山东省济南市兴济中学八年级数学上学期国庆作业勾股.docx
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山东省济南市兴济中学八年级数学上学期国庆作业勾股
2016-2017学年山东省济南市兴济中学八年级（上）国庆数学作业（勾股定理）
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为（ ）
A．26B．18C．20D．21
2．将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形D．可能是钝角三角形
3．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB=8，BC=15，CA=17，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°
C．△ABC的面积是60
D．△ABC是直角三角形，且∠A=60°
4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4
B．
C．2
D．3
5．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+|b﹣8|+
=0，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
6．一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里
7．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4B．8C．10D．12
8．如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
9．一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（ ）
A．18cmB．20cmC．24cmD．25cm
10．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是（ ）
A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2
11．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a=
，b=
，c=
②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个B．3个C．4个D．5个
12．如图：
有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A．10cmB．12cmC．19cmD．20cm
13．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（ ）
A．14B．4C．14或4D．以上都不对
二．填空题
14．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 （填“合格”或“不合格”）．
15．将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到墙的底端的距离为8米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 ．
16．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为 ．
17．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于 ．
18．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为 m．
19．若三角形的三边满足a：
b：
c=5：
12：
13，则这个三角形中最大的角为 度．
20．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 ．
21．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm．
三、解答题
22．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．
23．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=20，BC=15，DB=9．
（1）求DC的长．
（2）求AB的长．
24．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为3m，梯子的顶端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于4m，同时梯子的顶端B下降至B′，求BB′的长（梯子AB的长为5m）．
25．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
26．如图，∠AOB=90°，OA=9cm，OB=3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？
27．两根电线杆AB、CD，AB=5m，CD=3m，它们的底部相距8m，现在要在两根电线杆底端之间（线段BD上）选一点E，由E分别向两根电线杆顶端拉钢索AE、CE．若使钢索AE与CE相等，那么点E应该选在距点B多少米处？
2016-2017学年山东省济南市兴济中学八年级（上）国庆数学作业（勾股定理）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，则c的长为（ ）
A．26B．18C．20D．21
【考点】勾股定理．
【分析】直接根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=12，b=16，
∴c=
=
=20．
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
2．将一个直角三角形的各边都扩大或缩小相同的倍数后，得到的三角形（ ）
A．可能是锐角三角形B．不可能是直角三角形
C．仍然是直角三角形D．可能是钝角三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据“直角三角形的三边都扩大相同的倍数”得到新三角形与原三角形相似，所以是直角三角形．
【解答】解：
根据题意，新三角形与原三角形对应边成比例，
所以两个三角形相似，
所以得到的三角形仍然是直角三角形．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，AB=8，BC=15，CA=17，则下列结论不正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°
C．△ABC的面积是60
D．△ABC是直角三角形，且∠A=60°
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：
∵AB=8，BC=15，CA=17，
∴AB2=64，BC2=225，CA2=289，
∴AB2+BC2=CA2，
∴△ABC是直角三角形，因为∠B的对边为17最大，所以AC为斜边，∠ABC=90°，
∴△ABC的面积是
×8×15=60，
故错误的选项是D，
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）
A．4
B．
C．2
D．3
【考点】等边三角形的性质．
【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
【解答】解：
∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD=
，
∴S△ABC=
BCAD=
×2×
=
，
故选B．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
5．已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（a﹣6）2+|b﹣8|+
=0，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
【考点】勾股定理的逆定理；非负数的性质：
绝对值；非负数的性质：
偶次方；非负数的性质：
算术平方根．
【分析】根据非负数的性质可得a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，再解方程可得a、b、c的值，再利用勾股定理逆定理可得三角形的形状．
【解答】解：
由题意得：
a﹣6=0，b﹣8=0，c﹣10=0，
解得：
a=6，b=8，c=10，
∵62+82=102，
∴三角形为直角三角形，
故选D
【点评】此题主要考查了非负数的性质，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．（2014春台山市校级期末）一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船12海里∕小时从港口A出发向东南方向航行，离开港口3小时后，则两船相距（ ）
A．36海里B．48海里C．60海里D．84海里
【考点】勾股定理的应用．
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了48，36．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×3=48，12×3=36海里，
根据勾股定理得：
=60（海里）．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
7．（2009春上林县期末）一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）
A．4B．8C．10D．12
【考点】勾股定理．
【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，再根据勾股定理求出x的值即可．
【解答】解：
设斜边长为x，则一直角边长为x﹣2，
根据勾股定理得，62+（x﹣2）2=x2，
解得x=10，
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．（2013春修水县校级期末）如图中字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4B．8C．16D．64
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：
根据勾股定理以及正方形的面积公式知：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，
所以A=289﹣225=64．
故选D．
【点评】能够运用勾股定理发现并证明结论：
以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．运用结论可以迅速解题，节省时间．
9．（2014春新疆月考）一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（ ）
