初中数学学习知识点总结归纳doc.docx
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初中数学学习知识点总结归纳doc
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《有理数》知识点总结归纳
正数和负数
⒈正数和数的概念
数：
比0小的数正数：
比0大的数0既不是正数，也不是数
注意：
①字母a可以表示任意数，当a表示正数，-a是数；当a表示数，-a是正
数；当a表示0，-a仍是0。
（如果出判断：
正号的数是正数，号的数是数，
种法是的，例如+a,-a就不能做出判断）
②正数有也可以在前面加“+”，有“+”省略不写。
所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意的量
若正数表示某种意的量，数可以表示具有与正数相反意的量，比如：
零上8℃表示：
+8℃；零下8℃表示：
-8℃
3.0表示的意
⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是教室里没有人；
⑵0是正数和数的分界，0既不是正数，也不是数。
如：
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、整数称整数（0和正整数称自然数）
⑵正分数和分数称分数
⑶正整数，0，整数，正分数，分数都可以写成分数的形式，的数称有理数。
理解：
只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循小数，不能写成分数形式，不是
有理数。
②有限小数和无限循小数都可化成分数，都是有理数。
注意：
引入数以后，奇数和偶数的范也大了，像-2,-4,-6,-8⋯也是偶数，-1,-3,-5⋯
也是奇数。
2.有理数的分
⑴按有理数的意分⑵按正、来分
.
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正整数正整数
整数0正有理数
负整数正分数
有理数有理数0（0不能忽视）
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
总结：
①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：
⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，
三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，
有理数与数轴上的点不是一一对应关系。
（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
.
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4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得
到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：
⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个；⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
.
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3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数
轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。
0的相反数对应原点；原点
表示0的相反数。
说明：
在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：
5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反
数是-（5a+b）。
化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：
-5的相反数是-
（-5），化简得5）
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:
“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定
最后化简结果；即：
“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
.
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⑴一个正数的绝对值是它本身；⑵一个负数的绝对值是它的相反数；⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a；②如果a<0，那么|a|=-a；③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：
a≥0，<═>|a|=a（非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负
数。
）
②a≤0，<═>|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。
）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。
所以，a取任何有理数，
都有|a|≥0。
即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：
a=0<═>|a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：
|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。
即：
|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。
即：
若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。
即：
|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。
即：
|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。
即|a|+|b|=0，则a=0且
b=0。
（非负数的常用性质：
若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较⑴利用数轴比较两个数的大小：
数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：
两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时，|a|=a；②当a≤0时，|a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
.
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一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的
有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
⑶互为相反数的两数相加，和为零；⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。
即：
⑴当b>0时，a+b>a⑵当b<0时，a+b
4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。
用字母表示为：
a-b=a+（-b）。
.
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5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法
法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。
如：
（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.
和式的读法：
①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）
原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）
（将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23
（省略加号和括号）
=（-33-15-1）+（18+23）
（把符号相同的加数相结合）
=-49+41
（运用加法法则一进行运算）
=-8
（运用加法法则二进行运算）
Ⅱ.把和为整数的加数相结合
（凑整法）
（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）
原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）
（将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8
（省略加号和括号）
=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8
（把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8
（运用加法法则进行运算）
=7.8-10
（把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2
（得出结论）
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）
.
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-3-1+3-2+1-7
524528
原式=（-
3-
2）+（-
1+1）+（+
3-
7）
5
5
2
2
4
8
=-1+0-1
8
=-1
1
8
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）
（+0.125）-（-3
3）+（-3
1）-（-10
2）-（+1.25）
4
8
3
原式=（+1）+（+3
3）+（-3
1）+（+10
2）+（-1
1）
8
4
8
3
4
1
3
1
2
1
=+3
4
-3
+10
-1
8
8
3
4
=（33-11）+（1-31）+102
44883
=21
-3+102
2
3
=-3+13
=101
6
1
6
Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）
-31+106-121+47
5112215
.
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原式=（-3+10-12+4）+（-1+7）+（6-1）
5151122
411
=-1++
815
=-1++
-7
30
Ⅵ.分合
2-3-4+5+6-7-8+9⋯+66-67-68+69
原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+⋯+（66-67-68+69）
=0
Ⅶ.先拆后合
（1+3+5+7⋯+99）-（2+4+6+8⋯+100）
有理数的乘除法
1.有理数的乘法法
法一：
两数相乘，同号得正，异号得，并把相乘；（“同号得正，异号得”指
“两数相乘”的情况，如果因数超两个，就必运用法三）
法二：
任何数同0相乘，都得0；
法三：
几个不是0的数相乘，因数的个数是偶数，是正数；因数的个数是奇数，
是数；
法四：
几个数相乘，如果其中有因数0,等于0.
