概率统计例题及练习题答案.docx

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概率统计例题及练习题答案

第八讲概率统计

【考点透视】

1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

4.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

5.掌握离散型随机变量的分布列.

6.掌握离散型随机变量的期望与方差.

7.掌握抽样方法与总体分布的估计.

8.掌握正态分布与线性回归.【例题解析】

考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率解此类题目常应用以下知识:

（1等可能性事件（古典概型的概率:

P（A=（（IcardAcard=nm;

等可能事件概率的计算步骤:

①计算一次试验的基本事件总数n;

②设所求事件A,并计算事件A包含的基本事件的个数m;③依公式（mPAn

=求值;

④答,即给问题一个明确的答复.

（2互斥事件有一个发生的概率:

P（A+B=P（A+P（B;特例:

对立事件的概率:

P（A+P（A=P（A+A=1.（3相互独立事件同时发生的概率:

P（A·B=P（A·P（B;

特例:

独立重复试验的概率:

Pn（k=knk

knppC--1（.其中P为事件A在一次试验中发生的

概率,此式为二项式[（1-P+P]n展开的第k+1项.（4解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”:

①

求概率的步骤是:

第一步,确定事件性质⎧⎪⎪⎨

⎪⎪⎩等可能事件互斥事件独立事件n次独立重复试验

即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步,判断事件的运算⎧⎨

⎩和事件积事件

即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.

第三步,运用公式（（（（（（（（（1

kknknnmPAn

PABPAPBPABPAPBPkCpp-⎧

=⎪⎪⎪+=+⎨

⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件:

互斥事件:

独立事件:

n次独立重复试验:

求解第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复.

例1.在五个数字12345,,,,

中,若随机取出三个数字,则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示.

[考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

[解答过程]0.3提示:

1

33

5

C33.54C10

2

P===⨯

例2.一个总体含有100个个体,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为.

[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式,同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.

用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]1.20

提示:

51.10020P==

例3从自动打包机包装的食盐中,随机抽取20袋,测得各袋的质量分别为（单位:

g:

492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499

根据的原理,该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________.

[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布,同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.

[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个,而总数是20个,所以有51.204=

点评:

首先应理解概率的定义,在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.

例4.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗,至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01

[考查目的]本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为

33244555550.800.200.800.200.800.94CCC⋅⋅+⋅⋅+⋅=.

故填0.94.

例5.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路

中时,就能接收到信号,否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是

（A45

4（B361（C154（D15

8

[考查目的]本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

[解答提示]由题意,左端的六个接线点随机地平均分成三组有2

2

2

6423

3

15CCCA=种分法,同理右端

的六个接线点也随机地平均分成三组有222

6423

3

15CCCA=种分法;要五个接收器能同时接收到信

号,则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中,即五个接收器的一个全排列,再将排列后的第一个元素与信号源左端连接,最后一个元素与信号源右端连接,所以符合条件的连接方式共有55120A=种,所求的概率是1208225

15

P==,所以选D.

点评:

本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题,并进一步求得概率问题,其中隐含着平均分组问题.

例6.从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件A:

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率（0.96PA=.（1求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;

（2若该批产品共100件,从中任意抽取2件,求事件B:

“取出的2件产品中至少有一

信号

件二等品”的概率（PB.

[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.

[解答过程]（1记0A表示事件“取出的2件产品中无二等品”,1A表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.则01AA,互斥,且01AAA=+,故

01（（PAPAA=+212

012（（（1C（11.

PAPApppp=+=-+-=-于是20.961p=-.

解得120.20.2pp==-,（舍去.

（2记0B表示事件“取出的2件产品中无二等品”,则0BB=.

若该批产品共100件,由（1知其中二等品有1000.220⨯=件,故2

8002

100

C316（C495

PB==.

00316179（（1（1.495495

PBPBPB==-=-

=

例7.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷1本,共8本.将它们任意地排成一排,左边4本恰好都属于同一部小说的概率是（结果用分数表示.

[考查目的]本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力,以及推理和运算能力.

[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A种,左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442AAA种.所以,将符合条件的长篇小说任意地排成一排,左边4本

恰好都属于同一部小说的概率是442

4428

8

135

AAAPA==种.所以,填135

.

例8.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球,甲袋装有2个红球,2个白球;乙袋装有2个红球,n个白球.由甲,乙两袋中各任取2个球.

（Ⅰ若n=3,求取到的4个球全是红球的概率;（Ⅱ若取到的4个球中至少有2个红球的概率为4

3,求n.

