数学开放题及其编制策略.docx

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数学开放题及其编制策略

数学开放题及其编制策略

随着我国素质教育的全面推进，在数学教学中使用开放题已经成为一种趋势。

认识理解数学开放题的含义、特征，掌握编制数学开放题的原则和方法，有利于我们充分利用其新颖性、多样性、发散性等诸多优点，激发学生的好奇心、求知欲，培养学生独立、自主学习的能力，提高数学素养。

在当前的数学教改过程中，进一步研究开放题及其编制策略，对学生创新意识、创新思维与创新能力的培养有一定的现实意义。

1.数学开放题的含义及其发展

1.1数学开放题的含义

长期以来，数学教学中使用的传统问题有一个共同特征：

条件完备、结论唯一，这类问题常被称为“封闭性问题”,与之相对，那些有很多种正确答案的问题常被称为“开放性问题”。

在数学学习过程中，也出现过各种各样的开放题，但对于到底什么数学开放题，数学界尚未形成公认的界定。

以下是一些学者的几种观点：

①条件不完备或答案不确定；

②条件可以多余，答案不必唯一，问题不必有解；

③条件多余需选择，条件不足需补充，答案不清待确定；

④有多种正确答案，解答方法也有多种；

⑤有多种不同的解法或者有多种可能的答案；

⑥答案不唯一；

⑦数学开放题大多属于问题性题，也有的可能属于探索性题。

由以上论述可以看出，各种观点对“开放题”一词的理解不尽相同，但我认为第6种定义最简捷，最广泛。

那么，似乎可以说：

答案不唯一的数学题是数学开放题。

然而，实际上有的探索题答案虽然唯一，却很具有开放性，不能把这类题排除在外；再如，在‘数学开放题及其教学’学术研讨会（1998，上海）上也有人对此提出质疑：

“一元二次方程的解也不唯一，那么解一元二次方程这类习题也能算开放题么？

”

由此，一道题的开放性和封闭性，取决于这道题是否激发了解题主体的思维，也就是说在解题过程中，学生是否进行了多角度，多层次的探索，是否发散了思维。

因而，我认为数学开放题的基本特征在于思维的开放和发散，可以给出以下的描述性的界定：

数学开放题是指那些解决方案不唯一，并且在解决过程中要求学生综合多方面的知识素养、运用多角度的思维方式，去思考和探索的数学问题。

另外，通过比较封闭题和开放题，还可以得到这样一个结论：

一道数学题的开放性在很大程度上取决于这道题的设问方式。

也就是说，即使是一道传统的数学题，也可以通过改变设问方式而将其改编为具有开放性的习题。

像这样将传统的封闭性数学题改编成开放性问题，不仅可以激发学生的学习兴趣，培养学生的创新精神，而且还是开发和利用以教材为基础的数学课程资源的一种比较经济、切实可行的途径。

1.2数学开放题的发展

数学开放性问题的出现始自70年代，由日本学者首先提出，很快得到了东西方各国数学教育界的支持和赞同。

1993年，我国初步将开放性问题融入数学课堂，取得了较好的教学效果。

1998年，我国将“开放题——数学教学的新模式”立项为全国教育科学规划重点课题。

2000年3月，教育部发布《关于2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》，明确指出“数学考试应设计一定的开放题”，教育部制定颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》、《普通高中数学课程标准（实验稿）》（2003年4月），以及作为新课改时期过渡性的《高中数学教学大纲（修订稿）》、《初中数学教学大纲（修订稿）》和《义务教育全日制小学数学教学大纲（试用修订版）》中都出现了许多关于开放题的内容，这都标志着开放性问题越来越受到我国教育界的重视。

