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数学建模国赛A题
城市表层土壤重金属污染分析与预测
摘要
近几十年，由于工业化和城市化的进程加快，土壤重金属污染日益严重。
本文针对重金属污染问题，主要包括四个相关问题，分别为确定重金属元素的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度，说明重金属污染的主要原因，确定污染源的位置，对模型进行评价与扩展并分析该城市地质环境演变模式。
我们在合理的假设下，先绘制出重金属元素空间分布图，再根据单因子指数与内梅罗综合污染指数分析方法对各功能区污染程度分析，说明重金属污染的主要原因。
接着，在此基础上建立二维污染物空间扩散模型，采用搜索算法在污染较为严重的区域搜索出适量的样本点，再采用多元非线性回归方法对二维扩散模型进行拟合，求解相应的参数。
最后通过对第三问模型优缺点的分析，建立时空扩散模型，更加精确反映城市地质环境的演变情况。
针对问题一，首先用软件Surfer绘制出该城区的空间分布图，得出该城区大致的地形地貌，再将纵坐标改为八种重金属元素的含量，采用克里格插值，得到各种重金属在城区的分布图，得出各重金属在不同功能区的污染物空间分布特点。
再选用单因子指数和内梅罗综合指数评价污染状况，由数据可以反映出工业区和交通区Hg和Cu严重超标，各功能区污染程度分别为：
生活区、山区、交通区及公园绿地区受到了轻度污染，工业区受到了重度污染。
针对问题二，对各功能区的污染物含量进行分析，分析推测该城市可能存在规模较大或者数量较多的Hg,Cu,Zn，Pb严重超标的工厂。
为进一步揭示表层土壤重金属污染来源，我们对三个污染相对严重的功能区的超标较严重的重金属元素Hg,Cu,Zn,Pb进行相关性分析，运用SPSS软件计算出各相关系数，揭示出不同功能区内土壤表层重金属污染的不同来源，分析可得，交通区污染主要来源于汽车尾气排排放，工业区污染主要来源于工厂的超标排放。
针对问题三，根据污染物扩散的特征，建立一维污染物扩散模型：
，以此推广成污染物的高斯二维空间扩散模型：
。
再运用搜索算法在局部极值点附近搜索适量样本点，采用多元非线性拟合方法对二维空间扩散模型进行拟合，得到区域的最大值，即为污染源所在地。
针对问题四，通过对上述模型优缺点的分析，进一步搜集相关数据，依据重金属传播所具有的富集性和不易分解性等特征，在空间分布模型的基础上引进时间变量，突出时间对于污染物扩散的影响，建立时空扩散模型，以更好地研究地质环境的演化模式。
关键词:
空间分布图克里格插值单因子指数内梅罗综合污染指数相关性分析高斯二维空间扩散模型搜索算法多元非线性拟合
一．问题重述
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：
（1）给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
（2）通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
（3）分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
（4）分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？
有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二．问题分析
对于问题一，我们首先用Surfer软件画出该城区简单的空间分布图，得出该地区的大致地形。
然后用同样的方法绘出八种重金属元素在该城区的浓度分布图，最后采用最为常用的土地污染评价方法单因子指数法和内梅罗综合污染指数法对五个不同功能区的污染状况进行评价。
对于问题二，由问题一得到各功能区不同种类的重金属含量的单因子指数，并由此分析其重金属污染物的主要类型，推测污染物来源的性质。
再选择污染较为严重的几种元素进行相关性分析，分析不同功能区污染来源的差异，并推测各功能区重金属污染的主要原因。
对于问题三，通过污染物的传播特点，先建立一维污染物空间分布模型，然后推广成二维空间扩散模型。
