小升初平面几何常考五大模型.docx

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小升初平面几何常考五大模型

一、等积变换模型

1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型

（说明：

任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）

四、相似三角形模型

相似三角形：

是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为

由题知DC/GP=GC/PK，即DC/（DC-4）=（4+PK）/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*（4-c）/2+c^2-ac-a（4+a）/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=（c+4）^2/2+c^2/2-c（c+4）-2（c+4）+2c+16=16。

1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

　　分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。

　　已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

　　又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。

而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　答：

正方形ABCD的面积是200平方厘米。

　　2、图21是一个圆形钟面，圆周被平均分成了12等份。

已知圆形的半径是6厘米，那么图中阴影的面积是多少平方厘米？

　　分析与解题中告诉我们：

圆周被平均分成了12等份，因此连接OE，

　　答：

阴影的面积是18.84平方厘米。

　　3、为了美化校园，东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。

小圆形花坛的面积是3.14平方米，大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。

大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米？

　　分析与解我们知道圆的面积与半径的平方成正比。

题中告诉我们，大圆的半径是小圆半径的2倍，那么大圆面积是小圆面积的22倍。

　　大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大

　　3.14×（22-1）

　　=3.14×3

　　=9.42（平方米）

　　答：

大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。

3、有两个长方形，甲长方形的长是98769厘米，宽是98765厘米；乙长方形的长是98768厘米，宽是98766厘米。

这两个长方形的面积哪个大？

　　分析与解利用长方形面积公式，直接计算出面积的大小，再进行比较，这是可行的，但是计算太复杂了。

　　可以利用乘法分配律，将算式变形，再去比较两个长方形的面积大小，这就简便多了。

　　甲长方形的面积是：

　　98769×98765

　　=98768×98765+98765

　　乙长方形的面积是

　　98768×98766

　　=98768×98765+98768

　　比较98768×98765+98765与98768×98765+98768的大小，一眼便能看出：

甲长方形的面积小，乙长方形的面积大。

　　4、有50个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米，将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，得到的小正方体中，至少有一个面是红色的小正方体共有多少个？

　　分析与解棱长为1厘米涂有红漆的小正方体，不用锯，就是棱长1厘米的小正方体，它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。

　　将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体，锯成棱长为1厘米的小正方体，共得到33个，其中没有涂红漆的共（3-2）3个。

　　将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得53个，其中没有涂红漆的共（5-2）3个。

　　将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体，共得73个，其中没有涂红漆的共（7-2）3个。

　　由以上分析、计算发现，将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有

　　13+33-（3-2）3+53-（5-2）3+73-（7-2）3

　　=13+33-13+53-33+73-53

　　=13+33+53+73-13-33-53=73=343（个）

　　按照这样的规律可得，将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后，得到至少有一个面为红色的小正方体共有：

　　13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299（个）

　　答：

至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

　　5、有棱长为1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个，把它们的表面都涂上红漆，晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体，在这些小正方体中，只有2个面有红漆的共有多少个？

　　分析与解根据题意，首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体，都在原来大正方体的棱上。

原来棱长是1厘米、2厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得不到只有2个面有红漆的小正方体。

棱长是3厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。

每个正方体有12条棱，因此可得到12个只有2个面有红漆的小正方体，即共有（3-2）×12个。

　　棱长为4厘米的正方体，将它截成1立方厘米的小正方体后，得到只有2个面有红漆的小正方体共（4-2）×12个。

　　依此类推，可得出，将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后，共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是：

　　[（3-2）+（4-2）+（5-2）+……+（102-2）]×12

　　=[1+2+3+……+100]×12

　　=60600

　　答：

只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。

　　6、有一个长方体木块，长125厘米，宽40厘米，高25厘米。

把它锯成若干个体积相等的小正方体，然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。

这个大正体的表面积是多少平方厘米？

　　分析与解一般说来，要求正方体的表面积，一定要知道正方体的棱长。

题中已知长方体的长、宽、高，同正方体的棱长又没有直接联系，这样就给解答带来了困难。

我们应该从整体出发去思考这个问题。

　　按题意，这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后，又拼成一个大正方体。

这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。

已知长方体的长、宽、高，就可以求出长方体的体积，这就是拼成的大正方体的体积。

进而可以求出正方体的棱长，从而可以求出正方体的表面积了。

　　长方体的体积是

　　125×40×25=125000（立方厘米）

　　将125000分解质因数：

　　125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5

　　=（2×5×5）×（2×5×5）×（2×5×5）

　　可见大正方体的棱长是

　　2×5×5=50（厘米）

　　大正方体的表面积是

　　50×50×6=15000（平方厘米）

　　答：

这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

　　7、如图8-13，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色。

先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程。

问：

按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色?

解答：

盘点小升初平面几何常考五大模型

（一）等积变换模型性质与应用简介

　　导读：

平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

　　　　等积变换模型例题讲解与课后练习题

（一）例题讲解与分析

∙　　【例1】：

如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少？

　　【解答】连接BD,S△ABD和S△AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4，

S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12.

　　【总结】要找准那两个三角形的高相同。

　　【例2】：

如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

　　【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:

4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:

4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

　　【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。

事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会

一下。

（二）课后练习题讲解与分析

（二）鸟头定理（共角定理）模型

　　导语：

平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。

o（三）蝴蝶定理模型

　　导读：

平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

　　蝴蝶定理模型练习题

▪　　【练习1】：

在直角梯形ABCD中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。

梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

　　【解答】：

连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15，

　　因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90－15=75

　　再次用蝴蝶定理可求S△EFC=15×15÷75=3

　　所以SABCD=12×15+15+3=198

　　【练习2】：

如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面积为多少？

　　【解答】：

本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。

　　解法一：

取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均为1.5，因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22，阴影部分的面积为6*6-22=14。

　　解法二：

连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为2，下底都为6，上底、下底之比为2：

6=1：

3，根据梯形蝴蝶定理，这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16，阴影部分的面积占该梯形面积的7/16，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16，那么阴影部分的面积为14。

　　【例】已知正方形的面积是120平方厘米，B、E为正方形边上的中点，求题中阴影部分的面积是多少平方厘米？

　　【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为：

120÷5=24（平方厘米），由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.

　　方法一：

连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等，又因为ABC的面积为120÷4=30（平方厘米），所以BAF、AEF和EFC的面积为：

30÷3=10（平方厘米），所以阴影部分的面积为：

24-10=14（平方厘米）.

　　方法二：

本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏（形象演示）AB:

CD=BF:

FC=1:

2所以以BF为底的三角形ABF占整个三角形的1/3,为30×1/3=10（平方厘米）.所以阴影面积为：

24-10=14（平方厘米）.

（五）燕尾定理模型

　　导语：

平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，最后一期我们讲解一下五大模型最后一个——燕尾定理模型。

▪　　【练习】：

已知：

如图，D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点，F是DE的中点。

求△DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少？

　　【解析】因为F为DEF的中点，所以△CFD=△CEF△AFE=△AFD

　　因为E为AC的中点，所以△CEF=△AEF

　　所以△CFD=△CEF=△AEF

　　所以△CFA:

△CFD=2:

1

　　根据燕尾定理：

△AGF:

△DGF=△CFA:

△CFD=2:

1

　　所以△DFG：

AEFG=1：

（2+1+2）=1：

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