2.数学开放题的特征

为了更好的编制开放题，需要先了解一下它常见的几种特征。

2.1问题的条件常常是不完备的

一个开放题的条件可以不足，也可以多余。

这是数学开放题的特征之一。

条件不足时可以要求学生予以补足，条件多余时可以要求学生进行选择。

例1：

如图1所示，简单零件的形状可以由它的主视图，俯视图和左视图决定，现将条件“左视图”去掉，得开放题：

主视图左视图俯视图

一个简单零件图（表面均为平面）的主视图及俯视图如图2所示，试补上它的左试图

。

主视图俯视图

在本题中，给出的条件（主视图及俯视图）不足以确定零件的形状，学生需要补足一些条件才能画出它的左视图。

正是由于条件的不足，使本题的结论具有很大的开放性。

本题的答案是多种多样的，如图3中的三个都是，当然还有其它的结果。

例2：

如图4：

试计算三角形的面积。

这是一道条件多余的题目，三角形的面积可由边BC和其上的高AD求出，而AB的长度是多余的。

这样的题目可以让学生理解三角形面积公式

中h指的是a边上对应的高。

图4

2.2问题的答案是不确定的，具有层次性

开放题解答的不确定性和多样性，决定了它能够满足各种层次水平的学生的需要，使他们可以在自己的能力范围之内解决问题，从而开放题的第二个特征体现在层次性上。

例3：

在12小时内，钟面上的时针和分针在哪里成60°的角

？

本题有几种不同的解答思路：

①依直觉作答，可得到2时和10时这两个答案；

②对其他答案作近似估计，如图5的1时15分多一些的某一时刻；

③先研究一个比较简单的问题：

在12小时之内，钟面上的时针和分针在哪些时间恰好重合（或成一直线，成90°的角）？

再研究特殊的60°的角；

④列方程解答。

这道题不同的解答方法和答案就是体现在不同学生数学思维层次水平上，可以直接作答，也可以用间接的方法解答。

这个题如果以直觉作答，表明学生的思维水平略低，通常这类学生做不了太抽象的题目，平时需要给这类学生布置一些简单直观的题目。

列方程解答，表明学生的另一种思维水平，通常他们勤于思考、思维发散，可以尝试有一定难度的开放题。

总之开放性问题答案的不确定性，可以使得不同层次的学生选择适合自己水平的解答方式。

2.3问题的解决策略具有非常规性，发散性和创新性

解答开放题时，往往没有一般的解题模式可以遵循，有时需要打破原有的思维模式，从多个角度思考问题，有时发现一个新的解答需要一种新的方法或开拓一个新的研究领域。

这可以看成是开放题的第三个特征。

例4：

试比较图6中两个几何图形的异同：

在解答本题时并没有常规的解题模式可以遵循，

思维呈发散性，如能找到一个新视点，就可以发现

新的解答。

如考虑内角和就可以发现三角形内角和

为180°，而五边形内角和为540°这一新的不同点。

例5：

在平面上有4个点，每两点的连线可连成6条线段，这些线段恰好有两种不同的长度，如图7所示的正方形4个顶点就满足上述要求，问：

除了正方形的4个顶点之外你还能找出平面上其他只具有两种距离的四个点么

？

该题的全部解答需要一个较长的过程，学生要结合自身已有的知识，利用发散和创新性思维，不仅可以从几何的角度探索，也可以从代数的领域尝试，运用不同方法解答该题。

如从正方形的四边相等出发，我们可以联想到正三角形的三个顶点及其重心，菱形的四个顶点也满足上述要求，如图8所示。

2.4问题的研究具有探索性和发展性

开放题与封闭题的研究有很大的不同，这主要体现在对答案的探索性（尽管解封闭题时也需要一定的探索，但其探索性大大低于开放题）和问题本身可层层发展成为一系列的问题。

这就是数学开放题的第四个特征。

例如：

对于上例而言，就可以发展成一系列的问题：

①试研究平面上具有三种距离的五个点

②试研究空间中具有两种距离的四个点

③试研究空间中具有两种距离的五个点

这样的改编，使得原有题目从两种距离发展到三种距离，从四个点发展到五个点，从平面发展到空间，不仅充分利用每一道题，而且开阔了学生的思维空间。

2.5问题的教学具有参与性和学生主体性

由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用传统的教学方法，教师可以运用启发、点拨、置疑等多种方式替代以往的灌输，激发起学生的学习兴趣和动机，参与到课堂教学活动中来，发挥主体性，加强师生互动，教学相长，建立新型的师生关系。