考虑到污染源的位于污染严重的附近区域，仅在污染严重的区域搜索样本点，以简化算法。
最后采用多元非线性拟合方法求解二维高斯分布函数，确定局部极值所对应的坐标轴，即污染源所在地。
对于问题四，对模型一和模型三存在的优缺点进行评价，通过对模型优缺点进行分析，了解模型存在的问题，收集更多的信息，借用这些信息对模型进行改善，更好地研究城市地质环境的演变模式。
三．模型假设
1.假设采样数据合理，能真实的反应当地的情况。
2.假设各重金属在传播过程中不与其他物质反应，也不会有衰减。
3.假设污染严重的局部地区仅存在唯一的污染源。
4.重金属的传播互不影响，且污染源的排放量不变。
四．符号说明
：
第i项重金属的污染指数
：
第i项重金属浓度
：
第i项金属的背景值浓度
:
第n个观测点
：
污染源中心
:
污染源排污总量
:
第t年污染源总排污量
:
观测点位置为x的污染物
五．模型建立与求解
5.1问题一模型的建立与求解
我们首先用Surfer软件画出该城区简单的空间分布图，x，y表示采样点坐标位置，z轴表示该采样点对应的海拔高度，所得图形如下：
图1空间分布图
图中，向上为北，向右为东，且等高线越密集表示地势越高。
由图可看出，东北方向等高线密集，因此可知该方向为山区；而西面地势较平坦，为平原。
使用surfer分别绘制重金属在该城区的分布图如下：
（1）As分布图
（2）Cd分布图
（3）Cr分布图（4）Cu分布图
（5）Hg分布图（6）Ni分布图
（7）Pb分布图（8）Zn分布图
图2各重金属元素的空间分布图
由图可知，As元素主要分布在三块区域：
横坐标为4000-5000,纵坐标为6500-7500的区域；横坐标为12500-13500，纵坐标为2500-3500的区域；横坐标为17500-18500，纵坐标为9500-10500的区域，其他地域相对分布较少。
Cd元素主要分布在该城区的西南部、中部，其他地方分布很少。
Cr元素总体分布较少，主要集中在以坐标（4500,5000）为圆心的1000米范围内。
Cu元素的分布主要集中在西南面。
Hg元素主要集中在三个区域，分别位于横坐标，但大部分地区都不含此元素。
Ni元素主要分布在横坐标4000-5000，纵坐标为5000-6000的区域，其他区域分布较少。
Pb元素主要分布在西南部，其他地区相对较少。
Zn元素主要分布在中部及西南部，其中西南部较集中。
因此，总的来说，西南面污染较为严重。
单项污染指数公式：
························
（1）
分析该城区不同区域重金属的污染指数，如下表：
表1各区域重金属元素单项污染指数
As
Cd
Cr
Cu
Hg
Ni
Pb
生活区
1.791
2.378
2.245
3.488
3.030
1.502
2.265
工业区
2.014
3.024
1.723
9.662
18.35
1.611
3.001
山区
1.123
1.172
1.257
1.312
1.170
1.256
1.179
交通区
1.586
2.742
1.861
4.676
12.728
1.430
2.033
公园绿地区
1.740
2.158
1.408
2.287
3.285
1.243
1.958
建立内梅罗环境污染指数模型：
························
（2）
其中
，
代入数据可得五个功能区的内梅罗环境污染指数如下表：
表2梅罗污染指数
功能区
生活区
工业区
山区
交通区
公园绿地区
综合污染指数
1.802668
3.448187
1.118791
1.909612
1.631696
表3土壤内染指数评价标准
等级
一级
二级
三级
四级
五级
内梅罗污染指数等级
p
清洁
警戒线
轻度污染
中度污染
重污染
结合内梅罗指数评价标准可知，生活区、山区、交通区及公园绿地区受到了轻度污染，工业区受到了重度污染。
5.2问题二模型的建立与求解
为使污染指数更明显，将表1转化为条形图，如下：
图3各区域重金属元素单项污染指数条形图
由图可知各种重金属对各区域的污染程度都不尽相同，有着较大的差异。
重金属污染主要来源于工业污染，其次是交通污染和生活污染重金属污染大多通过工业三废，即废水、废气、废渣进入环境，污染土地；交通污染主要由于汽油中含有重金属元素，这些元素通过汽车尾气进入空气中，对环境造成污染；而生活污染主要是生活垃圾：
