江苏省南京市届高三上学期期中考试数学.docx

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江苏省南京市届高三上学期期中考试数学

南京市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分.

1.已知集合A＝{2，3，5}，B＝{x|2≤x≤4}，则A∩B＝________.

2.若复数z满足z（1－i）＝2i，其中i是虚数单位，则复数z＝________.

3.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为奇数的概率是________________________________________________________________________.

4.某中学共有学生2000人，其中高一年级共有学生650人，高二男生有370人．现在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19，则该校高三学生共有________人.

5.下面是一个算法的伪代码．如果输出的y值是30，那么输入的x值是________.

6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6的值为________．

7.若曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则实数a的值为________.

8.已知函数f（x）＝sin，x∈R，若f（x）在区间上的最大值和最小值分别为a，b，则a＋b的值为________．

9.已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝－2对称，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x，那么f（6）的值为________.

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________.

11.已知a>b>0，a＋b＝1，则＋的最小值等于________.

12.在△ABC中，已知AB＝4，AC＝，BC＝，M为边AB的中点，P是△ABC内（包括边界）一点，则·的最小值是________.

13.设函数y＝的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是______________．（e为自然对数的底数）

14.在平面直角坐标系中，已知⊙O1与⊙O2交于P（3，2），Q两点，两圆半径之积为.若两圆均与直线l：

y＝kx和x轴相切，则直线l的方程为________.

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

设向量a＝（sinx，cosx），b＝（－1，1），c＝（1，1），其中x∈[0，π]．

（1）若（a＋b）∥c，求实数x的值；

（2）若a·b＝，求函数sin的值.

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点.

（1）若PD∥平面ACE，求证：

E为PB的中点；

（2）若AB＝PC，求证：

CG⊥平面PBD.

17.（本小题满分14分）

如图，把一块边长为30cm的正六边形铁皮剪去阴影部分，制成一个正六棱柱形的无盖容器．设容器的底面边长为xcm，棱柱的高为hcm，容积为Vcm3.

（1）求出V关于x的函数关系式V（x）；

（2）当容器的底面边长为多大时，无盖容器的容积最大？

最大是多少？

18.（本小题满分16分）

已知椭圆C：

＋y2＝1（a>1）的左、右焦点分别为F1，F2，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，椭圆C的离心率为e.

（1）若点A的坐标为，求椭圆C的方程；

（2）记AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上.

①证明·为定值；

②设直线AB的斜率为k，若k≥，求e的取值范围.

19.（本小题满分16分）

设函数f（x）＝x3－ax，a∈R，g（x）＝xex，h（x）＝（e为自然对数的底数）．

（1）当a>0时，求函数f（x）的极值；

（2）若函数h（x）的最小值为－，求实数a的取值范围；

（3）当h（x）＝g（x）时，求实数a的值.

20.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝ax－3，g（x）＝bx－1＋cx－2（a，b，c是实数）且g－g

（1）＝f（0）．

（1）试求b，c所满足的关系式；

（2）若b＝0，方程f（x）＝g（x）在（0，＋∞）有唯一解，求实数a的取值范围；

（3）若b＝1，集合A＝{x|f（x）>g（x）且g（x）<0}，试求集合A.

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（这是边文，请据需要手工删加）

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____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学

（这是边文，请据需要手工删加）

南京市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学附加题　第页（共2页）

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南京市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学附加题21.【限选题】共2小题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

B.选修42：

矩阵与变换

若点A（2，1）在矩阵M＝对应变换的作用下得到点B（4，5），求矩阵M的逆矩阵M－1.

C.选修44：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是（t是参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC，AB＝3，AA1＝AC＝4.

（1）求二面角A1BC1B1的正弦值；

（2）在线段BC1上是否存在点D，使得AD⊥A1B？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

23.（本小题满分10分）

如图，已知正六棱锥PABCDEF的底面边长为2，高为1.现从该棱锥的7个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.

（1）求概率P（X＝）的值；

（2）求X的分布.

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南京市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学参考答案　第页（共4页）

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南京市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学参考答案

1.{2，3}　2.－1－i　3.　4.600　5.2或5　6.12　7.－2　8.－1　9.－4　10.－

11.9　12.－4　13.　14.y＝2x

15.

（1）a＋b＝（sinx－1，cosx＋1）．

因为（a＋b）∥c，所以sinx－1＝cosx＋1，

则sinx－cosx＝2，

可得2＝2，

故sin＝1.