这是数学开放题的又一重要特征。

同样对于例5，如果教师采用灌输的方法将几种答案一一讲解给学生，必然会引起学生的反感，一些学生也许还会发现教师不知道的答案，他们希望与教师和同学分享，并不是被压抑着被动听讲，这时教师就可以发挥学生的主动性，让他们参与到课堂教学中。

当然，随着开放题研究的深入，还有其他阐述特征的方式，这里只是列出最基本的。

3.数学开放题的类型及其编制策略

鉴于开放题的复杂性，这里根据分类来研究编制策略。

目前数学开放题的常见类型可归纳成下表，其中前两种分类方法（按命题要素分类和按答案结构分类）比较严格，而后两种分类方法（按解题目标分类和按编制方法分类）则

表1

主要取其实用性。

按命题要素分类

按答案结构分类

按解题目标分类

按编制方法分类

条件开放题

策略开放题

结论开放题

综合开放题

有限穷举型

有限混沌型

无限离散型

无限连续性

找规律或关系

量化设计

分类与整理

举例

数学建模

提问题

情景题

评价

一题多解

条件不足的问题

逆的问题

计数问题的弱化

变化与推广

这里我以第一种分类方法（按命题要素分类）为例，结合数学开放题的特征，具体讨论不同类型开放题的编制策略：

3.1条件开放题的编制策略

如果一个数学开放题的未知要素是假设、已知部分，则为条件开放题。

对于这种类型，我们可以采用弱因法、索因法等方法进行编制。

弱因法是在传统的数学题中，减少某些已知条件或用较隐蔽的条件替换原来的条件，再适当修改部分题目的要求，从而获得数学开放题的编制方法。

例6：

如图9在△ABC中，M是AB的中点，CM=

AB，求证：

∠ACB=90°

若将条件“CM=

AB”去掉，用弱因法将它换成“CM与

AB的大小不定”就可得到条件开放题：

在△ABC中，M是AB的中点，试根据CM与

AB的大小关系讨论△ABC的形状。

这样做不仅发散了学生的思维，更重要的是通过一道题的解答，让学生了解了锐角、直角、钝角三角形一边与其上中线的关系，而且掌握了直角三角形的另一种判定定理，起到了事半功倍的效果。

3.2策略开放题的编制策略

如果一个数学开放题的未知要素是推理、探求部分，则为策略开放题。

对于这种类型，我们可以采用建模法等方法进行编制。

建模法是给出问题的实际情境，建立数学模型，寻求多种解法与结论的方法。

实际情境可以是数学本身，也可以是生产的、经济的、生活的等不同的情境。

例10：

某企业进行技术改造，有两种贷款方案：

第一种，一次性贷款10万元，第一年获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润。

第二种，每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年增加利润5000元。

两种方案都是10年，到期一次性还清贷款并付息，试比较两种方案的优劣。

例11：

制作书架时需要一块长100cm，宽20cm的木板，现在只有一块长80cm，宽30cm的木板，问怎么样将木板锯开，可以拼接成所需尺寸的木板

。

建构主义认为，学生知识的增加不等于智力的发展，学生如果不能在现实活动中进行运用，就不可能获得对知识的深刻理解，也就是说那样的知识只是外在的，并没有转化为学生的智力发展。

