曲墙式衬砌计算.docx
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曲墙式衬砌计算
拱形曲墙式衬砌结构计算
一、基本资料
某一级公路隧道，结构断面如下图，围岩级别为Ⅴ级，围岩容重γ=20KN/m3，围岩的弹性抗力系数K=0.2×106kN/m，衬砌材料C20混凝土，弹形模量Eh=2.6×107kPa，重度γh=23KN/m3。
衬砌结构断面（尺寸单位：
cm）
二、荷载确定
1、根据《公路隧道设计规范》的有关计算公式，围岩竖向均布压力：
q=0.45×2S-1γω
式中：
S——围岩级别，此处S=5；
γ——围岩容重，此处γ=20kN/m3；
ω——跨度影响系数，ω=1+i（B-5），毛洞跨度lm=11.81+2×0.1=12.01m，式中0.1为一侧平均超挖量;lm=5～15m时，i=0.1,此处ω=1+0.1×（12.01-5）=1.701
所以，有：
q=0.45×25-1×20×1.701=244.944（kPa）
此处超挖回填层重忽略不计。
2、围岩水平均布压力：
e=0.25q=0.25×244.944=61.236（kPa）
三、衬砌几何要素
1、衬砌几何尺寸
内轮廓线半径：
r=5.4039m
内径r所画圆曲线的终点截面与竖直轴的夹角：
φ=113⁰
拱顶截面厚度d0=0.5m；
拱底截面厚度dn=0.5m。
外轮廓线半径：
R=r+d0=5.9039m
拱轴线半径：
r′=r+0.5d0=5.6539m
拱轴线各段圆弧中心角：
θ=113⁰
2、半拱轴线长度S及分段轴长△S
S=θpr′/180⁰=113⁰×3.14×5.6539/180⁰=11.1451（m）
将半拱轴长度等分为8段，每段轴长为：
△S=S/8=11.1451/8=1.3931（m）
3、各分块接缝（截面）中心几何要素
（1）与竖直轴夹角ɑi
ɑ1=Δθ=θ/8=113⁰/8=14.125⁰
ɑ2=ɑ1+Δθ=14.125⁰+14.125⁰=28.25⁰
ɑ3=ɑ2+Δθ=28.25⁰+14.125⁰=42.375⁰
ɑ4=ɑ3+Δθ=42.375⁰+14.125⁰=56.5⁰
ɑ5=ɑ4+Δθ=56.5⁰+14.125⁰=70.625⁰
ɑ6=ɑ5+Δθ=70.625⁰+14.125⁰=84.75⁰
ɑ7=ɑ6+Δθ=84.75⁰+14.125⁰=98.875⁰
ɑ8=ɑ7+Δθ=98.875⁰+14.125⁰=113⁰
（2）接缝中心点坐标计算
X1=r′sinɑ1=5.6539×sin14.125⁰=1.3798（m）
X2=r′sinɑ2=5.6539×sin28.25⁰=2.6761（m）
X3=r′sinɑ3=5.6539×sin42.375⁰=3.8106（m）
X4=r′sinɑ4=5.6539×sin56.5⁰=4.7147（m）
X5=r′sinɑ5=5.6539×sin70.625⁰=5.3337（m）
X6=r′sinɑ6=5.6539×sin84.75⁰=5.6302（m）
X7=r′sinɑ7=5.6539×sin98.875⁰=5.5862（m）
X8=r′sinɑ8=5.6539×sin113⁰=5.2044（m）
y1=r′（1-cosɑ1）=5.6539×（1-cos14.125⁰）=0.1709（m）
y2=r′（1-cosɑ2）=5.6539×（1-cos28.25⁰）=0.6734（m）
y3=r′（1-cosɑ3）=5.6539×（1-cos42.375⁰）=1.4771（m）
y4=r′（1-cosɑ4）=5.6539×（1-cos56.5⁰）=2.5333（m）
y5=r′（1-cosɑ5）=5.6539×（1-cos70.625⁰）=3.7782（m）
y6=r′（1-cosɑ6）=5.6539×（1-cos84.75⁰）=5.1366（m）
y7=r′（1-cosɑ7）=5.6539×（1-cos98.875⁰）=6.5262（m）
y8=r′（1-cosɑ8）=5.6539×（1-cos113⁰）=7.8631（m）
当然也可以在下图中直接量出xi、yi
衬砌结构计算图示
四、计算位移
1、单位位移
用辛普生法近似计算，按计算列表进行，单位位移的计算见表1。
单位位移值计算如下：
δ11=△S/Eh×∑1/I==1.3931×768/2.6×107=41.1500×10-6
δ12=δ21=△S/Eh×∑y/I==1.3931×2315.4976/2.6×107=124.0661×10-6
δ22=△S/Eh×∑y2/I==1.3931×11668.7445/2.6×107=625.2203×10-6
计算精度校核：
δ11+2δ12+δ22=（41.1500+2*124.0661+625.2203）×10-6
=914.5025×10-6
δSS=△S/Eh×∑（1+y）2/I=1.3931×17067.7397/2.6×107=914.5026×10-6
闭合差△≈0
表1、单位位移计算表
注：
①I——截面惯性矩，I=bd3/12,b取单位长度
②不考虑轴力的影响。
2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移
（1）每一块上的作用力（竖向力Q、水平力E、自重力G）,分别由下面各式求得，