[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识,同时考察逻辑思维能力和数学应用能

力.

[标准解答]（错误!

未找到引用源。

记“取到的4个球全是红球”为事件A.

22

222245111（.61060

CCPACC=⋅=⋅=

（错误!

未找到引用源。

记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B,“取到的4个球只有1个红球”为事件1B,“取到的4个球全是白球”为事件2B.由题意,得31（1.4

4

PB=-=

211112

2222

12

222

4242

（nnnnCCCCCCPBCCCC++⋅⋅=⋅+⋅22;3（2（1nnn=++22

2

222

42（nnCCPBCC+=

⋅（1;6（2（1

nnnn-=++所以,12（（（PBPBPB=+22（13（2（16（2（1nnnnnnn-=

+++++1

4

=,

化简,得271160,nn--=解得2n=,或37

n=-（舍去,故2n=.

例9.某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6,经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元.

（Ⅰ求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率;（Ⅱ求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率.

[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.

[解答过程]（Ⅰ记A表示事件:

“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则A表示事件:

“3位顾客中无人采用一次性付款”.

2（（10.60.064PA=-=,（1（10.0640.936PAPA=-=-=.

（Ⅱ记B表示事件:

“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”.0B表示事件:

“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”.1B表示事件:

“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”.则01BBB=+.

30（0.60.216PB==,1213（0.60.40.432PBC=⨯⨯=.

01（（PBPBB=+01（（PBPB=+0.2160.432=+0.648=.

例10.某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:

考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;

方案二:

在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.

假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,abc,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.

（Ⅰ分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率;

（Ⅱ试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由

[考查目的]本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识,同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.

[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P（A=a,P（B=b,P（C=c.（Ⅰ应聘者用方案一考试通过的概率

p1=P（A·B·C+P（A·B·C+P（A·B·C+P（A·B·C=a×b×（1-c+（1-a×b×c+a×（1-b×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率

p2=3

1P（A·B+3

1P（B·C+3

1P（A·C=3

1×（a×b+b×c+c×a=3

1（ab+bc+ca

（Ⅱp1-p2=ab+bc+ca-2abc-3

1（ab+bc+ca=23

（ab+bc+ca-3abc

≥232[3（3]3

abcabc-=2332（（10abcabc-≥.

∴p1≥p2

例11.

某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为5

4、5

3、52、5

1,且各

轮问题能否正确回答互不影响.

（Ⅰ求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;

（Ⅱ求该选手至多进入第三轮考核的概率.（注:

本小题结果可用分数表示

[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.

[解答过程]（Ⅰ记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为（1234iAi=,,,,则14（5

PA=,

23（5

PA=

32（5PA=,41（5PA=,

∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率

412341234432496（（（（（5555625

PPAAAAPAPAPAPP===⨯⨯⨯=

.

（Ⅱ该选手至多进入第三轮考核的概率

3112123（PPAAAAAA=++112123（（（（（（PAPAPAPAPAPA=++1424331015

55

555

125

=

+⨯+⨯⨯=.考点2离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念

①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.

②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列

①离散型随机变量的分布列的概念和性质

一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x,2x,……,ix,……,ξ取每一个值ix（=i1,

2,……的概率P（ix=ξ=iP,则称下表.

为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.

由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:

（10≥iP,=i1,2,…;（2++21PP…=1.②常见的离散型随机变量的分布列:

（1二项分布

n次独立重复试验中,事件A发生的次数ξ是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,

2,…n,并且k

nkknkqpCkPP-===（ξ,其中nk≤≤0,pq-=1,随机变量ξ的分布列如下:

ξ

01…

k

…

n

ξ

1x

2x

…ix

…P

P1

P2

…

iP

…

P

nnqpC00

1

11-nnqpC

…

k

nkknqpC-

qpCnnn

称这样随机变量ξ服从二项分布,记作,（~pnBξ,其中n、p为参数,并记:

;（pnkbqpCk

nkkn=-.

（2几何分布

在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量,“kξ=”表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.随机变量ξ的概率分布为:

ξ

123

…k

…P

p

qp

2qp

…

1kqp-

…

例12.

厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.

（Ⅰ若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;

（Ⅱ若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE,并求出该商家拒收这批产品的概率.

