分配结果见表3.1。
表3.1问题一的实验结果
地区
学校
一
二
三
四
五
六
总数
所占的比例
A
低
222
102
324
36%
中
168
104
272
30.2%
高
210
94
304
33.8%
B
低
144
109
93
346
34.6%
中
171
115
66
352
35.2%
高
135
126
41
302
30.2%
C
低
56
98
153
307
31%
中
61
140
126
327
33%
高
83
112
171
366
36%
3.3.2问题二：
问题二仍然要考虑校方利益，但学生上下学安全成为主要考虑因素。
同时必须保证各年级的比例在规定的范围内。
此问中把短线表示无法提供接送服务看待成校方需提供无穷大的交通成本费。
在此前提下，为了节省接送的交通成本，所有学生应如何分配到各个学校去，仍用线性规划来建立模型。
目标函数：
其中cij=
约束条件：
与问题一一样。
采用lingo软件编辑程序（见附录二）求解得学校最低交通成本为427400元，具体学校分配结果见表4.2。
表3.2问题二实验结果
地区
学校
一
二
三
四
五
六
总数
所占的比例
A
低
98
195
293
34%
中
140
170
310
36%
高
12
112
135
259
30%
B
低
144
222
366
35.3%
中
171
149
320
30.8%
高
123
210
19
352
33.9%
C
低
165
153
318
32%
中
19
176
126
321
32%
高
190
171
361
36%
3.3.3问题三：
随着社会公共交通事业的发展，学校考虑是否应降低接送交通成本，分析制定了6个被选策略分别为：
P1:
在问题一模型下取消成本200元/年的接送范围，其他不变。
P2:
在问题一模型下取消成本300元/年的接送范围，其他不变。
P3:
保持问题一原方案。
P4:
在问题二模型下取消成本200元/年的接送范围，其他不变。
P5:
在问题二模型下取消成本300元/年的接送范围，其他不变。
P6:
保持问题二原方案。
在考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，比较这6个策略为学校提供一个合理的策略。
顺其自然想到采用层次分析法建模。
因此以选择策略为目标层，学校利益、学生管理以及学生安全为准则层，六种策略为措施层建立分层分析模型如图3.1。
目标层
图3.1层次结构模型
准则层的判断矩阵如表3.3所示。
表3.3准则层的判断矩阵
A
B1
B2
B3
B1
1
1
1/5
B2
1
1
1/5
B3
5
5
1
方案层得判断矩阵如表3.4所示。
表3.4方案层的判断矩阵
B1
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P1
1
1/2
2
4
3
5
P2
2
1
3
5
4
6
P3
1/2
1/3
1
3
2
4
P4
1/4
1/5
1/3
1
1/2
1/3
P5
1/3
1/4
1/2
2
1
2
P6
1/5
1/6
1/4
3
1/2
1
B2
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P1
1
1
1
1/3
1/3
1/3
P2
1
1
1
1/3
1/3
1/3
P3
1
1
1
1/3
1/3
1/3
P4
3
3
3
1
1
1
P5
3
3
3
1
1
1
P6
3
3
3
1
1
1
B3
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P1
1
3
1/3
1/5
1/4
1/8
P2
1/3
1
1/4
1/6
1/5
1/9
P3
3
4
1
1/3
1/2
1/5
P4
5
6
3
1
3
5
P5
4
5
2
1/3
1
1/7
P6
8
9
5
5
7
1
层次总排序的结果如表3.5所示。
表3.5层次总排序的结果
准则
校方利益
学生管理
学生安全
总排序权值
准则层权值
0.143
0.143
0.714
方案层排序权值
P1
0.2504
0.0833
0.0451
0.0799
P2
0.3796
0.0833
0.0277
0.0860
P3
0.1614
0.0833
0.0869
0.097
P4
0.0495
0.25
0.2026
0.1875
P5
0.093
0.25
0.1158
0.1317
P6
0.0661
0.25
0.5229
0.4186
根据层次总排序权值可以知道，第六个决策的权值最大，即在学生如何分配以及考虑学校利益、学生管理和学生安全等因素下，第六个决策为合理的。
3.4.4问题四
本文问题一、二、三针对学校利益、学生管理和学生安全等因素对城区学生分配进行了研究。
从一二问的经济成本对照以及问题三的最优策略选择的结果表明学生分配一学区内入学为宜。
因此，各级教育行政部门要依据人口分布、地理状况、地段内学校规模和生源情况，根据免试就近入学原则，合理划定片区学位，确定每所学校招生服务范围，逐步减小跨服务区招生比例。
同时学校不得拒绝片区内符合就读条件的适龄儿童少年就读，不得擅自跨片区招生。
但是现今由于教育资源的不合理分配，很多家长不惜夸学区入学。
因此，实现教育资源的合理分配是解决本问题重要举措。
第4章参考文献
[1]数学建模分析法
[2]邱菀花冯允成魏法杰周泓，运筹学教程，北京：
机械工业出版社，2004年
[3]张志涌，精通MATLAB6.5版，北京：
航空航天大学出版社2002年
[4]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社2003年
第5章附件
3.1问题一
model:
sets:
rongliang/1..3/:
a;
xiaoqu/1..6/:
b,d,w,g;
yunfei（xiaoqu,rongliang）:
c,x,y,z;
endsets
data:
a=90011001000;
b=450600550350500450;
d=14422216598195153;
w=171168176140170126;
g=135210209112135171;
c=3000700
0400500
600300200
2005000
00400
5003000;
enddata
min=@sum（yunfei:
x*c+y*c+z*c）;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
x）=d（i））;!
各区低年级;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
z）=g（i））;!
各区中年级;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
y）=w（i））;!
各区高年级;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x+y+z）<=a（j））;!
学校容量;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x*0.7-0.3*y-0.3*z）>=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x*0.64-0.36*y-0.36*z）<=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
y*0.7-0.3*x-0.3*z）>=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
y*0.64-0.36*x-0.36*z）<=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
z*0.7-0.3*x-0.3*y）>=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
z*0.64-0.36*y-0.36*y）<=0）;!
比例限制;
@for（yunfei:
@gin（x））;@for（yunfei:
@gin（y））;@for（yunfei:
@gin（z））;End
3.2问题二
model:
sets:
rongliang/1..3/:
a;
xiaoqu/1..6/:
b,d,w,g;
yunfei（xiaoqu,rongliang）:
c,x,y,z;
endsets
data:
a=90011001000;
b=450600550350500450;
d=14422216598195153;
w=171168176140170126;
g=135210209112135171;
c=3000700
10000400500
600300200
20050010000
010000400
5003000;
enddata
min=@sum（yunfei:
x*c+y*c+z*c）;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
x）=d（i））;!
各区低年级;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
z）=g（i））;!
各区中年级;
@for（xiaoqu（i）:
@sum（yunfei（i,j）:
y）=w（i））;!
各区高年级;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x+y+z）<=a（j））;!
学校容量;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x*0.7-0.3*y-0.3*z）>=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
x*0.64-0.36*y-0.36*z）<=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
y*0.7-0.3*x-0.3*z）>=0）;!
比例限制;
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@sum（yunfei（i,j）:
y*0.64-0.36*x-0.36*z）<=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
z*0.7-0.3*x-0.3*y）>=0）;!
比例限制;
@for（rongliang（j）:
@sum（yunfei（i,j）:
z*0.64-0.36*y-0.36*y）<=0）;!
比例限制;
@for（yunfei:
@gin（x））;@for（yunfei:
@gin（y））;@for（yunfei:
@gin（z））;End
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