竖向力：
Qi=q×bi
水平压力：
Ei=ehi
自重力：
Gi=（di-1+di）×ΔS×γh/2
式中：
bi——衬砌外缘相邻两截面间的水平投影长度
hi——衬砌外缘相邻两截面间的竖直投影长度
di——接缝i的衬砌截面厚度
均由图2直接量得，其值见表。
各集中力均通过相应图形的形心。
（2）外荷载在基本结构中产生的内力
锲块上各集中力对下一接缝的力臂由图直接量得，分别记以aq、ae、ag。
内力按下式计算之：
表2、载位移Mop计算表
弯矩：
轴力：
式中Δxi、Δyi——相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算：
Δxi=xi-xi-1
Δyi=yi-yi-1
Moip和Noip的计算见表
表3、载位移Noip计算表
基本结构中，主动荷载产生的弯矩的校核为：
M08q=-qB（x8-B/4）/2=-244.944×11.8078×（5.2044-11.8078/4）/2=-3257.3240
M08e=-eH2/2=-61.236×8.17682/2=-2047.1213
M08g=-∑Gi（x8-xi+agi）=-16.0207×（7×5.2044-1.3798-2.6761-3.8106-4.7147-5.3337-5.6302-5.5862+0.6899+0.6482+0.5673+0.4521+0.3095+0.1483-0.022-0.1909）=-158.6354
M08p=M08q+M08e+M08g=-3257.3240-2047.1213-158.6354=-5463.0807
另一方面，从表中得到M08p=-5432.7146
闭合差Δ=|5463.0807-5432.7146|/5432.7146=0.56％
（3）主动荷载位移
计算过程见表
表4、主动荷载位移计算表
△1p=△S/Eh×∑Mp0/I=-2257967.1338×1.3931/2.6×107=-120983.616×10-6
△2p=△S/Eh×∑Mp0y/I=-10457532.5134×1.3931/2.6×107=-560322.636×10-6
计算精度校核
△1p+△2p=-（120983.616+560322.636）×10-6=-681306.252×10-6
△Sp=△S/Eh×∑Mp0（1+y）/I=-12715499.6471×1.3931/2.6×10-6=-681306.252×10-6
闭合差△=0。
3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移
（1）各接缝处的抗力强度
抗力上零点假定在接缝3，α3=42.375°=αb;
最大抗力值假定在接缝5,α5=70.625°=αh。
最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：
σi=σh（coS2αb-coS2αi）/（coS2αb-coS2αh）
计算得，
σ3=0，σ4=0.5534σh，σ5=σh。
最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：
σ=σh[1-（yiˊ/yhˊ）2]
式中：
y′i——所考察截面外缘点到h点的垂直距离；
y′h——墙角外缘点到h点的垂直距离。
由图量得：
y6ˊ=1.4184m;y7ˊ=2.8695m;y8ˊ=4.2316m;
则有：
σ6=σh[1-（1.4184/4.2316）2]=0.8876σh
σ7=σh[1-（2.8695/4.2316）2]=0.5402σh
σ8=0;
按比例将所求得的抗力绘在图上。
（2）各楔块上抗力集中力
按下式近似计算：
式中：
——楔块i外缘长度，可通过量取夹角，用弧长公式求得，
的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。
（3）抗力集中力与摩擦力之合力
按下式计算:
式中：
μ——围岩与衬砌间的摩擦系数，此处取μ=0.2,
则
=1.0198
其作用方向与抗力集中力
的夹角为β=arctgμ=11.3099°。
由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。
画图时，也可取切向：
径向=1：
5的比例求出合力Ri的方向。
的作用点即为
与衬砌外缘的交点。
将
的方向线延长，使之交于竖直轴。
量取夹角ψk。
将
分解为水平与竖向两个分力：
RH=RisinψkRV=Ricosψk
以上计算列入表5。
表5、弹性抗力及摩擦力计算表
（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力
弯矩：
轴力：
式中：
rji----力Ri至接缝中心点ki的力臂，由图量得。
计算见表6和表7。
表6、Mσ0计算表
表7、Nσ0计算表
（5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移
计算过程见表8。
表8、单位抗力及相应摩擦力产生的载位移计算表
△1σ=△S/Eh×∑Mσ01/I=1.3931×（-2261.0895）/2.6×107=-121.1509×10-6