2.倒数
.
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乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·1=1（a
a
≠0），就是说a和1互为倒数，即a是1的倒数，1是a的倒数。
aaa
注意：
①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒
数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；
④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
3.有理数的乘法运算律
⑴乘法交换律：
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
即ab=ba
⑵乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即
（ab）c=a（bc）.
⑶乘法分配律：
一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在
把积相加。
即a（b+c）=ab+ac
4.有理数的除法法则
（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的数，
都得0
5.有理数的乘除混合运算
（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。
有理数的乘方
1.乘方的概念
.
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求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
在an中，a叫做底数，n叫做指数。
2.乘方的性质
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。
（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
有理数的混合运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。
科学记数法
把一个大于10的数表示成
a10n的形式（其中1
a10，n是正整数），这种记数法是
科学记数法。
用字母表示数
代数式
代数式：
用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式，如n,-1,2n+500,abc。
单独
的一个数或一个字母也是代数式。
单项式：
表示数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
单项式的系数：
单项式中的数字因数
单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数和
.
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多项式：
几个单项式的和叫做多项式。
每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数
项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
常数项的次数为0。
整式：
单项式和多项式统称为整式。
注意：
分母上含有字母的不是整式。
代数式书写规范：
①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·”表示，并把数字放到字母前；
②出现除式时，用分数表示；
③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；
④若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。
合并同类项
同类项：
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
合并同类项的步骤：
（1）准确的找出同类项；
（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结
合在一起；（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；（4）写出合并后
的结果。
去括号的法则
（1）括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不变；
（2）括号前面是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
整式的加减：
进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。
整式加减的步骤：
（1）列出代数式；
（2）去括号；（3）合并同类项。
一元一次方程
.
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一元一次方程的概念：
只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元
一次方程。
一般形式：
ax+b=0（a≠0）
注意：
未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。
如13x，它不是一元一次方程。
x
解一元一次方程
方程的解：
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
解方程：
求方程的解的过程叫做解方程。
等式的性质：
（1）等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；
（2）等式两边都乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
移项
移项：
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项。
移项的依据：
（1）移项实际上就是对方程两边进行同时加减，根据是等式的性质1；
（2）系
数化为1实际上就是对方程两边同时乘除，根据是等式的性质2。
移项的作用：
移项时一般把含未知数的项向左移，常数项往右移，使左边对含未知数的项合
并，右边对常数项合并。
注意：
移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。
解一元一次方程的一般步骤：
去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1。
注意：
去分母时不可漏乘不含分母的项。
分数线有括号的作用，去掉分母后，若分子是多项
式，要加括号。
解下列方程：
（1）4x3
42x；
（2）4x3（20x）
6x7（9x）；（3）x1
5x
3
x1；
2
6
3
（4）0.1x0.2x13
0.020.5
用方程解决问题
列一元一次方程解应用题的基本步骤：
审清题意、设未知数（元）、列出方程、解方程、写
.
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出答案。
关键在于抓住问题中的有关数量的相等关系，列出方程。
解决问题的策略：
利用表格和示意图帮助分析实际问题中的数量关系
实际问题的常见类型：
行程问题：
路程=时间×速度，时间
路程
路程
=
，速度=
速度
时间
（单位：
路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时）
工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率，工作总量=各部分工作量的和
利润问题：
利润=售价-进价，利润率=利润，售价=标价×（1-折扣）
进价
等积变形问题：
长方体的体积=长×宽×高；圆柱的体积=底面积×高；锻造前的体积=锻造
后的体积
利息问题：
本息和=本金+利息；利息=本金×利率
走进图形世界
1、几何图形
从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。
立体图形：
有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。
平面图形：
有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
2、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：
线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。
线：
面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：
包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：
几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
3、生活中的立体图形圆柱
柱体
.
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棱柱：
三棱柱、四棱柱（方体、正方体）、五棱柱、⋯⋯
生活中的立体形球体
（按名称分）
椎体
棱
4、棱柱及其有关概念：
棱：
在棱柱中，任何相两个面的交，都叫做棱。
棱：
相两个面的交叫做棱。
n棱柱有两个底面，n个面，共（n+2）个面；3n条棱，n条棱；2n个点。
棱柱的所有棱都相等，棱柱的上下两个底面是相同的多形，直棱柱的面是方
形。
棱柱的面有可能是方形，也有可能是平行四形。
5、正方体的平面展开：
11种
6、截一个正方体：
用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四形，五
形，六形。
7、三
物体的三指主、俯、左。
主：
从正面看到的，叫做主。
左：
从左面看到的，叫做左。
俯：
从上面看到的，叫做俯。
平面图形的认识
段，射，直
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