而数学开放题往往与实际生活相联系，让学生在实际生活中去应用、验证和发展所学的知识，培养学生的实践能力，这样就加深了学生对相关知识的认识、理解和记忆。

比如：

可应用建模法将商场打折促销、彩票中奖概率、银行贷款利息等生活常见的事例编制成数学开放题，这样的题目既具有建构性，又具有现实性，因此有利于学生养成用数学的态度去对待周围的事物，形成数学素养；有利于让学生体验到数学知识来源于生活，又服务于生活，让学生养成用数学知识去解决实际问题的习惯，并真正认识到数学在社会生产、生活中的价值，从而促使学生获得学习的动力。

3.3结论开放题的编制策略

如果一个数学开放题的未知要素是判断，结果部分，则为结论开放题。

对于这种类型，我们可以采用隐果法、比较法等方法进行编制。

隐果法是指隐去传统数学题的结论，使其结论多样化或不确定。

隐果法也是编制开放题的主要方法之一。

例12：

数列：

1，2，4，8，16，32……如果把四至六项隐去，就有一道结论开放题：

1，2，4，（），（），（）……

这样一道开放题，根据思路不同，就会有很多种答案：

答案①：

如果把它看作等比数列，要添的三项当然是8，16，32；

答案②：

如果把数列理解为从第三项起，前两数的积加上2等于第三个，则三个空格分别的是10，42，422；

答案③：

如果把数列理解为从第三项起，前两数的和加上1等于第三个数，这样三个空格填的就是7，12，20。

除此之外，这道题还有其他的想法。

上面这样的题目，体现了事物的结果并不总是唯一的道理。

有利于培养学生从不同角度分析、解决问题的能力。

正因为数学开放题具有多种不同的解法或有多种可能的解答，这就要求编制的数学开放题知识点要多，综合性要强，这样有利于激发学生发扬主体精神，主动参与，自行探索。

在开放题教学中，教师的作用是“主导”，而不是“主宰”，其主要职责是为学生的主动建构创造良好的条件和宽松的文化氛围。

在这样的条件和氛围之下，学生为了得到更多的答案，就会从不同角度研究问题，发散思维，还会与其它同学合作学习，共同进步。

比较法是指比较一些数学对象的异同点，如几何图形、数字、算式、解答方法等，或从不同的角度对它们进行分类，这样往往能获得开放题。

表2

当然除了以上理由外，还有其它的理由，这些答案无所谓对错，没有统一的标准，只要言之有理，都是正确的。

这样的题目使不同层次的学生都能有所收获，对于学困生而言，各种类型的数学开放题，以其起点低、有趣、开放而对学困生产生吸引力，使他们乐于参与。

我们要鼓励学生自己探索新角度，大胆创新，体现每个人的独特性。

对于不同的学生而言，他们已有的知识储备和经验基础不同，学习是一个主动“建构”的过程，因而要充分发挥学生学习的主观能动性，而开放题在发挥学生学习主观能动性方面具有极大的优势。

尽管如此，还必须通过教师这一“中介”来实现，对学生解题活动的关注不应只停留于其外在表现，而应深入到他们内在心理活动之中，我们不应把开放题教学看成一种结果教学，而应该加强师生对话和沟通、学生之间的合作和交流。

