小升初平面几何常考五大模型.docx

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小升初平面几何常考五大模型

一、等积变换模型

1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等,面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型

(说明:

任意四边形与四边形、长方形、梯形,连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

四、相似三角形模型

相似三角形:

是形状相同,但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型

正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为

由题知DC/GP=GC/PK,即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK,令DC=a,PK=c,则a=4+c,则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2-c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。

1、图17是一个正方形地板砖示意图,在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2,中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米,四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米?

  分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线,它们相交于O,然后将三角形AOB放在DPC处(如图18和图19)。

  已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米,所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

  又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米,所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米,即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米,那么这个正方形的边长就是6厘米。

由此得出,正方形OCPD的边长是4+6=10厘米,当然正方形OCPD的面积就是102,即100平方厘米。

而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半,因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

  答:

正方形ABCD的面积是200平方厘米。

  2、图21是一个圆形钟面,圆周被平均分成了12等份。

已知圆形的半径是6厘米,那么图中阴影的面积是多少平方厘米?

  分析与解题中告诉我们:

圆周被平均分成了12等份,因此连接OE,

  答:

阴影的面积是18.84平方厘米。

  3、为了美化校园,东升小学用鲜花围成了两个圆形花坛。

小圆形花坛的面积是3.14平方米,大圆形花坛的半径是小圆形花坛半径的2倍。

大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大多少平方米?

  分析与解我们知道圆的面积与半径的平方成正比。

题中告诉我们,大圆的半径是小圆半径的2倍,那么大圆面积是小圆面积的22倍。

  大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大

  3.14×(22-1)

  =3.14×3

  =9.42(平方米)

  答:

大圆形花坛的面积比小圆形花坛的面积大9.42平方米。

3、有两个长方形,甲长方形的长是98769厘米,宽是98765厘米;乙长方形的长是98768厘米,宽是98766厘米。

这两个长方形的面积哪个大?

  分析与解利用长方形面积公式,直接计算出面积的大小,再进行比较,这是可行的,但是计算太复杂了。

  可以利用乘法分配律,将算式变形,再去比较两个长方形的面积大小,这就简便多了。

  甲长方形的面积是:

  98769×98765

  =98768×98765+98765

  乙长方形的面积是

  98768×98766

  =98768×98765+98768

  比较98768×98765+98765与98768×98765+98768的大小,一眼便能看出:

甲长方形的面积小,乙长方形的面积大。

  4、有50个表面涂有红漆的正方体,它们的棱长分别是1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米,将这些正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,得到的小正方体中,至少有一个面是红色的小正方体共有多少个?

  分析与解棱长为1厘米涂有红漆的小正方体,不用锯,就是棱长1厘米的小正方体,它当然是至少有一个面是红色的小正方体了。

  将棱长为3厘米的涂有红漆的小正方体,锯成棱长为1厘米的小正方体,共得到33个,其中没有涂红漆的共(3-2)3个。

  将棱长为5厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,共得53个,其中没有涂红漆的共(5-2)3个。

  将棱长为7厘米的涂有红漆的小正方体锯成棱长为1厘米的小正方体,共得73个,其中没有涂红漆的共(7-2)3个。

  由以上分析、计算发现,将校长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米的四个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后,得到至少有一个面为红色的小正方体共有

  13+33-(3-2)3+53-(5-2)3+73-(7-2)3

  =13+33-13+53-33+73-53

  =13+33+53+73-13-33-53=73=343(个)

  按照这样的规律可得,将棱长为1厘米、3厘米、5厘米、7厘米、9厘米、……、99厘米这50个正方体锯成棱长为1厘米的小正方体后,得到至少有一个面为红色的小正方体共有:

  13+33+53+73+93+……+973+993-13-33-53-73-93-……-973=993=970299(个)

  答:

至少有一个面是红色的小正方体共有970299个。

  5、有棱长为1、2、3、……、99、100、101、102厘米的正方体102个,把它们的表面都涂上红漆,晾干后把这102个正方体都分别截成1立方厘米的小正方体,在这些小正方体中,只有2个面有红漆的共有多少个?

  分析与解根据题意,首先应该想到只有2个面有红漆的小正方体,都在原来大正方体的棱上。

原来棱长是1厘米、2厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,得不到只有2个面有红漆的小正方体。

棱长是3厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,大正方体的每条棱上都有1个小正方体只有2个面有红漆。

每个正方体有12条棱,因此可得到12个只有2个面有红漆的小正方体,即共有(3-2)×12个。

  棱长为4厘米的正方体,将它截成1立方厘米的小正方体后,得到只有2个面有红漆的小正方体共(4-2)×12个。

  依此类推,可得出,将这102个正方体截成1立方厘米小正方体后,共得到只有2个面有红漆的小正方体的个数是:

  [(3-2)+(4-2)+(5-2)+……+(102-2)]×12

  =[1+2+3+……+100]×12

  =60600

  答:

只有2个面有红漆的小正方体共有60600个。

  6、有一个长方体木块,长125厘米,宽40厘米,高25厘米。

把它锯成若干个体积相等的小正方体,然后再把这些小正方体拼成一个大正方体。

这个大正体的表面积是多少平方厘米?