△2σ=△S/Eh×∑Mσ0y/I=1.3931×（-14274.0927）/2.6×107=-764.8169×10-6
校核为：
△1σ+△2σ=-（121.1509+764.8169）×10-6=-885.9678×10-6
△Sσ=△S/Eh×∑Mσ0（1+y）/I=1.3931×（-16535.1822）/2.6×107=-885.9678×10-6
闭合差△=0。
4、墙底（弹性地基上的刚性梁）位移
单位弯矩作用下的转角：
βa=1/（KI8）=96/0.2×106=480×10-6
主动荷载作用下的转角：
βap=βaM8p0=-5432.7146×480×10-6=-2607703.01×10-6
单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：
βaσ=βaM8σ0=480×10-6×（-14.8845）=-7144.56×10-6
五、解力法方程
衬砌矢高:
f=y8=7.8631m
计算力法方程的系数为：
a11=δ11+βa=（41.15+480）×10-6=521.15×10-6
a12=δ12+fβa=（124.0661+7.8631×480）×10-6=3898.3541×10-6
a22=δ22+f2βa=（625.2203+7.8631×7.8631×480）×10-6=30302.8243×10-6
a10=△1p+βap+（△1σ+βaσ）×σh
=-（120983.616+2607703.01+121.1509σh+7144.56σh）×10-6
=-（2728686.63+7265.7109σh）×10-6
a20=△2p+fβap+（△2σ+fβaσ）×σh
=-（560322.636+7.8631×2607703.01+764.8169σh+7.8631×7144.56
σh）
=-（21064952.1+56943.2066σh）×10-6
以上将单位抗力图及相应摩擦力产生的位移乘以σh，即为被动荷载的载位移。
求解方程：
X1=（a12a20-a22a10）/（a11a22-a122）
=（3898.3541×（-21064952.1-56943.2066σh）+30302.8243×（2728686.63+7265.7109σh））/（521.15×30302.8243-3898.3541×3898.3541）
=（954.8299-3.0467σh）
其中：
X1p=954.8299,X1σ=-3.0467
X2=（a12a10-a11a20）/（a11a22-a122）
=（3898.3541×（-2728686.63-7265.7109σh）+521.15×（21064952.1+56943.2066σh））/（521.15×30302.8243-3898.3541×3898.3541）
=（572.3126+2.2711σh）
其中：
X2p=572.3126,X2σ=2.2711
六、计算主动荷载和被动荷载（σh=1）分别产生的衬砌内力
计算公式为：
计算过程列入表9和表10中。
表9、主、被动荷载作用下衬砌弯矩计算表
表10、主、被动荷载作用下衬砌轴力计算表
七、最大抗力值的求解
首先求出最大抗力方向内的位移。
由式：
计算过程列入表11。
表11、最大抗力位移修正计算表
位移值为：
δhp=1.3931×466608.6752/2.6×107=25001.2517×10-6
δhσ=1.3931×（-1615.2336）/2.6×107=-86.5455×10-6
最大抗力值为：
σh=δhp/（1/K-δhσ）=25001.2517×10-6/[1/（0.2×106）+86.5455×10-6]
=273.1019
八、计算衬砌总内力
按下式计算衬砌总内力：
M=Mp+σhMσ
N=Np+σhNσ
计算过程列入表12
表12、衬砌总内力计算表
计算精度校核：
根据拱顶切开点之相对转角和相对水平位移应为零的条件来检查。
式中：
=-1.3931×19830.6721/2.6×107=-1062.5427×10-6
βa=M8βa=2.231×480×10-6=1070.88×10-6
闭合差：
△=（1070.88-1062.5427）/1070.88×100％=0.78%
式中：
=1.3931×155928.2026/2.6×107=8354.7530×10-6
fβa=7.8631×1070.88×10-6=8420.4365×10-6
闭合差：
△=（8420.4365-8354.7530）/8420.4365×100％=0.78%
九、衬砌截面强度验算
检算几个控制截面：
1、拱顶（截面0）
e=0.1029m<0.45d=0.225m（可）
又有：
e=0.1029m>0.2d=0.1m
e/d=0.1029/0.5=0.2058
而
则
2、截面7
e=0.0871<0.2d=0.1m
e/d=0.0871/0.5=0.1742
而
则
3、墙底（截面8）偏心检查
e=0.0013m其它各截面偏心均小于0.45d。
十、内力图
将内力计算结果按比例尺绘制弯矩图M及轴力图N，如图3所示。
图3衬砌结构内力图
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