仓库建设问题数模论文.docx
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仓库建设问题数模论文
“行健杯”数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了“行健杯”数学建模竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：
B
参赛队员（打印并签名）：
1.张祺琛
2.张帆
3.和璇
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
无
日期：
2015年4月7日
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
“行健杯”数学建模竞赛
编号专用页
评阅编号（由组委会评阅前进行编号）：
评阅记录（可供评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
统一编号：
评阅编号：
仓库选址问题
摘要
本文研究仓库选址问题，建立了在使成本最低的情况下的仓库的选取，在实际工程中具有重要的现实意义。
针对问题一，利用问题二的重心法模型,给出了仓库位置的优化选择模型,计算得选择一号车间时花费最少，花费24718600k（k为比例系数，将在下文中做具体说明）。
针对问题二，采用了一种常见的重心法模型．加以改进并且尝试用这种较为简单的连续型模型来解决单个仓库的选址问题。
首先分析了重心法模型，然后在考虑距离和费用因素的情况下，将改进后的重心法模型应用于单个仓库的选址规划中进行分析计算，地址坐标为（318.4986，264.7592），总花费为18240550k。
针对问题三，为解决“一个区域内多个仓库的选址”问题，提出系统聚类和重心法相结合的方式，完成多节点仓库选址。
首先利用系统聚类法中的最短距离法进行多节点分类，将整个区域划分成不同的子区域，其中7单独为一类，其余的点为另一类；然后利用重心法确定各子区域中心平台的具体位置为（241.2635，227.6534），（600，400），两个聚类运输费用分别总费用13517420k、0，因此总费用为13517420k。
关键词：
仓库选址，网络分析,重心法,聚类
1问题重述
某一工厂拥有8个车间，其年产量及位置如下表所示。
所有的产品都需要运输到仓库集中进行处理。
现在不考虑仓库的建设费用，因此总的费用仅与仓库的位置有关。
假定单位产品运费与运输距离成正比，仓库与任一车间运输产品都可走直线距离运输，试用数学建模方法解决以下3个问题，并对你所建立的模型进行评价。
1、如果8个车间均可作为仓库的候选位置，问仓库建在哪个车间附近（该车间到仓库距离以0计）最佳，总运输费用是多少？
2、若该工厂的任一点均可作为仓库的候选地，仓库应建在何处，总费用是多少？
3、若工厂高层已决定在该地区建两个仓库，若不考虑仓库的建造费用，仅考虑运费，两个仓库分别建在什么位置，各应服务于哪几个车间（假定一个车间的产品只能运往一个仓库），才能使总运费最低，总费用是多少？
请分别建立以上三个问题的数学模型，并予以求解，并对你所建模型的优劣性进行评估。
2问题分析
选址依据的原则是效用最大，成本最低。
在一般情况下，成本最低表现为生产地的建设与管理成本，运营成本以及点间的运输成本总和最低
对于问题一，可看作是问题二的特殊解法。
对于问题二，将第一问距离变成直线距离，在平面上确定最优的点。
对于问题三，要完成多节点仓库的选址，首先利用系统聚类法中的最短距离法完成节点分类，将整个配送区域划分成不同的子区域，将“在一个区域内建多个仓库的选址问题”转化为“在多个区域内分别进行单一仓库选址问题”；然后利用重心法确定各子区域配送中心的具体位置。
3模型假设及符号说明
3.1模型假设
根据本问题建立如下合理假设：
1、假设运输费用只与配送中心与分销点之问的直线距离有关，且比例为k；
2、不考虑不地点的建设，管理与运营成本之间的差别
3、不考虑道路导致的线路限制，即假设可以从任意位置经过。
3.2符号说明
符号
说明
v
各油井所在定点
D
各油井间距离矩阵
d
各油井间距离
k
运费与距离的比例系数
H
总运费
z
（x,y）点总运费
4问题一模型的建立和求解
4.1 建模分析
问题一与问题二类似，可看做是问题二的特殊解法，可在问题二的基础上将车间作为仓库的特殊点，将车间的做标带入比较大小即可。