  分析与解一般说来,要求正方体的表面积,一定要知道正方体的棱长。

题中已知长方体的长、宽、高,同正方体的棱长又没有直接联系,这样就给解答带来了困难。

我们应该从整体出发去思考这个问题。

  按题意,这个长方体木块锯成若干个体积相等的小正方体后,又拼成一个大正方体。

这个大正方体的体积和原来长方体的体积是相等的。

已知长方体的长、宽、高,就可以求出长方体的体积,这就是拼成的大正方体的体积。

进而可以求出正方体的棱长,从而可以求出正方体的表面积了。

  长方体的体积是

  125×40×25=125000(立方厘米)

  将125000分解质因数:

  125000=2×2×2×5×5×5×5×5×5

  =(2×5×5)×(2×5×5)×(2×5×5)

  可见大正方体的棱长是

  2×5×5=50(厘米)

  大正方体的表面积是

  50×50×6=15000(平方厘米)

  答:

这个大正方体的表面积是15000平方厘米。

  7、如图8-13,一个正四面体摆在桌面上,正对你的面ABC是红色,底面BCD是白色,右侧面ACD是蓝色,左侧面ABD是黄色。

先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转,再让它绕底面右侧棱翻转,第三次绕底面面对你的棱向你翻转,第四次绕底面左侧的棱翻转,此后依次重复上述操作过程。

问:

按规则完成第一百次操作后,面对你的面是什么颜色?

解答:

盘点小升初平面几何常考五大模型

  

(一)等积变换模型性质与应用简介

  导读:

平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。

    等积变换模型例题讲解与课后练习题

  

(一)例题讲解与分析

∙  【例1】:

如右图,在△ABC中,BE=3AE,CD=2AD.若△ADE的面积是1平方厘米,那么三角形ABC的面积是多少?

  

  【解答】连接BD,S△ABD和S△AED同高,面积比等于底边比,所以三角形ABD的面积是4,

S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比,三角形ABC的面积是ABD的3倍,是12.

  【总结】要找准那两个三角形的高相同。

  【例2】:

如图,四边形ABCD中,AC和BD相交于O点,三角形ADO的面积=5,三角形DOC的面积=4,三角形AOB的面积=15,求三角形BOC的面积是多少?

  

  【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2,△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:

4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:

4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。

  【总结】从这个题目我们可以发现,题目的条件和结论都是三角形的面积比,我们在解题过程中借助结论2,先把面积比转化成线段比,再把线段比用结论2转化成面积比,解决了问题。

事实上,这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”,请同学们体会

一下。

  

(二)课后练习题讲解与分析

  

(二)鸟头定理(共角定理)模型

  导语:

平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理(共角定理)模型。

o(三)蝴蝶定理模型

  导读:

平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,这一期我们讲解了解一下五大模型第三块——蝴蝶定理模型。

  蝴蝶定理模型练习题

▪  【练习1】:

在直角梯形ABCD中,AB=15厘米,AD=12厘米,阴影部分的面积为15平方厘米。

梯形ABCD的面积是多少平方厘米?

  【解答】:

连接AE,根据蝴蝶定理可得S△AEF=S阴=15,

  因为S△ABC=15×12÷2=90,所以S△ABF=90-15=75

  再次用蝴蝶定理可求S△EFC=15×15÷75=3

  所以SABCD=12×15+15+3=198

  【练习2】:

如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为多少?

  【解答】:

本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况。

  解法一:

取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为1.5,因此空白处的总面积为6*1.5/2*4+2*2=22,阴影部分的面积为6*6-22=14。

  解法二:

连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为2:

6=1:

3,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的9/16,阴影部分的面积占该梯形面积的7/16,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的7/16,那么阴影部分的面积为14。

  【例】已知正方形的面积是120平方厘米,B、E为正方形边上的中点,求题中阴影部分的面积是多少平方厘米?

  【分析】由巩固可知BAEG的面积为整个正方形面积的五分之一为:

120÷5=24(平方厘米),由此对于阴影部分的面积可以有两种求法.

  方法一:

连接FE由图可知BAF、AEF和EFC的面积相等,又因为ABC的面积为120÷4=30(平方厘米),所以BAF、AEF和EFC的面积为:

30÷3=10(平方厘米),所以阴影部分的面积为:

24-10=14(平方厘米).

  方法二:

本题用沙漏也可以解答能看见BAF和CDF是沙漏(形象演示)AB:

CD=BF:

FC=1:

2所以以BF为底的三角形ABF占整个三角形的1/3,为30×1/3=10(平方厘米).所以阴影面积为:

24-10=14(平方厘米).

(五)燕尾定理模型

  导语:

平面几何问题,是历年小升初的必考题目,也在各大杯赛中占有很大比例,这些题目都是以等积变形为主导思想,结合五大模型的变化应用交织而成的,最后一期我们讲解一下五大模型最后一个——燕尾定理模型。

  

▪  【练习】:

已知:

如图,D、E分别是△ABC的边AB和AC的中点,F是DE的中点。

求△DFG的和四边形AEFG的面积的比是多少?

  【解析】因为F为DEF的中点,所以△CFD=△CEF△AFE=△AFD

  因为E为AC的中点,所以△CEF=△AEF

  所以△CFD=△CEF=△AEF

  所以△CFA:

△CFD=2:

1

  根据燕尾定理:

△AGF:

△DGF=△CFA:

△CFD=2:

1

  所以△DFG:

AEFG=1:

(2+1+2)=1:

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