废电池、废弃金属制品、废弃化妆品、塑料制品等。
根据以上分析我们可以得出：
人类活动越密集的地方，重金属污染越严重，因此可以初步确定是人类的各项活动造成了重金属污染。
表4各行业主要污染物类型
工业污染源
采矿冶金等行业三废排放：
Hg、Cr、Cd、As、Pb、Zn
交通污染源
汽车尾气排放：
Pb、Zn、Cd、Cr、Cu
生活污染源
生活废弃物：
Cr、Cu、Zn、Pb
对照表1知，As,Cd,Cr,Ni含量较为接近背景值，而Cu,Hg,Pb,Zn含量在人类活动频繁的区域明显增加，其中Hg,Cu含量增加明显，工业区Hg平均超值18.4倍，Cu超标9.7倍，说明此城市存在Hg,Cu排放严重超标的企业，并且其排放的污染物已经对该城市造成了严重的影响，可推测该城市可能存在大型化工厂或电池制造场等高等高排放量企业或工厂。
各土壤重金属之间存在某种依存关系，而这种依存关系能帮助揭示重金属元素的污染来源，我们选用受人类活动影响较大的Cu,Hg,Zn,Pb为例，对它们进行相关性分析。
由于功能区三和功能区五重金属元素含量超标不多，因此我们选用功能区一、二、四进行分析。
使用SPSS分别对功能区一，功能区二和功能区四的Hg,Cu,Pb,Zn做相关性分析，得到下表：
表5Hg,Cu,Pb,Zn相关性
相关系数R
Hg-Cu
Hg-Pb
Hg-Zn
Cu-Pb
Cu-Zn
Pb-Zn
功能区一
0.991
0.990
0.983
0.996
0.984
0.982
功能区二
0.983
0．612
0.590
0.670
0.622
0.739
功能区四
0.033
0.267
0.119
0.507
0.433
0.480
分析上表可知：
第一：
Cu，Zn，Pb间的相关性较强，其中Zn,Pb自相关性较强，有资料表明受交通污染源控制时，交通道路断面土壤重金属污染程度取决于其距离交通道路的远近。
离公路越远，受交通污染源的影响越小，土壤Pb、Zn污染越轻，递减趋势明显。
土壤中Zn和Pb含量随道路远近的变化趋势具有较强的一致性，说明土壤Pb和Zn源于相同的污染源为交通污染源。
第二：
不同功能区土壤重金属间依存关系各不相同，反映各地区重金属来源的途径存在差异。
在工业区，部分土壤重金属间依附关系不明显，而部分金属间的依附关系显著，这反映该功能区受到复合型污染源（即同时排放不同重金属元素的污染源）影响，而公园绿地区、山区重金属污染相对小。
因此，该城市工业区，交通区，生活区污染均较为严重，其中重金属元素Hg含量最为突出，可推测该地区存在大型或数量较多的Hg严重超标的企业；Cu，Zn，Pb等重金属元素浓度也严重超标，由于Cu,Zn,Pb在各地区含量均存在很强的相关性，故推测Cu,Zn,Pb等重金属元素来源于超标排放的企业或工厂。
不同功能区，反映出污染源的性质不同，如工业区反映重金属污染源的多样性，生活区和交通区反映污染源单一，分别为生活废弃物和汽车尾气排放。
5.3问题三模型的建立与求解
考虑到重金属在水体中溶解态、悬浮态和底泥态的物理运动物质交换，吸附和解吸物质交换，以及沉降和再悬浮物质交换过程复杂，而且对城市的河流，悬浮物，底泥无相关信息。
故从总体角度将重金属输送迁移基本方程简化为平面扩散模型。
因为重金属的传播以污染源为中心，向四周散开，因此浓度最大的地方就是污染源，将问题转化为求局部最大值。
假设在局部足够小的区域内对于某类重金属存在唯一的重金属污染源Q，此污染源对周围地区造成了重金属污染，在该地区寻找n个观测点，其重金属污染物含量为
。
5.3.1一维污染源模型
对于这一特定的重金属污染源Q,假设污染源的总排放量为
对污染物的直线扩散方式进行分析，记坐标轴为x的观测点的污染物含量为Q（x），若受体距离污染源越远，则污染源对其作用效果越不明显，即传播系数为随距离递减的曲线，则在
的观测点，其污染物的一维分布形式满足：
························（3）
其中
为重金属的传播系数，
为重金属污染物的传播范围，因为重金属污染在传播过程中，性质稳定，且具有富集的特点,在空间传播速度较慢，故一般认为
为一常数，由重金属污染物的性质决定。
当
时有：
························（4）
即：
························（5）