4.2算法
因为问题一课作为问题二的特殊点，所以只需将车间的坐标分别带入问题二的算法即可。
程序代码如下
min=25*（（x1-240）^2+（x2-90）^2）^1/2+49*（（x1-10）^2+（x2-160）^2）^1/2+53*（（x1-60）^2+（x2-620）^2）^1/2+33*（（x1-20）^2+（x2-360）^2）^1/2+36*（（x1-560）^2+（x2-70）^2）^1/2+17*（（x1-180）^2+（x2-110）^2）^1/2+64*（（x1-520）^2+（x2-60）^2）^1/2+76*（（x1-600）^2+（x2-400）^2）^1/2;
x1=240;x2=90;
4.3结果分析
将坐标点分别带入后，可得到如下表所示的数据。
由此可得将车间一作为仓库点总运费最低，总价为24718600k。
4.4模型评价
此题解法是建立在问题二的解法基础上，方法简单易行，不足之处在于需要进行多次运算，较为麻烦。
5问题二模型的建立和求解
5.1建模分析
此问题两点间距离以直线距离计算，中心平台的位置可以在该平面的任一点。
这其实就是一个单一平台中心的选址问题，在此方面已有较多的论述，一般认为重心法是解决此类问题较为合理的选址方法，并在实际中加以应用，取得了一定的效果。
5.2重心法模型建立
选址依据的原则是效用最大，成本最低。
在一般情况下，成本最低表现为中心点的建设与管理成本，使运输成本总和最低。
在选址计算时，常常假设：
①运输费用只与平台中心与各井之间的直线距离有关；②不考虑不同地点的建设，管理与运营成本之间的差别。
则运输费用成为唯一的影响因素，运输费用计算如下：
设有
个配送点，分布在不同的坐标点
上，现假设平台中心设置在
处，总运输费用
可表示为
（1）
式中
为平台中心到各井点每单位距离所需运输费；
为到各井点的运输量；
为平台中心到油井的直线距离，
。
平台中心在选址时，应当保证总运输费用最小，即
最小。
5.3模型求解
利用LINGO软件对上述模型编程进行求解，编程代码如下，
min=25*（（x1-240）^2+（x2-90）^2）^1/2+49*（（x1-10）^2+（x2-160）^2）^1/2+53*（（x1-60）^2+（x2-620）^2）^1/2+33*（（x1-20）^2+（x2-360）^2）^1/2+36*（（x1-560）^2+（x2-70）^2）^1/2+17*（（x1-180）^2+（x2-110）^2）^1/2+64*（（x1-520）^2+（x2-60）^2）^1/2+76*（（x1-600）^2+（x2-400）^2）^1/2;
最后得出的运算结果为：
以上面给出的数据为例,计算结果为:
中心平台的坐标为（318.4986，264.7592），总花费为18240550k。
5.4模型评价
重心法模型是连续型模型，上述这种方法进行配送中心选址时，存在着以下问题：
对于重心法．方法比较简单，但是在编程过程中需要输入较大量数据，会出现程序输入错误的情况，比较难调试。
6问题三模型的建立和求解
6.1建模分析
问题一和问题二的模型中提出的方法仅仅能够解决单平台选址问题，对于多平台选址问题，提出一种思路：
将规划总区域根据功能进行区域的划分，然后分别对各个功能区域使用重心法进行单平台的选址分析。
因此，用系统聚类和重心法相结合的方法，完成多节点平台中心的选址，首先利用系统聚类法中的最短距离法完成节点分类，将整个区域划分成不同的子区域，将“在一个区域内建多个平台中心的选址问题”转化为“在多个区域内分别进行单一平台中心选址问题”；然后利用重心法确定各子区域平台中心的具体位置。
6.2聚类分析模型
聚类分析是根据事务本身的特征研究个体分类的基本方法，其基本原则就是同一类中的个体有较大的相似性，而不同类的相似性较差或者较大同。
本文运用系统聚类中的最短距离法，其基本步骤和原理表述如下：
（1）以绝对值距离作为样本间的距离，以最短距离作为类间的距离；
（2）计算N个样本两两之间的距离，得到距离矩阵；
（3）构造个类，每类只含有一个样本；
（4）合并符合类间距离定义要求的两类为一个新类；
（5）计算新类与当前各类的距离。
若类的个数为I，则转到步骤6，否则回到步骤4；
（6）画出聚类图；
（7）决定类的个数和类。
绝对值距离和类间的最短距离分别表示如下：
其中：
为X轴方向坐标，
为Y轴方向坐标，
为聚合指数，
为类别。
6.3最短距离法对8个车间点进行聚类