3.4综合开放题的编制策略

如果一个数学开放题只给出一定的情景，其条件、解题策略和结论都是未知要素，要求解题主题在情景中自行设定和寻找，这类题目则称为综合开放题。

例13：

试测量学校旗杆的高度。

如上例，综合开放题具有一定的情景性。

学习者理解、建构知识受到特定学习环境的影响，知识在不同情况下不是简单的套用，而应针对情景的特殊性对知识进行再创造。

学习知识不应满足于教条式的掌握，而需要把握它在不同的具体环境中的复杂变化。

因而，有建构主义者提出，知识是生存在具体的、情境性的、可感知的活力之中的。

它不是一套独立于情景的知识符号（如名词术语等），不可能脱离活动情境而抽象的存在。

它只有通过实际情境中的应用活动才能真正被人所理解。

学习应该与情境化的社会实践活动结合起来（Browm,Collins&Duguid,1989）。

例14：

试计算校游泳池内水的体积。

对于这样一道题目，学生自然会列出许多求几何体体积的公式，然而面对这道结合实际的综合开放题，在一系列数据都未知的情况下，如果想要套公式，就有些困难。

那么学生首先想到的就是要到实地进行数据测量，但是游泳池的形状不一定是规则的立方体，两边的水深也不一致，这时学生就会开始思考，该如何计算其内水的体积。

这样的题目具有联通性和发展性，利于扩大学生思维的空间，增加学生思维的容量。

学生在解决开放性问题时，需要运用观察、想象、分析、综合、类比、演绎、归纳、概括等思维方法，同时探索多个解决方向，创造性地运用新观念和新方法，获得多种结论，并加以整理和论证。

开放题之间往往存在着一定的规律和内在的联系，因此解决开放题时，需运用相关的数学思想，要具备创造思维能力与较好的认识能力，这样才能达到既定的目标。

这类问题能极大诱发学生的创新意识和智慧潜力，伴随着问题的解决，学生的思路会更加开阔，信息流量更加丰富，知识结构更加完善，适应社会的能力不断提高。

另外有一些数学开放题依靠一个人的力量在有限时间内是无法完成的，像上面的例17。

解决这样的问题就可以采用小组的方式，组员之间互相协作，互相交流，在解题过程中充分发挥团队精神，在知识方面互相补充，在方法上互相借鉴，取长补短，合作学习。

教师作为教学的组织者，应该对学习组织方式（主要包括个人学习、小组学习、小组合作、集体讨论等）和教学方法进行合理的选择、分配和组合，以便更好的进行开放题的教学。

建构主义十分重视这种合作学习和研究性学习，由于人们是以自己的经验为基础来建构和理解某一现象的，每个人的经验不同，因此对知识的理解必然存在差异，不同的人看到事物的不同方面。

但通过交流协商，可以使人们看到那些不同于自己的观点，这样对知识的理解才会更丰富、更全面。

从开放题本身所具有的特性来看，只有让学生真正参与到教学过程中，让每个学生通过个体独立学习或集体合作学习，在最大限度上使开放题得到“圆满”的解决，才能有真正的开放题教学。

同样的，对学习的评价也不应以学习者记住知识的多少来衡量，而应以学生在学习中主动参与的程度、协作学习的能力和贡献、意义建构的水平来综合衡量。

另外，在编制数学开放题的过程中，还要注意以下几点：

（1）控制好题目的开放度。

控制好题目的开放度是编制开放性题目是否成功的关键。

（2）控制好题目的难度。

可以采用改变答题要求或题目的叙述方式，运用暗示技术等方法，来控制题目的难度。

（3）注意设问方式。

要明确答题要求，语言应简洁，防止歧义，可举例说明新定义或新概念。

结束语

开放题和封闭题在数学教学中是相互依存，相辅相成的。

封闭题是基本题，紧扣教材，而开放题相对灵活，在解答过程中能体现学生学习的主体地位，能激发学生积极的参与和创造，是对封闭题的一种补充。

按照皮亚杰发展认识论的观点，封闭题主要引起认知结构的同化，而开放题则引起认知结构的顺应。

因此在数学教学中，适当编制开放题有助于培养学生的探索精神和创新能力。

随着新课程的实施，数学开放题已经进入教材，进入课堂，越发受到重视。

由于时间和能力有限，本文所阐述的运用建构主义分析数学开放题的编制策略只是初步研究。

数学开放题的类型有很多，相对的编制方法也很灵活，这里所谈到的编制策略也只是初步的探讨。

事实上，本文只讨论了按命题要素分的4种类型开放题的编制策略。

通过研究，我也认识到还有许多问题有待于进一步探讨。

数学开放题的研究还有很多需要关注的研究方向，如数学开放题包含的数学文化、数学开放式教学以及数学开放题的评价等，今后我将继续关注和探讨有关开放题的研究课题。