[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ记“厂家任取4件产品检验,其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算,有（（4110.20.9984PAPA=-=-=（Ⅱξ可能的取值为0,1,2.（2

172

20

1360190

CPCξ===,

（11317220511190

CCPCξ===

（2322032190

CPCξ===

ξ

012

1365133

01219019019010

Eξ=⨯

+⨯+⨯=.记“商家任取2件产品检验,都合格”为事件B,则商家拒收这批产品的概率

（136********5

PPB=-=-

=.

所以商家拒收这批产品的概率为2795

.

例13.

某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5

4、5

3、5

2,且各轮问题能

否正确回答互不影响.（Ⅰ求该选手被淘汰的概率;

（Ⅱ该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注:

本小题结果可用分数表示

[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算,考察随机事件的分布列,数学期望等,考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.

[解答过程]解法一:

（Ⅰ记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为（123iAi=,,,则

14（5PA=

23（5PA=,32

（5

PA=,∴该选手被淘汰的概率

112223112123（（（（（（（PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA=++=++

142433101555555125

=

+⨯+⨯⨯=.（Ⅱξ的可能值为123,,,11（1（5

PPAξ===,

1212428（2（（（5525PPAAPAPAξ====⨯=

12124312（3（（（5525

PPAAPAPAξ====⨯=

.

P

136190

511903190

ξ∴的分布列为

ξ

1

2

3P

15

825

1225

181********52525

Eξ∴=⨯+⨯+⨯=

.

解法二:

（Ⅰ记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为（123iAi=,,,则14（5

PA=,

23（5PA=

32

（5

PA=.∴该选手被淘汰的概率1231231（1（（（PPAAAPAPAPA=-=-4321011555

125

=-⨯⨯=.

（Ⅱ同解法一.

考点3离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差

（1离散型随机变量的数学期望:

++=2211pxpxEξ…;期望反映随机变量取值的平均水平.⑵离散型随机变量的方差:

+-+-=222121（（pExpExDξξξ…+-+nnpEx2（ξ…;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.⑶基本性质:

baEbaE+=+ξξ（;ξξDabaD2（=+.

（4若ξ~B（n,p,则npE=ξ;Dξ=npq（这里q=1-p;

如果随机变量ξ服从几何分布,,（（pkgkP==ξ,则p

E1=ξ,Dξ=2

p

q其中q=1-p.

例14.甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为ε、

η,ε和η的分布列如下:

ε0

1

2

η0

1

2

P

610

110

10

3P

510

10

3210

则比较两名工人的技术水平的高低为.

思路启迪:

一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值,即期望;二是要看出次品数的波动情况,即方差值的大小.

解答过程:

工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为:

7.010

3210111060=⨯+⨯+⨯

=εE,

891.010

37.02（1017.01（1067.00（222=⨯-+⨯-+⨯

-=εD;工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为:

7.010

2

210311050=⨯+⨯+⨯

=ηE,664.01027.02（1037.01（1057.00（222=⨯

-+⨯-+⨯-=ηD由Eε=Eη知,两人出次品的平均数相同,技术水平相当,但Dε>Dη,可见乙的技术比较稳定.

小结:

期望反映随机变量取值的平均水平;方差反映随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.例15.

某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为

ξ

12345P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.

（Ⅰ求事件A:

“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率（PA;（Ⅱ求η的分布列及期望Eη.

[考查目的]本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.知A表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”

2（（10.40.216PA=-=,（1（10.2160.784PAPA=-=-=.

（Ⅱη的可能取值为200元,250元,300元.

（200（10.4PPηξ====,

（250（2（30.20.20.4PPPηξξ===+==+=,

（3001（200（25010.40.40.2PPPηηη==-=-==--=.

η的分布列为

η

200250300P

0.4

0.4

0.2

2000.42500.43000.2Eη=⨯+⨯+⨯240=（元

.小结:

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生,在一次考试中统计出平均分为70分,方差为75,后来发现有2名同学的成绩有误,甲实得80分却记为50分,乙实得70分却记为100分,更正后平均分和方差分别是

A.70,25

B.70,50

C.70,1.04

D.65,25

解答过程:

易得x没有改变,x=70,而s2=48

1

[（x12+x22+…+502+1002+…+x482-48x2]=75,s′2=48

1[（x12+x22+…+802+702+…+x482-48x2]=

48

1[（75×48+48x2-12500+11300-48x2]=75-

48

1200

=75-25=50.答案:

B

考点4抽样方法与总体分布的估计抽样方法

1.简单随机抽样:

设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.

2.系统抽样:

当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样.

3.分层抽样:

当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几