将8个车间点分为8类，将两点间的绝对值距离作为矩阵元素，构造8*8的样本间距离矩阵，见下表4。
表4样本间距离表格
1
2
3
4
5
6
7
8
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2
240.42
0
0
0
0
0
0
0
3
559.73
462.70
0
0
0
0
0
0
4
348.28
200.25
263.06
0
0
0
0
0
5
320.62
557.31
743.30
612.94
0
0
0
0
6
63.25
177.2
523.93
296.82
382.09
0
0
0
7
281.60
519.71
724.71
583.09
41.23
343.66
0
0
8
475.08
636.94
583.09
581.30
332.41
510.39
349.28
0
利用MATLAB软件对上述模型编程进行求解，【程序见附录1】以上面给出的数据为例，，可得出8个区域的聚类谱系图，如下图2所示。
图2聚类谱系图
根据系统聚类的分析结果和题目的要求，只需建立两个中心平台，因此，可将8个车间点分成6类。
这样，1、2、3、4、5、6、7为一类；8为一类；根据每个车间点产量的大小及距离，把所有区域划为六类，能更好的对各类区域具体分析和规划对应的中心平台，选择合理的运输方式，区域划分的结果如图3所示。
图3区域划分结果
6.4利用重心法程序对I类区和II类区进行中心平台选址
以I类区为例，进行阐述。
即可用编写的重心法选址程序计算出I类区域的拟建点坐标，进一步得到拟建点与I类区各节点的距离。
最后求得两点坐标为（241.2635，227.6534），（600，400），两个类的运费分别是13517420k、0，总费用13517420k。
6.5模型评价
本模型中将系统聚类和重心法相结合，并设计重心法选址程序，有效地解决了多中心平台的选址问题。
对于重心法求解的过程，在运费与距离存在相关性的前提下，先以某个固定的运输费代替，完成一次重心法的求解，得出初始最优坐标；然后计算初始待建点到各节点的距离，重新选择运输费；多次进行重心法选址，直到得到最终的最优坐标；此求解方法称为多次重心法选址。
本模型的方法也存在待完善的方面，比如在聚类的计算方面，可以选用SPSS软件来完成。
在极端数据的情况下，子区域的选址结果可能与已知节点重合，此时需要根据实际情况，采用其他选址方法进行灵活调整。
7参考资料
[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，北京：
高等教育出版社，2003.8
[2]司守奎，孙玺菁，数学建模算法与应用，北京：
国防工业出版社，2011.8
[3]鲁晓春，詹荷生，关于配送中心重心法选址的研究，北方交通大学学报，2000.l
[4]孔继利，顾芋，孙欣，冯爱兰，系统聚类和重心法在多节点配送中心选址中的研究物流技术，29（3），2010
附录
附录一
%%聚类分析法程序
clc,clear
a=[24，9；1，16；6，62；2，36；56，7；18，11；52，6；60，40];
[m,n]=size（a）;
d=zeros（m）;
d=mandist（a'）;
d=tril（d）
nd=nonzeros（d）;
nd=union（nd,nd）;
fori=1:
m-1
nd_min=min（nd）;
[row,col]=find（d==nd_min）;
tm=union（row,col）;
tm=reshape（tm,1,length（tm））;
fprintf（'第%d次合成，平台高度为%d时的分类结果为：
%s\n',...
i,nd_min,int2str（tm））;
nd（find（nd==nd_min））=[];
iflength（nd）==0
break
end
end
y=pdist（a,'cityblock'）;%计算成对比较的（绝对值）距离
z=linkage（y）;
y=cluster（z,'maxclust',2）
ind1=find（y==1）;
ind1=ind1'
ind2=find（y==2）;
ind2=ind2'
h=dendrogram（z）%画出系统聚类图
set（h,'color','k','LineWidth',1.3）;
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