A．18cmB．20cmC．24cmD．25cm
【考点】勾股定理．
【分析】设另一条直角边是a，斜边是c．根据另一条直角边与斜边长的和是49cm，以及勾股定理就可以列出方程组，即可求解．
【解答】解：
设另一条直角边是a，斜边是c．根据题意，得
，联立解方程组，得
．故选D．
【点评】注意根据已知条件结合勾股定理列方程求解．解方程组的方法可以把①方程代入②方程得到c﹣a=1，再联立解方程组．
10．（2010春靖安县期末）在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是（ ）
A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由已知可得到△ABC为直角三角形，从而两直角边的乘积的一半即为其面积．
【解答】解：
∵AB2+BC2=AC2
∴△ABC是直角三角形
∴∠B=90°
∴△ABC的面积=
ABBC=
×12×16=96cm2．
故选A．
【点评】根据三角形的三边的长度判定这个三角形是直角三角形，是解决本题的关键．
11．（2009秋张家港市校级期末）适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）
①a=
，b=
，c=
②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．
【解答】解：
①
，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；
②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；
③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；
④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；
⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．
故选A．
【点评】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
12．（2011监利县模拟）如图：
有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）
A．10cmB．12cmC．19cmD．20cm
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】根据两点之间，线段最短．首先把A和B展开到一个平面内，即展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形，然后根据勾股定理，求得蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线的长度．
【解答】解：
展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：
矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6，矩形的宽是圆柱的高即8．
根据勾股定理得：
蚂蚁爬行的最短路程即展开矩形的对角线长即10．
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．本题注意只需展开圆柱的半个侧面．
13．（2014春大城县期末）△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（ ）
A．14B．4C．14或4D．以上都不对
【考点】勾股定理．
【分析】分两种情况讨论：
锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．
【解答】解：
（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC=BD+DC=9+5=14；
（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，
在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得
BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，
则BD=5，
在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得
CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，
则CD=9，
故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．
故选：
C．
【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
二．填空题
14．（2013春黄山期末）木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 合格 （填“合格”或“不合格”）．
【考点】矩形的判定；勾股定理的应用．
【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：
有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：
∵802+602=10000=1002，
即：
AD2+DC2=AC2，
∴∠D=90°，
同理：
∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴这个桌面合格．
故答案为：
合格．
【点评】本题考查的是勾股定理逆定理在实际中的应用，以及矩形的判定，关键是熟练掌握勾股定理逆定理与矩形的判定方法；勾股定理逆定理：
在一个三角形中，两条边的平方和等于另一条边的平方，那么这个三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：
①矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．
15．将长为10米的梯子斜靠在墙上，若梯子的上端到墙的底端的距离为8米，则梯子的底端到墙的底端的距离为 6m ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出BC的值．
【解答】解：
在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，
∵AB=10m，AC=8m，
∴BC=
=6（m），
即梯子的底端到墙的底端的距离为6m．
故答案为：
6m．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
16．（2013秋通州区期末）如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为 10 ．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：
∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，
∴BD=8，AB=
=
=10．
【点评】注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．
17．（2014春金沙县校级期末）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于 13 ．
【考点】勾股定理．
【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再根据勾股定理求得AD的长．
【解答】解：
在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，
根据勾股定理，得AB=5．
在直角三角形ABD中，BD=12，
根据勾股定理，得AD=13．
【点评】熟练运用勾股定理进行计算．
18．（2008秋鹤壁期末）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为 480 m．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：
根据图中数据，运用勾股定理求得AB=
=
=480米．
【点评】考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．
19．（2014春积石山县校级期中）若三角形的三边满足a：
b：
c=5：
12：
13，则这个三角形中最大的角为 90 度．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，依此可得这个三角形中最大的角的度数．
【解答】解：
设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则
（5x）2+（12x）2=（13x）2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
则这个三角形中最大的角为90度．
故答案为：
90．
【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：
已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
20．（2016春厦门校级期中）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm、8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为 4.8cm ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．
【解答】解：
∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，
∴斜边为
=10（cm），
设斜边上的高为h，
则直角三角形的面积为
×6×8=
×10h，
解得：
h=4.8cm，
这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．
故答案为：
4.8cm．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形的面积的求法，正确利用三角形面积得出其高的长是解题关键．
21．（2007北塘区二模）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 25 dm．
【考点】平面展开-最短路径问题．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】
解：
三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：
x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．
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