分离变量得：
························（6）
因此模型可以简化为:
························（7）
发现函数模型图形呈倒扣钟形，且近似高斯分布曲线，其中当
时（
为污染源的位置），函数取得最大值，
5.3.2二维污染源传播模型
重金属污染物分布在平面上，依据上述分析，对一维污染物模型进行推广，忽略空间的各向异性，可知重金属在空间上的分布为二维高斯分布形式，其形状为一倒扣钟形，其扩散模型为：
························（8）
其中
表示污染物的空间分布状态
取n个样本点
对函数进行拟合。
因为局部地区的污染源位置大致位于极大值的所处周围区域，故选取极大值附近的点作为拟合函数的样本点具有实际意义。
以As为例进行说明：
图4As污染分布图
如图所示，存在三个等浓度线密集的区域，表明空间分布明显存在三个污染源地区，分别位于
；
和
的三个区域，故在该范围内寻找极值点。
选取周围10个点作为样本点，算法实现见附录，在VC6.0中运行程序，得出以下结果：
表6As的污染源样本点
（1）污染源一样本点
（2）污染源二样本点
编号
As元素含量
X轴
Y轴
84
30.13
18134
10046
83
6.35
17814
10707
87
1.96
18393
9183
85
3.89
17198
9810
82
10.99
18738
10921
76
2.72
17044
10691
86
2．91
17144
9081
81
6.14
19007
11488
80
3.69
18413
11721
199
5.83
17904
8287
编号
As元素浓度
X轴
Y轴
178
23.72
12696
3024
177
4.79
12734
4015
179
6,47
12400
2060
176
6.05
11649
3515
182
4.17
13694
2357
183
6.26
13855
3345
64
2.72
12422
4329
175
5.62
11415
2585
65
3.11
13093
4339
51
5.31
11702
4480
（3）污染源三样本点
编号
As元素含量
X轴
Y轴
84
30.13
18134
10046
83
6.35
17814
10707
87
1.96
18393
9183
85
3.89
17198
9810
82
10.99
18738
10921
76
2.72
17044
10691
86
2．91
17144
9081
81
6.14
19007
11488
80
3.69
18413
11721
199
5.83
17904
8287
对模型两边取对数，得：
························（9）
对该模型进行拟合（代码见附录），结果如下：
污染源1:
························（10）
污染源2：
························（11）
污染源3：
························（12）
得到三个污染源分别为：
污染源一：
（15598,9345）；污染源二：
（14766,8021）；污染源三：
（1163.4,770.1）。
经查表分析知污染源附近均存在污染特别严重的区域，故模型较为可信。
同理，对其他重金属进行分析，所得污染源如下表所示：
表7其他几种重金属污染源坐标
污染物
污染源
Cd
（2723,2315.4），（21442,11381）
Cr
（3381.2,6001.8）
Cu
（2459.2,3632.7）
Hg
（15247,9111），（2459.2,3632.7）
（-20777,93031）
Ni
（424.38,869.41），（22193,12185）
Pb
（4778.7,4891.5）
Zn
（8182.7,4493.0），（13800,9623）
由表可知，部分金属的污染源坐标为负值，说明该金属的污染源不在该城区内，而应在该城的城区外，城内土壤重金属含量超标是因为受到了城区外污染源的影响。
5.4问题四模型的建立与求解
问题3中的重金属污染源传播模型以及污染源位置的确定模型：
优点：