因为x∈[0，π]，所以x－∈，

故x－＝，解得x＝.

（2）因为a·b＝，所以－sinx＋cosx＝，即sinx－cosx＝－，

可得2＝－，

故sin＝－.

因为－＝，

所以sin＝sin＝cos.

由x∈[0，π]，可得x－∈，

又sin＝－<0，则x－∈，故可得cos>0.

因为sin2＋cos2＝1，

所以cos＝＝.

16.

（1）如图，连结OE.

由四边形ABCD是正方形知O为BD的中点．

因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，

所以PD∥OE.

在△PBD中，PD∥DE，O为BD为中点，

所以E为PB的中点．

（2）在四棱锥PABCD中，AB＝PC，

因为四边形ABCD是正方形，

所以AC＝AB＝2OC，则AB＝OC，

所以PC＝OC.

在△CPO中，PC＝OC，G为PO的中点，

所以CG⊥PO.

因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，

所以PC⊥BD.

因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，

因为AC，PC⊂平面PAC，AC∩PC＝C，

所以BD⊥平面PAC，

因为CG⊂平面PAC，所以BD⊥CG.

因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，

所以CG⊥平面PBD.

17.

（1）由题意可知A1B1＝CD＝x，CA1＝DB1＝h，

则AC＝（AB－x）＝（30－x），

h＝AC·tan60°＝（30－x），

故V（x）＝Sh＝6××（30－x）＝x2（30－x），0

（2）V′（x）＝（60x－3x2），令V′（x）＝0，得x＝20.

当x∈（0，20）时，V′（x）>0；当x∈（20，30）时，V′（x）>0，

所以V（x）在（0，20）单调递增，在（20，30）单调递减，

所以当且仅当x＝20时，V（x）取得最大值9000.

答：

当容器的底面边长为20cm时，容器的容积最大，最大容积为9000cm3.

18.

（1）由题意知＋＝1，即＝，

所以3a4－16a2＋16＝0，解得a2＝4或a2＝.

所以椭圆C的方程为＋y2＝1或＋y2＝1.

（2）设F2（c，0），A（x1，y1），则F1（－c，0），B（－x1，－y1），

故M，N.

①由题意，得·＝0.化简，得x＋y＝c2，

·＝（－c－x1，－y1）·（c－x1，－y1）＝x＋y－c2＝0（定值）．

②由题意得到k2（a4－2a2）＝1.

因为k≥，所以a4－2a2＝∈（0，3]，

即0

所以e2＝1－∈，

所以e的取值范围是.

19.

（1）f′（x）＝3x2－a.当a>0时，令f′（x）＝0，得x1＝，x2＝－.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x

（－∞，

－）

－

（－，

）

（，

＋∞）

f′（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

极大值

极小值

所以当x＝－时，f（x）取极大值f（－）＝＝，

当x＝时，f（x）取极小值f＝－＝－.

（2）g′（x）＝（x＋1）ex.

当x>－1时，g′（x）>0；当x<－1时，g′（x）<0，

所以函数g（x）在区间（－∞，－1）上是单调减函数，在区间（－1，＋∞）上是单调增函数，

所以g（x）min＝g（－1）＝－.

因为函数h（x）的最小值为－，

所以x＝－1是不等式f（x）≤g（x）的解，

所以－1＋a≤－，即a≤1－.

故实数a的取值范围是.

（3）因为h（x）＝g（x），所以g（x）≥f（x）恒成立，即xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立．

令p（x）＝x2－ex，即p′＝2x－ex，p″（x）＝2－ex，

当x>ln2，p″（x）<0；当x0，

所以p′（x）max＝2ln2－2<0，

所以p（x）＝x2－ex在R上单调递减．

xex≥x3－ax对一切x∈R恒成立等价于

①当x>0时，问题转化为a≥p（x）在R上恒成立；

②当x＝0时，不等式恒成立，则a∈R；

③当x<0时，问题转化为a≤p（x）在R上恒成立．

因为p（x）＝x2－ex是R上的单调减函数，

所以当x>0时，p（x）

当x<0时，p（x）>p（0）＝－1，所以a≤－1.

综上所述，a＝－1.

20.

（1）由g－g

（1）＝f（0），得（－2b＋4c）－（b＋c）＝－3，

故b、c所满足的关系式为b－c－1＝