通过污染物的传播特点，建立二维污染物空间分布模型，准确反映了污染物的平面分布状态，考虑到污染源的位于污染严重的附近区域，仅在污染严重的区域搜索样本点，极大地简化算法，且能准确反映污染源的位置。
采用多元非线性拟合二维高斯分布函数，确定局部极值所对应的坐标轴，确定污染源所在地。
缺点：
二维的污染物扩散模型仅反映了空间的污染物积累对于周围地区污染扩散分布的影响，却不能准确反映重金属污染传播的时空分布关系，而污染物扩散模型是对污染物扩散的模拟，是对土壤重金属污染物随时间和空间迁移转化规律的描述，即用于描述土壤中重金属污染物质与时间、空间定量关系的数学方程。
5.4.1一维时空扩散模型
由重金属污染源的空间分布，确定污染源的大致区域，然后收集该地区工业，交通业发展的状况，引进时间因素t，对二维的污染物扩散模型进行修正。
污染物排放的扩散与在空间的分布形式与污染物排放的时间存在相互制约的关系，当污染物排放时间较短，污染物集中分布在u位置及其周围地区；当污染物排放时间较长时，污染物相对均匀分布在u位置及其周围地区。
二维扩散模型是对污染物在空间的富集状态的描述，对于某一年份污染物排量在空间上的分布也服从二维扩散模型，为了体现不同年份的影响效果，由高斯分布模型知道钟形的形状即污染物的空间分布状况由参数
决定。
引入时间的影响，即第t年份污染物排放总量对空间分布的影响模型如下：
························（13）
已知
随t的增大而增大，且当
时有
可考虑线性模型或指数模型：
采用上述搜索算法，在局部区域内搜索n个观测点，因为重金属性质稳定，不易发生化学变化等改变物质属性的，且传播过程易出现富集，人工治理难度大，所以各观测点的污染物的含量为污染源多年排放量的线性累积和，假设该地区污染企业存在m年，故得到：
························（14）
5.4.2二维扩散模型
假设局部地区的污染源坐标为
对上述一维模型推广应用得到重金属的二维空间分布模型为:
························（15）
其中
。
模型综合考虑空间和时间对于污染物扩散的影响，更加精确描述重金属污染物的传播方式，为研究城市地质环境的演变模式提供理论基础。
六．模型评价
优点：
1.考虑到污染物扩散的累积效果，使结果更加精确，更加贴近实际，得出的结果对重金属污染防治具有现实指导意义。
2.问题一采用Surfer软件绘图，能清晰的反映出不同地区的浓度。
3.问题二从相关性分析污染源性质，能清晰的反映出主要污染及其污染源源头。
4.假设局部地区存在单一污染源很大程度上简化了问题。
缺点：
1.重金属的传播模型没有体现基于功能区土壤，气候，水流等对金属污染物传播方式的影响。
2.模型忽视了污染源分布的随机性。
3.重金属污染的非确定性因素很多，难以考虑周全。
七．模型的改进与推广
在现有模型的基础上搜集该城市各功能区的土壤，气候，水流等信息，分析传播媒介的主要性质，确定传播系数等数值，建立基于土壤，气候，水流的信息分析的对流扩散模型。
以此作为重金属污染的传播模型，能更加准确研究城市地质环境的演变模式。
改进后的模型不但对重金属的污染源寻址提供较大的帮助，且在对其他污染物的扩散与治理的相关研究也具有巨大的参考意义。
八.参考文献
【1】石东伟、陈娜，扩散模型在确定污染源位置中的应用，JournalofHenanInstituteofScienceandTechnology,2012
【2】刘衍君、汤庆新，基于地质积累与内梅罗指数的耕地重金属污染研究，中国农学报，2009
【3】中国环保信息网，城市土壤的重金属污染及生物治理，
【4】李亚松、张兆吉、费宇红、王昭，内梅罗指数评价法的修正及其应用，中国地质科学院水文地质环境地质研究所，2009年
附录一：
VC6.0找污染源所在，及十个样本点
//程序计算各功能区各类金属的单因子指数以为各功能区的内梅罗综合系数
//搜索样本点
//程序在VC6.0运行通过
#include
#include
#include
#include
#include
#include
usingnamespacestd;
structArea//各污染物种类见命名
{
intID;
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